SFERINĖS KOORDINATĖS: PAVYZDŽIAI IR IŠSPRĘSTI UŽDAVINIAI - MATEMATIKA - 2024

Kad sferiniai koordinatės yra vietos nustatymo kiekis rinkinys trimatėje erdvėje, susidedantis iš radialinį koordinuoti ir du kampinio koordinatės vadinami polinių koordinačių ir azimutinis koordinuoti.

1 paveiksle, kurį matome žemiau, pavaizduotos taško M sferinės koordinatės (r, θ, φ). Šios koordinatės nurodytos O kilmės Dekarto ašių X, Y, Z statmenai.

1 paveikslas. Taško M rutulinės koordinatės (r, θ, φ) (Wikimedia Commons)

Šiuo atveju taško M koordinatė r yra atstumas nuo to taško iki ištakos O. Polinė koordinatė θ žymi kampą tarp teigiamos pusiau ašies Z ir spindulio vektoriaus OM. Tuo tarpu azimutinė koordinatė the yra kampas tarp teigiamos pusašio X ir spindulio vektoriaus OM ', kur M' yra stačiakampė M projekcija XY plokštumoje.

Radialinė koordinatė r užima tik teigiamas reikšmes, bet jei taškas yra ties ištakomis, tada r = 0. Polinės koordinatės θ taškai, esantys ant teigiamos pusašio Z, matuojama ne mažiau kaip 0º, o taškų didžiausia vertė 180º yra neigiamame pusašyje Z. Galiausiai azimutinė koordinatė φ matuoja mažiausią vertę 0º, o maksimalų aukštį - 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Keisti koordinates

Toliau bus pateiktos formulės, leidžiančios gauti taško M dekarto koordinates (x, y, z), darant prielaidą, kad tos pačios (r, θ, φ) taško sferinės koordinatės yra žinomos:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r „Cos“ (θ)

Lygiai taip pat naudinga rasti ryšius, einančius nuo nurodyto taško Dekarto koordinatės (x, y, z) iki minėto taško sferinės koordinatės:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arktanas (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arktanas (y / x)

Vektorinė bazė sferinėmis koordinatėmis

Iš sferinių koordinačių apibrėžtas bazinių vektorių ortonormalus pagrindas, žymimas Ur , Uθ , Uφ . 1 paveiksle parodyti šie trys vienetų vektoriai, turintys šias charakteristikas:

- Ur yra radialinės linijos liestinės vektoriaus vienetas θ = ctte ir φ = ctte;

- Uθ yra vieneto vektorius, liečiantis lanką φ = ctte ir r = ctte;

- Uφ yra vieneto vektorius, liečiantis lanką r = ctte ir θ = ctte.

Linijos ir tūrio elementai sferinėse koordinatėse

Taško erdvės taško padėties vektorius rutulinėse koordinatėse užrašomas taip:

r = r Ur

Bet beribis taško pokytis ar poslinkis trimatėje erdvėje šiose koordinatėse išreiškiamas tokiu vektorių santykiu:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Galiausiai sferinėse koordinatėse tūris dV yra parašytas taip:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Šie ryšiai yra labai naudingi apskaičiuojant linijų ir tūrių integralus fizinėse situacijose, turinčiose sferinę simetriją.

Ryšys su geografinėmis koordinatėmis

Geografinės koordinatės suprantamos kaip tos, kurios naudojamos vietoms žemės paviršiuje nustatyti. Norėdami nustatyti vietą žemės paviršiuje, ši sistema naudoja platumos ir ilgumos koordinates.

Geografinėje koordinačių sistemoje manoma, kad žemės paviršius yra sferinis Rt spinduliu, net jei yra žinoma, kad jis yra išlygintas ties poliais, ir svarstomas įsivaizduojamų linijų, vadinamų paralelėmis ir dienovidiniais, rinkinys.

2 paveikslas. Stebėtojo žemės paviršiuje ilgumas α ir platumas β.

Β platuma yra kampas, kurį sudaro spindulys, prasidedantis nuo Žemės centro iki taško, kurį norite nustatyti. Jis matuojamas nuo pusiaujo plokštumos, kaip parodyta 2 paveiksle. Kita vertus, ilguma α yra kampas, kurį nubrėžto taško meridianas nulio dienovidinio atžvilgiu (žinomas kaip Grinvičo dienovidinis).

Platuma gali būti šiaurės arba pietų platuma, atsižvelgiant į tai, ar jūsų vieta yra šiauriniame, ar pietiniame pusrutulyje. Lygiai taip pat ilguma gali būti vakarų arba rytų, atsižvelgiant į tai, ar vieta yra į vakarus ar rytus nuo nulio dienovidinio.

Formulės keičiamos iš geografinės į sferinę

Pirmiausia norint gauti šias formules, reikia sukurti koordinačių sistemą. XY plokštuma pasirinkta taip, kad sutaptų su pusiaujo plokštuma, o teigiama X pusiau ašis yra ta, kuri eina iš Žemės centro ir eina per nulio dienovidinį. Savo ruožtu Y ašis eina per 90 ° E. dienovidinį.Žemės paviršiaus spindulys yra Rt.

Naudojant šią koordinačių sistemą, transformacijos iš geografinės į sferinę atrodo taip:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Maljorkos Palmos (Ispanija) geografinės koordinatės yra:

Rytų ilguma 38,847º ir šiaurės platuma 39,570º. Norint nustatyti sferines koordinates, atitinkančias Palma de Maljorką, taikoma pirmoji iš ankstesniame skyriuje pateiktų formulių formulių:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º – 39,570º, φ = 38,847º)

Taigi sferinės koordinatės yra:

Palma de Maljorka: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Ankstesniame atsakyme r buvo prilygintas vidutiniam Žemės spinduliui.

2 pavyzdys

Žinodami, kad Malvinų (Folklando) salų geografinės koordinatės yra 59ºO 51,75ºS, nustatykite atitinkamas polines koordinates. Atminkite, kad X ašis eina nuo Žemės centro iki 0º dienovidinio ir pusiaujo plokštumoje; Y ašis taip pat yra pusiaujo plokštumoje ir eina per 90 ° vakarų dienovidinį; pagaliau Z ašis Žemės sukimosi ašyje pietų-šiaurės kryptimi.

Norėdami rasti atitinkamas sferines koordinates, naudojame formules, pateiktas ankstesniame skyriuje:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º – 59º), tai yra

Malvinai: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Pratimai

1 pratimas

XYZ Dekarto orientacinėje sistemoje, nurodytoje 2 paveiksle, raskite Demarto de Mallorca koordinates.

Sprendimas: Anksčiau, 1 pavyzdyje, sferinės koordinatės buvo gautos pradedant nuo Maljorkos Palmos geografinių koordinačių. Taigi aukščiau pateiktas formules galima naudoti pereinant nuo sferinės prie Dekarto:

x = 6371 km Senas (50,43º) „Cos“ (38,85º)

y = 6371 km Senas (50,43º) Senas (38,85º)

z = 6371 km „Cos“ (50,43º)

Atlikdami atitinkamus skaičiavimus, turime:

Palma de Maljorka: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

2 pratimas

Raskite Folklando salų Dekarto koordinates XYZ Dekarto atskaitos sistemoje, parodytoje 2 paveiksle.

Sprendimas: Anksčiau, 2 pavyzdyje, sferinės koordinatės buvo gautos pradedant nuo Malvinų salų geografinių koordinačių. Taigi aukščiau pateiktas formules galima naudoti pereinant nuo sferinės prie Dekarto:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km „Cos“ (141,75º)

Atlikdami atitinkamus skaičiavimus, gauname:

Folklando salos: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Nuorodos

1. Arfkenas G ir Weberis H. (2012). Matematiniai metodai fizikams. Išsamus vadovas. 7-asis leidimas. Akademinė spauda. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Skaičiavimas cc. Išspręstos cilindrinių ir rutulinių koordinačių problemos. Atkurta iš: calculo.cc
3. Astronomijos dirbtuvės. Platuma ir ilguma. Atkurta iš: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. „Sferinės koordinatės“. Iš „MathWorld-A Wolfram Web“. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com
5. Vikipedija. Sferinė koordinačių sistema. Atkurta iš: en.wikipedia.com
6. Vikipedija. Vektoriniai laukai cilindrinėmis ir sferinėmis koordinatėmis. Atkurta iš: en.wikipedia.com