TIKIMYBIŲ AKSIOMOS: TIPAI, PAAIŠKINIMAS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - DUDAS

Į tikimybės aksiomos yra matematiniai teiginiai, nurodantys į tikimybių teoriją, kuri neverta įrodymų. Aksiomas 1933 m. Nustatė rusų matematikas Andrejus Kolmogorovas (1903–1987) savo „Tikimybių teorijos fonde“ ir padėjo pagrindus matematiniam tikimybių tyrimui.

Atliekant tam tikrą atsitiktinį eksperimentą the, mėginio erdvė E yra visų galimų eksperimento rezultatų, dar vadinamų įvykiais, aibė. Bet kuris įvykis žymimas kaip A, o P (A) yra jo įvykio tikimybė. Tada Kolmogorovas nustatė, kad:

1 paveikslas. Tikimybės aksiomos leidžia apskaičiuoti tokių azartinių žaidimų kaip ruletė tikimybę. Šaltinis: „Pixabay“.

- 1 aksioma (neneigiamumas) : bet kokio įvykio A tikimybė visada yra teigiama arba lygi nuliui, P (A) ≥0. Kai įvykio tikimybė yra 0, jis vadinamas neįmanomu įvykiu.

- 2 aksioma (tikrumas) : kai įvykis, priklausantis E, jo įvykio tikimybė yra 1, kurį galime išreikšti kaip P (E) = 1. Tai žinoma kaip tam tikras įvykis, nes atliekant eksperimentą tikrai yra rezultatas.

- 3 aksioma (papildymas) : tuo atveju, kai du ar daugiau nesuderinamų įvykių vyksta po du, vadinamus A ₁ , A ₂ , A ₃ …, tikimybė, kad įvykis A ₁ plius A ₂ plius A ₃ ir tt iš eilės tai yra kiekvieno įvykio atskirai tikimybių suma.

Tai išreiškiama taip: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Puikus Rusijos matematikas Andrejus Kolmogorovas (1903–1987), padėjęs pamatus aksiomatinei tikimybei. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Pavyzdys

Tikimybės aksiomos yra plačiai naudojamos daugybėje programų. Pavyzdžiui:

Miniatiūra ar klijai išmetami į orą, o kai jie krenta ant grindų, galima nusileisti su tašku aukštyn (U) arba su tašku žemyn (D) (mes nenagrinėsime kitų galimybių). Šio eksperimento pavyzdinę vietą sudaro šie įvykiai, tada E = {U, D}.

3 pav. Atliekant mėtymo bandymą, yra du skirtingos tikimybės įvykiai: nusileidimas tašku aukštyn arba link žemės. Šaltinis: „Pixabay“.

Taikydami aksiomas, turime:

Jei tokia pati tikimybė nusileisti aukštyn arba žemyn, P (U) = P (D) = ½ (1 aksioma). Tačiau dėl miniatiūros konstrukcijos ir dizaino gali būti didesnė tikimybė, kad ji nukris vienaip ar kitaip. Pavyzdžiui, gali būti, kad P (U) = ¾, o P (D) = ¼ (1 aksioma).

Atkreipkite dėmesį, kad abiem atvejais tikimybių suma suteikia 1. Tačiau aksiomos nenurodo, kaip priskirti tikimybes, bent jau ne iki galo. Bet jie teigia, kad jie yra skaičiai nuo 0 iki 1 ir kad, kaip šiuo atveju, visų suma yra 1.

Tikimybės priskyrimo būdai

Tikimybės aksiomos nėra tikimybės vertės priskyrimo metodas. Tam yra trys variantai, suderinami su aksiomomis:

Laplaso taisyklė

Kiekvienam įvykiui priskiriama ta pati įvykio tikimybė, tada įvykio tikimybė apibrėžiama taip:

Pavyzdžiui, kokia tikimybė nupiešti tūzą iš prancūziškų kortelių denio? Denyje yra 52 kortelės, po 13 kiekvieno kostiumo ir yra 4 kostiumai. Kiekvienas kostiumas turi 1 tūzą, taigi iš viso yra 4 tūzai:

P (kaip) = 4/52 = 1/13

Laplaso taisyklė apsiriboja baigtiniais mėginių tarpais, kur kiekvienas įvykis yra vienodai tikėtinas.

Santykinis dažnis

Čia eksperimentas turi būti pakartojamas, nes metodas pagrįstas daugybės pakartojimų atlikimu.

Padarykime i eksperimento pet pakartojimus, iš kurių nustatome, kad n yra tam tikro įvykio A įvykio kartų skaičius, tada šio įvykio tikimybė yra:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Kur n / i yra santykinis įvykio dažnis.

P (A) apibrėžimas tokiu būdu tenkina Kolmogorovo aksiomas, tačiau turi trūkumą, kad norint atlikti tikimybę reikia atlikti daugybę testų.

Subjektyvus metodas

Asmuo ar žmonių grupė gali susitarti priskirti įvykio tikimybę savo nuožiūra. Šio metodo trūkumas yra tas, kad skirtingi žmonės tam pačiam įvykiui gali priskirti skirtingas tikimybes.

Pratimas išspręstas

Eksperimentuodami tuo pačiu metu išmeskite 3 sąžiningas monetas, gaukite aprašytų įvykių tikimybes:

a) 2 galvos ir uodega.

b) 1 galva ir dvi uodegos

c) 3 kryžiai.

d) mažiausiai 1 veidas.

Sprendimas

Galvutės žymimos C, o uodegos - X. Tačiau yra keletas būdų, kaip gauti dvi galvas ir uodegą. Pavyzdžiui, pirmosios dvi monetos gali iškrauti galvas, o trečiosios gali iškrauti uodegas. Arba pirmoji gali nukristi, antra - uodegos ir trečia. Ir galiausiai pirmosios gali būti uodegos ir likusios galvos.

Norint atsakyti į klausimus, reikia žinoti visas galimybes, kurios aprašytos įrankyje, vadinamame medžio schema arba tikimybių medžiu:

4 paveikslas. Medžio schema, kai vienu metu išmetamos trys sąžiningos monetos. Šaltinis: F. Zapata.

Tikimybė, kad bet kuri moneta bus su galvomis, yra ½, lygiai taip pat ir su uodegomis, nes moneta yra sąžininga. Dešiniajame stulpelyje pateikiamos visos galimybės, kurias turi mesti daiktai, tai yra, mėginio plotas.

Iš pavyzdžio vietos pasirenkami deriniai, kurie reaguoja į pageidaujamą įvykį, nes veidai, kuriais parodomi veidai, nėra svarbūs. Yra trys palankūs įvykiai: CCX, CXC ir XCC. Kiekvieno įvykio tikimybė yra tokia:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Tas pats atsitinka su CXC ir XCC įvykiais, kiekvienas iš jų turi 1/8 tikimybę. Todėl tikimybė gauti tiksliai 2 galvas yra visų palankių įvykių tikimybių suma:

P (2-pusė) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

B sprendimas

Rasti tikimybę, kad įvyks tiksliai du kryžiai, yra problema, analogiška ankstesnei, taip pat yra trys palankūs įvykiai, paimti iš mėginio vietos: CXX, XCX ir XXC. Taigi:

P (2 kryžiai) = 3/8 = 0,375

C sprendimas

Intuityviai žinome, kad tikimybė gauti 3 uodegas (arba 3 galvas) yra mažesnė. Šiuo atveju norimas įvykis yra XXX, dešiniojo stulpelio pabaigoje, kurio tikimybė yra:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

D sprendimas

Prašoma išgauti bent 1 veidą, tai reiškia, kad gali išeiti 3 veidai, 2 veidai arba 1 veidas. Vienintelis su tuo nesuderinamas įvykis, kai išeina 3 uodegos, kurių tikimybė yra 0,125. Todėl siekiama tikimybės:

P (mažiausiai 1 galva) = 1 - 0,125 = 0,875.

Nuorodos

Canavos, G. 1988. Tikimybė ir statistika: taikymai ir metodai. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Inžinerijos ir mokslo tikimybės ir statistika. 8-asis. Leidimas. Cengažas.
Lipschutz, S. 1991. Schaum serija: tikimybė. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Tikimybių teorija. Redakcija „Limusa“.
Walpole, R. 2007. Inžinerijos ir mokslų tikimybės ir statistika. Pearsonas.

TIKIMYBIŲ AKSIOMOS: TIPAI, PAAIŠKINIMAS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - DUDAS - 2025