Dvinaris paskirstymas yra tikimybinis skirstinys, pagal kurią iš įvykių tikimybė apskaičiuojama, jeigu jie įvyksta pagal dvi sąlygas: sėkmę ar nesėkmę.
Šie pavadinimai (sėkmė ar nesėkmė) yra visiškai savavališki, nes jie nebūtinai reiškia gerus ar blogus dalykus. Straipsnyje mes nurodysime binominio paskirstymo matematinę formą ir išsamiai paaiškinsime kiekvieno termino prasmę.
1 pav. Stiebo ritinys yra reiškinys, kurį galima modeliuoti naudojant binominį pasiskirstymą. Šaltinis: „Pixabay“.
Lygtis
Lygtis yra tokia:
Kai x = 0, 1, 2, 3… .n, kur:
- P (x) yra tikimybė sulaukti tiksliai x pasisekimų tarp n bandymų ar bandymų.
- x yra kintamasis, apibūdinantis susidomėjimo reiškinį, atitinkantis pasisekimų skaičių.
- n bandymų skaičius
- p yra sėkmės tikimybė per 1 bandymą
- q yra nesėkmės tikimybė per 1 bandymą, todėl q = 1 - p
Šauktukas „!“ naudojamas faktoriniam žymėjimui, todėl:
0! = 1
vienas! = 1
du! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Ir taip toliau.
Koncepcija
Binominis pasiskirstymas labai tinka apibūdinti situacijas, kuriose įvykis įvyksta arba neįvyksta. Jei tai įvyksta, tai yra sėkmė, o jei ne, tada tai yra nesėkmė. Be to, sėkmės tikimybė visada turi išlikti pastovi.
Yra reiškinių, kurie tinka šioms sąlygoms, pavyzdžiui, monetos numetimas. Tokiu atveju galime pasakyti, kad „sėkmė“ įgauna veidą. Tikimybė yra ½ ir nesikeičia, nesvarbu, kiek kartų moneta yra išmesta.
Sąžiningo štampo ritinys yra dar vienas geras pavyzdys, taip pat tam tikro gaminio suskirstymas į gerus ir nekokybiškus gabalus ir sukant ratą gaunamas raudonas, o ne juodas.
charakteristikos
Mes galime apibendrinti binominio paskirstymo charakteristikas taip:
- Visi įvykiai ar stebėjimai ištraukiami iš begalinės populiacijos nepakeičiant arba iš ribotos populiacijos pakeičiant.
- Svarstomos tik dvi galimybės, viena kitą paneigiančios: sėkmė ar nesėkmė, kaip paaiškinta pradžioje.
- Bet kokio stebėjimo metu sėkmės tikimybė turi būti pastovi.
- Bet kurio įvykio rezultatas nepriklauso nuo kito įvykio.
- Binominio skirstinio vidurkis yra np
- Standartinis nuokrypis yra:
Taikymo pavyzdys
Paimkime paprastą įvykį, kuris gali užtrukti 2 galvas 5, 3 kartus sukant sąžiningą mirtį. Kokia tikimybė, kad iš 3 mėtymų bus gautos 2 galvos iš 5?
Yra keletas būdų tai pasiekti, pavyzdžiui:
- Pirmieji du paleidimai yra 5, o paskutinis - ne.
- Pirmasis ir paskutinis yra 5, bet ne vidurinis.
- Paskutiniai du metimai yra 5, o pirmasis - ne.
Paimkime pirmą pavyzdyje aprašytą seką ir apskaičiuokime jos atsiradimo tikimybę. Tikimybė gauti 5 galvas pirmajame ritinyje yra 1/6, o taip pat ir antrajame, nes tai yra nepriklausomi įvykiai.
Tikimybė, kad į paskutinį ritinį pateks kita galva, išskyrus 5, yra 1 - 1/6 = 5/6. Todėl tikimybė, kad ši seka išeis, yra tikimybių sandauga:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
O kaip su kitomis dviem sekomis? Jie turi tokią pačią tikimybę: 0,023.
Ir kadangi iš viso turime 3 sėkmingas sekas, visa tikimybė bus:
2 pavyzdys
Vienas universitetas teigia, kad 80 proc. Studentų, baigiančių koledžo krepšinio komandą, yra baigę studijas. Tyrimo metu tiriama 20 studentų, priklausančių minėtai krepšinio komandai, kuri prieš kurį laiką įstojo į universitetą, akademinė padėtis.
Iš šių 20 studentų 11 baigė studijas, o 9 metė.
2 pav. Beveik visi studentai, žaidžiantys dėl kolegijos komandos, yra absolventai. Šaltinis: „Pixabay“.
Jei universiteto teiginys yra teisingas, studentų skaičius, kurie žaidžia krepšinį ir yra baigę studijas, iš 20, turėtų turėti binominį pasiskirstymą, kai n = 20 ir p = 0,8. Kokia tikimybė, kad lygiai 11 iš 20 žaidėjų baigs mokslus?
Sprendimas
Binominiame pasiskirstyme:
3 pavyzdys
Mokslininkai atliko tyrimą, siekdami nustatyti, ar tarp medicinos studentų, priimamų pagal specialiąsias programas, ir medicinos studentų, priimamų pagal įprastus priėmimo kriterijus, yra reikšmingų baigimo procentų.
Nustatyta, kad studentų, gydytojų pagal specialiąsias programas, baigimo procentas yra 94% (remiantis Amerikos medicinos asociacijos žurnalo duomenimis).
Jei 10 specialiųjų programų studentų yra atrinkti atsitiktine tvarka, suraskite tikimybę, kad bent 9 iš jų baigė mokslus.
b) Ar būtų neįprasta atsitiktinai atrinkti 10 studentų iš specialiųjų programų ir sužinoti, kad tik 7 iš jų yra baigę mokslus?
Sprendimas
Tikimybė, kad studentas, priimtas pagal specialiąją programą, baigs studijas, yra 94/100 = 0,94. Iš specialiųjų programų pasirenkame n = 10 studentų ir norime išsiaiškinti tikimybę, kad bent 9 iš jų baigs mokslus.
Tada binominiame pasiskirstyme pakeičiamos šios vertės:
b)
Nuorodos
- Berenson, M. 1985. Vadybos ir ekonomikos statistika. „Interamericana SA“
- „MathWorks“. Binominis pasiskirstymas. Atkurta iš: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Vadybos ir ekonomikos statistika. 3-ioji. leidimas. „Grupo“ redakcija „Iberoamérica“.
- Moore, D. 2005. Taikoma pagrindinė statistika. 2-asis. Leidimas.
- Triola, M. 2012. Elementarioji statistika. 11-oji. Ed Pearson švietimas.
- Vikipedija. Binominis pasiskirstymas. Atkurta iš: es.wikipedia.org