DAUGYBINIS PRINCIPAS: SKAIČIAVIMO METODAI IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Multiplikatyviuosius principas yra technika naudojama sprendžiant skaičiavimo problemų rasti sprendimą be sąrašą savo elementus. Jis taip pat žinomas kaip pagrindinis kombinatorinės analizės principas; jis pagrįstas paeiliui daugyba, siekiant nustatyti, kaip įvykis gali įvykti.

Šis principas teigia, kad jei sprendimas (d ₁ ) gali būti priimtas n būdu, o kitas sprendimas (d ₂ ) gali būti priimtas m būdais, bendras d ₁ ir d ₂ sprendimų priėmimo būdų skaičius bus lygus padauginti iš n _* m. Pagal principą kiekvienas sprendimas priimamas vienas po kito: kelių būdų skaičius = N _{1 *} N ₂ … _* N _x būdų.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Paula planuoja su draugais eiti į kiną, o norėdama išsirinkti drabužius, kuriuos vilks, išskiriu 3 palaidines ir 2 sijonus. Kiek būdų Paula gali apsirengti?

Sprendimas

Tokiu atveju Paula turi priimti du sprendimus:

d ₁ = Pasirinkite iš 3 palaidinių = n

d ₂ = Pasirinkite iš 2 sijonų = m

Tokiu būdu Paula turi n _* m apsisprendimo būdų ar kitokių aprangos būdų.

n _* m = 3 _* 2 = 6 sprendimai.

Padauginimo principas kyla iš medžio diagramos metodo, kuris yra diagrama, susiejanti visus galimus rezultatus, kad kiekviena iš jų galėtų įvykti baigtinį skaičių kartų.

2 pavyzdys

Mario buvo labai ištroškęs, todėl nuėjo į kepyklą nusipirkti sulčių. Luisas juo rūpinasi ir sako, kad jis būna dviejų dydžių: didelis ir mažas; ir keturių skonių: obuolių, apelsinų, citrinų ir vynuogių. Kiek būdų Mario gali pasirinkti sultis?

Sprendimas

Diagramoje matyti, kad Mario turi 8 skirtingus sulčių pasirinkimo būdus ir kad, kaip ir daugybiniame principe, šis rezultatas gaunamas padauginus n _* m. Skirtumas tik tas, kad šioje diagramoje galite pamatyti, kaip Mario pasirenka sultis.

Kita vertus, kai galimų rezultatų yra labai daug, praktiškiau naudoti daugybos principą.

Skaičiavimo technika

Skaičiavimo metodai yra metodai, naudojami tiesioginiam skaičiavimui atlikti, ir tokiu būdu žinoti galimų išdėstymų, kuriuos gali turėti tam tikro rinkinio elementai, skaičių. Šie metodai grindžiami keliais principais:

Papildymo principas

Šis principas teigia, kad jei du įvykiai m ir n negali įvykti tuo pačiu metu, pirmojo ar antrojo įvykių pasireiškimo būdų skaičius bus m + n suma:

Formų skaičius = m + n… + x skirtingų formų.

Pavyzdys

Antonio nori leistis į kelionę, bet nenusprendžia į kurią vietą; Pietų turizmo agentūroje jie siūlo jums paskatinimą keliauti į Niujorką ar Las Vegasą, o Rytų turizmo agentūra rekomenduoja keliauti į Prancūziją, Italiją ar Ispaniją. Kiek skirtingų kelionių alternatyvų siūlo Antonio?

Sprendimas

Su Pietų turizmo agentūra Antonio turi 2 alternatyvas (Niujorkas ar Las Vegasas), o su Rytų turizmo agentūra turi 3 galimybes (Prancūzijoje, Italijoje ar Ispanijoje). Įvairių alternatyvų yra:

Alternatyvų skaičius = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyvos.

Permutacijos principas

Tai yra visų arba visų elementų, kurie sudaro rinkinį, užsakymas, kad būtų lengviau suskaičiuoti visas įmanomas priemones, kurias galima sudaryti su elementais.

N skirtingų elementų permutacijų skaičius, paimtas iš karto, pavaizduotas taip:

_n P _n = n!

Pavyzdys

Keturi draugai nori nusifotografuoti ir nori žinoti, kiek skirtingų būdų jie gali būti išdėstyti.

Sprendimas

Norite žinoti apie visus įmanomus 4 žmonių padėties fotografavimo būdų rinkinį. Taigi, jūs turite:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 skirtingos formos.

Jei n turimų elementų permutacijų skaičius imamas iš rinkinio dalių, kurias sudaro r elementai, tai pavaizduojama taip:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Pavyzdys

Klasėje yra 10 vietų. Jei klasėje lankosi 4 mokiniai, kuo įvairiais būdais studentai gali užpildyti šias vietas?

Sprendimas

Mes turime tai, kad bendras kėdžių komplekto skaičius yra 10, o iš jų bus naudojami tik 4. Duota formulė taikoma nustatant permutacijų skaičių:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 pozicijų užpildymo būdų.

Yra atvejų, kai kai kurie turimi rinkinio elementai yra pakartojami (jie yra tie patys). Norint apskaičiuoti masyvų, imančių visus elementus vienu metu, skaičių, naudojama ši formulė:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Pavyzdys

Kiek skirtingų keturių raidžių žodžių galima sudaryti iš žodžio „vilkas“?

Sprendimas

Šiuo atveju yra 4 elementai (raidės), iš kurių du yra visiškai vienodi. Taikant nurodytą formulę yra žinoma, kiek skirtingų žodžių yra:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 skirtingų žodžių.

Derinimo principas

Tai yra visų ar kai kurių elementų, kurie sudaro rinkinį, išdėstymas be konkretaus užsakymo. Pvz., Jei turite XYZ išdėstymą, jis, be kitų, bus identiškas ZXY, YZX, ZYX; taip yra todėl, kad, nepaisant to, kad tvarka nėra ta pati, kiekvienos struktūros elementai yra vienodi.

Kai kai kurie elementai (r) paimami iš aibės (n), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Pavyzdys

Parduotuvėje jie parduoda 5 skirtingų rūšių šokoladą. Kiek skirtingų būdų galima pasirinkti 4 šokoladus?

Sprendimas

Tokiu atveju iš 5 rūšių, kurias jie parduoda parduotuvėje, reikia pasirinkti 4 šokoladus. Jų pasirinkimo tvarka neturi jokios reikšmės, be to, šokolado rūšį galima pasirinkti daugiau nei du kartus. Taikydami formulę, turite:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 skirtingi būdai pasirinkti 4 šokoladus.

Kai imami visi rinkinio (n) elementai (r), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:

_n C _{n =} n!

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Yra beisbolo komanda, kurioje yra 14 narių. Kaip keliais būdais žaidimui galima priskirti 5 pozicijas?

Sprendimas

Rinkinį sudaro 14 elementų ir norite priskirti 5 konkrečias pozicijas; tai yra tvarka yra svarbi. Permutacijos formulė taikoma tada, kai n turimus elementus paima aibės dalys, kurias sudaro r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Kur n = 14 ir r = 5. Jis pakeičiamas formule:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 būdų, kaip priskirti 9 žaidimo pozicijas.

2 pratimas

Jei 9 asmenų šeima leidžiasi į kelionę ir perka bilietus su iš eilės sėdinčiomis vietomis, kiek skirtingų būdų jie gali atsisėsti?

Sprendimas

Tai yra maždaug 9 elementai, kurie užims 9 vietas iš eilės.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 skirtingi sėdėjimo būdai.

Nuorodos

1. Hopkins, B. (2009). Diskretinės matematikos mokymo ištekliai: projektai klasėse, istorijos moduliai ir straipsniai.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretinė matematika. „Pearson Education“,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Ribotas ir diskretus matematikos problemų sprendimas. Tyrimų ir švietimo asociacijos redaktoriai.
4. Padró, FC (2001). Diskretinė matematika. Politèc. iš Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Taikomųjų mokslų matematika. Grąžinti.