AŠINĖ SIMETRIJA: SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024

Ašinis simetrija yra, kai nuo skaičių sutampa su kito figūra kiekis taškų tiesia bisector vadinamas simetrijos ašies. Ji taip pat vadinama radialine, sukimosi ar cilindrine simetrija.

Paprastai jis naudojamas geometrinėmis figūromis, tačiau yra lengvai pastebimas pobūdžio, nes yra gyvūnų, tokių kaip drugeliai, skorpionai, ladybugs ar žmonės, kuriems būdinga ašinė simetrija.

Ašinė simetrija eksponuojama šioje Toronto miesto horizonto ir jo atspindžio vandenyje nuotraukoje. (Šaltinis: pixabay)

Kaip rasti ašinę simetriją

Norint surasti taško P ašinę simetriją P 'tiesės (L) atžvilgiu, atliekamos šios geometrinės operacijos:

1. statmena linijai (L), einančiai per tašką P.

2.- Dviejų linijų perėmimas lemia tašką O.

3.- Išmatuojamas PO segmento ilgis, tada šis ilgis nukopijuojamas ant linijos (PO), pradedant nuo O, kryptimi nuo P iki O, nustatant tašką P '.

4.- Taškas P 'yra taško P ašinė simetrija ašies (L) atžvilgiu, nes linija (L) yra segmento PP' bisektorius, kuris yra O šio segmento viduryje.

1 pav. Du taškai P ir P 'yra ašies atžvilgiu simetriški (L), jei ta ašis yra segmento PP' bisektorius

Ašinės simetrijos savybės

- Ašinė simetrija yra izometrinė, ty išsaugomi geometrinės figūros atstumai ir atitinkama simetrija.

- Kampo matas ir jo simetrija yra vienodi.

- Ašies taško simetrija simetrijos ašyje yra pats taškas.

- Simetriškos linijos, lygiagrečios simetrijos ašiai, linija taip pat yra lygiagreti minėtai ašiai.

- Simetrijos ašies linija, esanti simetriškai, turi simetrišką liniją, kitą simetrijos liniją, kuri savo ruožtu kerta simetrijos ašį tame pačiame pradinės linijos taške.

- Simetriškas linijos vaizdas yra kita linija, kuri sudaro kampą, kurio simetrijos ašis yra tokia pati kaip ir pradinės linijos.

- Simetriškas linijos, statmenos simetrijos ašiai, vaizdas yra kita linija, kertanti pirmąją.

- Linija ir jos ašinė simetrinė linija sudaro kampą, kurio bisektorius yra simetrijos ašis.

2 pav. Ašinė simetrija išsaugo atstumus ir kampus.

Ašinės simetrijos pavyzdžiai

Gamtoje yra gausybė ašinės simetrijos pavyzdžių. Pvz., Tarp daugelio kitų galite pamatyti veidų, vabzdžių, tokių kaip drugeliai, simetriją, ramių vandens paviršių ir veidrodžių atspindžius ar augalų lapus.

3 pav. Šis drugelis pasižymi beveik tobula ašine simetrija. (Šaltinis: pixabay)

4 pav. Šios merginos veidas yra ašine simetrija. (Šaltinis: pixabay)

Ašinės simetrijos pratimai

1 pratimas

Turime A, B ir C viršūnių trikampį, kurio Dekarto koordinatės yra atitinkamai A = (2, 5), B = (1, 1) ir C = (3,3). Raskite trikampio, simetrinio aplink Y ašį, dekarto koordinates.

Sprendimas: Jei taškas P turi koordinates (x, y), tada jo simetrija aplink ordinačių ašį (Y ašis) yra P ’= (- x, y). Kitaip tariant, jos abscisės reikšmė keičia ženklą, o ordinato vertė išlieka ta pati.

Šiuo atveju simetriškas trikampis su viršūnėmis A ', B' ir C 'turės koordinates:

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) ir C' = (- 3, 3), kaip matyti 6 paveiksle.

6 paveikslas. Jei taškas turi koordinates (x, y), jo simetrija Y ašies atžvilgiu (ordinačių ašis) turės koordinates (-x, y).

2 pratimas

Atsižvelgiant į 1 pratimo trikampį ABC ir jo simetrinį A'B'C ', patikrinkite, ar atitinkamos pradinio trikampio ir jo simetrijos kraštinės yra vienodo ilgio.

Sprendimas: Norėdami sužinoti atstumą ar šonų ilgį, naudojame Euklido atstumo formulę:

d (A, B) = √ ((Bx - Kirvis) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Atitinkamos simetriškos pusės A'B 'ilgis apskaičiuojamas taip:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Tokiu būdu patikrinama, ar ašinė simetrija išlaiko atstumą tarp dviejų taškų. Procedūra gali būti pakartota kitoms dviem trikampio pusėms ir jo simetriškumui, norint patikrinti ilgio invarianciją. Pavyzdžiui, -AC- = -A'C'- = √5 = 2236.

3 pratimas

Trikampio ABC ir jo simetrinio A'B'C 'atžvilgiu nuo 1 pratimo patikrinkite, ar atitinkami pradinio trikampio ir jo simetrijos kampai yra vienodo kampo.

Sprendimas: Norėdami nustatyti kampų BAC ir B'A'C 'išmatavimus, pirmiausia apskaičiuosime vektorių AB skaliarinę sandaugą su AC, o po to A'B' skaliarinę sandaugą su A'C ' .

Prisimenant, kad:

A = (2,5), B = (1,1) ir C = (3,3)

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) ir C' = (- 3, 3).

Tai turi:

AB = <1-2, 1-5> ir AC = <3-2, 3-5>

panašiai

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> ir AC = <-3 + 2, 3-5>

Tada randami šie skaliariniai produktai:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Panašiai

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Kampo BAC matas yra:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

„ArcCos“ (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º

Panašiai yra kampo B'A'C 'matas:

∡B'A'C '= arccos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

„ArcCos“ (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º

Darant išvadą, kad ašinė simetrija išsaugo kampų matmenis.

4 pratimas

Tegul taškas P yra koordinačių (a, b). Raskite jos ašinės simetrijos P 'koordinates tiesės y = x atžvilgiu.

Sprendimas: Mes iškviesime (a ', b') simetrinio taško P 'koordinates tiesės y = x atžvilgiu. PP 'segmento vidurio taškas M turi koordinates ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) ir taip pat yra tiesėje y = x, taigi galioja tokia lygybė:

a + a '= b + b'

Kita vertus, segmentas PP 'turi nuolydį -1, nes yra statmenas linijai y = x su 1 nuolydžiu, taigi galioja ši lygybė:

b - b '= a' -a

Sprendžiant dvi ankstesnes lygybes a 'ir b', daroma išvada, kad:

a '= per tą b' = a.

Tai yra, atsižvelgiant į tašką P (a, b), jo ašinė simetrija tiesės atžvilgiu y = x yra P '(b, a).

Nuorodos

1. „Arce M.“, „Blázquez S“ ir kt. Plokštumos virsmai. Atkurta iš: eduutmxli.files.wordpress.com
2. Skaičiavimas cc. Ašinė simetrija. Atkurta iš: calculo.cc
3. Superprofilis. Ašinė simetrija. Atgauta iš: superprof.es
4. Vikipedija. Ašinė simetrija. Atkurta iš: es.wikipedia.com
5. Vikipedija. Apskritoji simetrija. Atkurta iš: en.wikipedia.com