SKERSMUO: SIMBOLIAI IR FORMULĖS, KAIP JĮ GAUTI, PERIMETRAS - MATEMATIKA - 2025

Skersmuo yra tiesi linija, kad eina per uždaro plokščio kreivės centrą arba į dviejų ar trijų matmenų figūra ir kad taip pat prisijungia prie savo priešingas taškų. Paprastai tai yra apskritimas (plokščia kreivė), apskritimas (plokščia figūra), rutulys arba dešinysis apskritas cilindras (trimačiai objektai).

Nors apskritimas ir apskritimas paprastai laikomi sinonimais, tarp šių dviejų terminų yra skirtumų. Apimtis yra uždara kreivė, uždengianti apskritimą, kuri atitinka sąlygą, kad atstumas tarp bet kurio jo taško ir centro yra vienodas. Šis atstumas yra ne kas kitas, o apskritimo spindulys. Apskritimas yra plokščia figūra, apribota perimetru.

1 pav. Dviračių ratų skersmuo yra svarbi jų konstrukcijos ypatybė. Šaltinis: „Pixabay“.

Apskritimo, apskritimo ir rutulio atveju skersmuo yra tiesus segmentas, kurį sudaro bent trys taškai: apskritimo ar apskritimo krašto plius du taškai arba rutulio paviršius.

Dešiniojo apskrito cilindro skersmuo nurodo skerspjūvį, kuris kartu su aukščiu yra du jo būdingi parametrai.

Apskritimo ir apskritimo skersmuo, kurį simbolizuoja ø arba tiesiog raidė „D“ arba „d“, yra susijęs su jo perimetru, kontūru ar ilgiu, kuris žymimas raide L:

L = π.D = π. arba

Kai tik yra apskritimas, jo ilgio ir skersmens santykis yra neracionalus skaičius π = 3.14159…, tokiu būdu:

π = L / D

Kaip gauti skersmenį?

Kai turite apskritimo ar apskritimo brėžinį arba tiesiogiai apskrito objekto, pavyzdžiui, monetos ar žiedo, brėžinį labai lengva rasti liniuote. Jūs tiesiog turite įsitikinti, kad liniuotės kraštas tuo pačiu metu liečiasi su dviem taškais, esančiais perimetru ir jo centru.

Suportas, vernieris ar apkaba labai tinka matuoti išorinį ir vidinį skersmenis ant monetų, lankus, žiedus, veržles, vamzdelius ir dar daugiau.

2 paveikslas. Skaitmeninis vernjeras, matuojantis monetos skersmenį. Šaltinis: „Pixabay“.

Jei vietoj objekto ar jo brėžinio turime tokius duomenis kaip spindulys R, tada padauginę iš 2 turime skersmenį. Ir jei yra žinomas apskritimo ilgis arba perimetras, skersmuo taip pat gali būti žinomas:

Kitas būdas surasti skersmenį yra žinoti apskritimo plotą, rutulio paviršių, cilindro skerspjūvį, cilindro išlenktą plotą arba rutulio ar cilindro tūrį. Viskas priklauso nuo to, kokia geometrinė figūra ji yra. Pvz., Skersmuo naudojamas šiose srityse ir tūriuose:

- apskritimo plotas : π (D / 2) ²
- rutulio paviršiaus plotas : 4π (D / 2) ^{2 -}
rutulio tūris : (4/3) π (D / 2) ³
-aplinkos tūris dešinysis apskritas cilindras : π (D / 2) ² .H (H yra cilindro aukštis)

Pastovaus pločio figūros

Apskritimas yra plokščia pastovaus pločio figūra, nes kur tik pažvelgsi, plotis yra skersmuo D. Tačiau yra ir kitų galbūt mažiau žinomų figūrų, kurių plotis taip pat yra pastovus.

Pirmiausia pažiūrėkime, ką supranta figūros plotis: tai yra atstumas tarp dviejų lygiagrečių linijų, palaikančių linijas, kurios savo ruožtu yra statmenos nurodytai krypčiai ir kurios įkalina figūrą, kaip parodyta kairiajame paveikslėlyje:

3 pav. Bet kurios plokščios figūros (kairėje) ir Reuleaux trikampio plotis, pastovaus pločio figūra (dešinėje). Šaltinis: F. Zapata.

Šalia dešinės yra Reuleaux trikampis, kuris yra pastovaus pločio figūra, atitinkantis kairiajame paveiksle nurodytą sąlygą. Jei figūros plotis yra D, jo perimetrą nurodo Barbier'io teorema:

L = π.D

San Fransisko miesto, Kalifornijoje, kanalizacijos vamzdeliai yra panašūs į Reuleaux trikampį, pavadintą vokiečių inžinieriaus Franzo Reuleaux'o (1829 - 1905) vardu. Tokiu būdu dangteliai negali nukristi per skylę, o jų gamybai sunaudojama mažiau medžiagų, nes jų plotas mažesnis už apskritimo plotą:

A = (1- √3) .πD ² = 0,705D ²

O už apskritimo:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Bet šis trikampis nėra vienintelė pastovaus pločio figūra. Su kitais daugiakampiais, turinčiais nelyginį skaičių šonų, galite sukurti vadinamuosius Reuleaux daugiakampius.

Apskritimo skersmuo

Kitame paveiksle yra apskritimo elementai, apibrėžti taip:

Akordas : linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Paveiksle yra styga, jungianti taškus C ir D, tačiau beribiai stygos gali būti nubrėžtos, sujungiant bet kurią apskritimo taškų porą.

Skersmuo : styga eina per centrą, sujungdama du apskritimo taškus su centru O. Tai yra ilgiausias apskritimo styga, todėl jis vadinamas „pagrindiniu styga“.

Spindulys : linijos atkarpa, jungianti centrą su bet kokiu apskritimo tašku. Jo vertė, kaip ir skersmuo, yra pastovi.

Apskritimas : tai visų taškų, esančių vienodai nuo O, rinkinys.

Lankas : jis apibūdinamas kaip apskritimo segmentas, kurį riboja du spinduliai (brėžinyje nenurodyti).

4 paveikslas. Perimetro dalys, įskaitant skersmenį, einančios per centrą. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

- 1 pavyzdys

Pavaizduotas 10 colių ilgio stačiakampis, kuris valcuojant sudaro dešinį apskritą cilindrą, kurio skersmuo yra 5 coliai. Atsakykite į pateiktus klausimus:

5 pav. Valcuotas stačiakampis tampa dešiniu apskritu cilindru. Šaltinis: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija ir trigonometrija. 2-asis. Leidimas. Pearsonas.

a) Koks yra vamzdžio kontūras?
b) Raskite stačiakampio plotą
c) Raskite cilindro skerspjūvio plotą.

Sprendimas

Vamzdžio kontūrai yra L = π.D = 5π in = 15,71 in.

B sprendimas

Stačiakampio plotas yra pagrindo x aukštis, kai pagrindas L jau apskaičiuotas, o aukštis yra 10 colių pagal teiginį, todėl:

A = 15,71 x 10, = 157,1, ² .

C sprendimas

Galiausiai prašomas plotas apskaičiuojamas taip:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = 19,63 in . ² .

- 2 pavyzdys

Apskaičiuokite užtamsintą plotą 5a paveiksle. Kvadratas turi L šoną.

6 paveikslas. Kairėje paveiksle raskite užtemtą plotą. Jiménez, R. Matematika II. Geometrija ir trigonometrija. 2-asis. Leidimas. Pearsonas.

Sprendimas

5b paveiksle nupiešti du vienodo dydžio puslankiai rausva ir mėlyna spalva, uždėti ant originalios figūros. Tarp jų jie sudaro ištisą ratą. Jei randate kvadrato plotą ir atimate apskritimo plotą, 5b paveiksle padarysite užtemdytą plotą. Ir atidžiai pažiūrėjus paaiškėja, kad tai yra pusė užtemdyto ploto 5a.

-Papvalus plotas: L ^{2 -}
Puslankio skersmuo: L -
Apskritimo plotas: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ^{2 -} Plotų skirtumas
= pusė užtemdyto ploto =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Apdengtas plotas = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Kiek diametrų turi apskritimas?

Ant apskritimo galite piešti begalinius skersmenis, ir bet kuris iš jų matuoja tą patį.

Nuorodos

1. Antonio. Reuleaux trikampiai ir kitos pastovaus pločio kreivės. Atkurta iš: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Lėktuvo ir kosmoso geometrija ir trigonometrija. „Patria“ kultūros grupė.
3. Jiménez, R. Matematika II. Geometrija ir trigonometrija. 2-asis. Leidimas. Pearsonas.
4. Vikipedija. Reuleaux trikampis. Atkurta iš: es.wikipedia.org.
5. „Wolfram MathWorld“. Skersmuo. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com.