KURTOZĖ: APIBRĖŽIMAS, TIPAI, FORMULĖS, KAS TAI YRA, PVZ - DUDAS - 2025

Ekscesas arba ekscesas yra statistinis parametras naudojamas apibūdinti tikimybinį pasiskirstymą atsitiktinio kintamojo, nurodant koncentracijos verčių aplink centrinę priemonės laipsnį. Tai dar vadinama „aukščiausiu laipsniu“.

Šis terminas kilęs iš graikų kalbos „kurtos“, reiškiančio arką, todėl kurtozė rodo paskirstymo nukreipimo ar išlyginimo laipsnį, kaip parodyta šiame paveiksle:

1 pav. Skirtingi kurtozės tipai. Šaltinis: F. Zapata.

Beveik visos atsitiktinio kintamojo vertės yra linkusios susilieti į centrinę vertę, tokią kaip vidurkis. Tačiau kai kuriuose pasiskirstymuose vertės yra labiau išsklaidytos nei kituose, todėl kreivės yra lygesnės ar plonesnės.

Apibrėžimas

Kurtozė yra skaitmeninė reikšmė, būdinga kiekvienam dažnio pasiskirstymui, kuri pagal verčių koncentraciją aplink vidurkį skirstoma į tris grupes:

- Leptokurtika: reikšmės yra labai suskirstytos į vidurkį, todėl pasiskirstymas yra gana smailus ir lieknas (1 pav., Kairėje).

- „ Mesocúrtic“: jo vidutinė reikšmių koncentracija siekia vidurkį (1 paveikslas centre).

- „ Platicúrtica“: šis paskirstymas yra platesnės formos, nes vertės yra labiau išsklaidytos (1 pav. Dešinėje).

Formulės ir lygtys

Kurtozė gali turėti bet kokią vertę, be apribojimų. Jo apskaičiavimas atliekamas priklausomai nuo duomenų pateikimo būdo. Kiekvienu atveju naudojama ši žymėjimas:

-Kartrozės koeficientas: g ₂

-Aritmetinis vidurkis: X arba x su brūkšniu

-I-oji vertė: x _i

-Standartinis nuokrypis: σ

-Duomenų skaičius: N

-I-osios vertės dažnis: f _i

-Klasos prekės ženklas: mx _i

Remdamiesi šiuo žymėjimu, pateikiame keletą dažniausiai naudojamų formulių, skirtų kurtozei nustatyti:

- Kurtozė pagal duomenų pateikimą

Duomenys nėra sugrupuoti ar sugrupuoti pagal dažnius

Duomenys sugrupuoti intervalais

Perteklinė kurtozė

Dar vadinamas Fišerio taikymo koeficientu arba Fišerio matu, jis naudojamas palyginant tiriamą pasiskirstymą su normaliu pasiskirstymu.

Kai perteklinė kurtozė yra 0, mes esame normaliame pasiskirstyme arba Gauso varpe. Tokiu būdu, kai apskaičiuojama perteklinė paskirstymo kurtozė, mes ją faktiškai lyginame su normaliu pasiskirstymu.

Tiek nesugrupuotiems, tiek sujungtiems duomenims Fišerio taško koeficientas, žymimas K, yra:

K = g ₂ - 3

Dabar galima parodyti, kad normalaus pasiskirstymo kurtozė yra 3, taigi, jei Fišerio taško koeficientas yra 0 arba artimas 0 ir yra mezokruktinis pasiskirstymas. Jei K> 0, pasiskirstymas yra leptokurtinis, o jei K <0 - platicúrtinis.

Kam skirta kurtozė?

Kurtozė yra kintamumo matas, naudojamas apibūdinti pasiskirstymo morfologiją. Tokiu būdu galima palyginti simetrinius pasiskirstymus su tuo pačiu vidurkiu ir ta pačia dispersija (atsižvelgiant į standartinį nuokrypį).

Kintamumo matavimai užtikrina, kad vidurkiai yra patikimi, ir padeda kontroliuoti pasiskirstymo pokyčius. Kaip pavyzdį pažvelkime į šias dvi situacijas.

3 skyrių atlyginimai

Tarkime, kad šis grafikas rodo 3 tos pačios įmonės skyrių atlyginimų paskirstymą:

3 pav. Trys paskirstymai su skirtinga kurtozė iliustruoja praktines situacijas. (Parengė Fanny Zapata)

Kreivė A yra ploniausia iš visų, ir iš jos formos galima daryti išvadą, kad dauguma to skyriaus atlyginimų yra labai artimi vidurkiui, todėl dauguma darbuotojų gauna panašias kompensacijas.

Kita vertus, B skyriuje darbo užmokesčio kreivė seka normalų pasiskirstymą, nes kreivė yra mezocúrtinė, kurioje manome, kad darbo užmokestis buvo paskirstytas atsitiktine tvarka.

Pagaliau turime kreivę C, kuri yra labai plokščia - tai ženklas, kad šiame skyriuje atlyginimų diapazonas yra daug platesnis nei kituose.

Egzamino rezultatai

Dabar tarkime, kad 3 paveiksle pateiktos trys kreivės parodo egzamino, atlikto trims to paties dalyko studentų grupėms, rezultatus.

Grupė, kurios reitingai vaizduojami A leptokurtikos kreive, yra gana vienalytė, dauguma gavo vidutinį arba artimą įvertinimą.

Taip pat gali būti, kad rezultatą lėmė testiniai klausimai, turintys daugiau ar mažiau tokį patį sunkumo laipsnį.

Kita vertus, C grupės rezultatai rodo didesnį nevienalytiškumą grupėje, kurioje tikriausiai yra vidutiniai studentai, keletas labiau pažengusių studentų ir tikrai tas pats mažiau dėmesingas.

Arba tai gali reikšti, kad testo klausimai turėjo labai skirtingą sunkumo laipsnį.

B kreivė yra mezocutinė, tai rodo, kad bandymo rezultatai pasiskirstė normaliai. Paprastai tai yra dažniausiai pasitaikantys atvejai.

Dirbtas kurtozės pavyzdys

Raskite šių klasių Fišerio balų koeficientą, gautą atliekant fizikos egzaminą studentų grupei, kurio skalė nuo 1 iki 10:

Sprendimas

Nesugrupuotiems duomenims, pateiktiems ankstesniuose skirsniuose, bus naudojama ši išraiška:

K = g ₂ - 3

Ši vertė leidžia žinoti paskirstymo tipą.

Norėdami apskaičiuoti g _2, patogu tai padaryti tvarkingai, žingsnis po žingsnio, nes reikia išspręsti keletą aritmetinių operacijų.

1 žingsnis

Pirmiausia apskaičiuojamas pažymių vidurkis. Yra N = 11 duomenų.

2 žingsnis

Rastas standartinis nuokrypis, kuriam naudojama ši lygtis:

σ = 1,992

Arba galite sudaryti lentelę, kuri taip pat reikalinga kitam žingsniui ir kurioje užrašomas kiekvienas reikalingas apibendrinimo terminas, pradedant nuo (x _i - X), tada (x _i - X) ² ir tada (x _i – X) ⁴ :

3 žingsnis

Atlikite g ₂ formulės skaitiklyje nurodytą sumą . Tam naudojamas ankstesnės lentelės dešiniojo stulpelio rezultatas:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Taigi:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,1992 ⁴ = 1,675

Fišerio taško koeficientas yra:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Įdomu yra rezultato ženklas, kuris, būdamas neigiamas, atitinka platicúrtinį pasiskirstymą, kuris gali būti aiškinamas taip, kaip buvo padaryta ankstesniame pavyzdyje: galbūt tai yra nevienalytis kursas su skirtingo susidomėjimo laipsnio studentais arba egzamino klausimai buvo skirtingo lygio sunkumų.

Skaičiuoklės, tokios kaip „Excel“, naudojimas labai palengvina šių tipų problemų sprendimą ir siūlo grafiko paskirstymą.

Nuorodos

1. Levin, R. 1988. Administratorių statistika. 2-asis. Leidimas. Prentice salė.
2. Marco, F. Kurtozė. Atgauta iš: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetrija ir kurtozė. Atkurta iš: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Sprendimų priėmimas valdyme. Limusa.
5. Vikipedija. Kurtozė. Atkurta iš: en.wikipedia.org.