PUASONO PASISKIRSTYMAS: FORMULĖS, LYGTYS, MODELIS, SAVYBĖS - DUDAS - 2025

Puasono skirstinys yra diskretus tikimybinis skirstinys, pagal kurį būtų galima sužinoti, tikimybę, kad per didelis imties dydis ir tam tikru intervalu, įvykis, kurio tikimybė yra maža įvyks metu.

Dažnai Puasono skirstinys gali būti naudojamas vietoje binominio paskirstymo, jei tenkinamos šios sąlygos: didelis pavyzdys ir maža tikimybė.

1 paveikslas. Puasono paskirstymo grafikas skirtingiems parametrams. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Siméon-Denis Poisson (1781–1840) sukūrė šį jo vardu pavadintą paskirstymą, labai naudingą, kai kalbama apie nenuspėjamus įvykius. Poissonas paskelbė savo rezultatus 1837 m., Tyrinėjimo dėl klaidingų baudžiamųjų bausmių tikimybės tyrimo darbą.

Vėliau kiti tyrėjai pritaikė paskirstymą kitose srityse, pavyzdžiui, žvaigždžių, kurias galima rasti tam tikrame erdvės plote, skaičių arba tikimybę, kad kareivis numirs nuo arklio smūgio.

Formulė ir lygtys

Matematinė Puasono paskirstymo forma yra tokia:

- μ (taip pat kartais žymimas kaip λ) yra paskirstymo vidurkis arba parametras

- Eulerio numeris: e = 2,71828

- Tikimybė gauti y = k yra P

- k yra 0, 1,2,3 pasisekimų skaičius …

- n yra testų ar įvykių skaičius (imties dydis)

Diskretiniai atsitiktiniai kintamieji, kaip rodo jų pavadinimas, priklauso nuo atsitiktinumo ir imami tik diskretiniai dydžiai: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Pasiskirstymo vidurkis apskaičiuojamas taip:

Dispersija σ, matuojanti duomenų sklaidą, yra dar vienas svarbus parametras. Puasono paskirstymas yra toks:

σ = μ

Puasonas nustatė, kad kai n → ∞ ir p → 0, vidutinis μ, dar vadinamas laukiama verte, turi pastovią reikšmę:

-Svarstomi įvykiai ar įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito ir vyksta atsitiktinai.

- Tam tikro įvykio, vykstančio tam tikru laikotarpiu, P tikimybė yra labai maža: P → 0.

-Tiesa, kad daugiau nei vienas įvykis įvyks per laiko tarpą, yra 0.

-Vidutinė vertė apytiksliai atitinka konstantą, apskaičiuotą: μ = np (n yra mėginio dydis)

- Kadangi dispersija σ yra lygi μ, nes ji priima didesnes reikšmes, todėl kintamumas taip pat tampa didesnis.

- Renginiai turi būti tolygiai paskirstyti pagal naudojamą laiko tarpą.

- Galimų įvykio y reikšmių rinkinys yra: 0,1,2,3,4….

-I kintamųjų, kurie seka Puasono pasiskirstymą, suma taip pat yra kitas Puasono kintamasis. Vidutinė jo vertė yra šių kintamųjų vidutinių verčių suma.

Binominio paskirstymo skirtumai

Puasono skirstinys skiriasi nuo binominio paskirstymo šiais svarbiais būdais:

- Binominiam pasiskirstymui įtakos turi ir imties dydis n, ir tikimybė P, tačiau Puasono pasiskirstymui įtakos turi tik vidutinis μ.

-Binominiame pasiskirstyme galimos atsitiktinio kintamojo y vertės yra 0,1,2,…, N, tuo tarpu Puasono pasiskirstyme nėra šių verčių viršutinės ribos.

Pavyzdžiai

Iš pradžių Puasonas savo garsųjį platinimą pritaikė teisinėms byloms, tačiau pramoniniu lygmeniu vienas ankstyviausių jo naudojimo būdų buvo alaus darymas. Šiame procese mielių kultūros naudojamos fermentacijai.

Mielės susideda iš gyvų ląstelių, kurių populiacija laikui bėgant kinta. Gaminant alų reikia pridėti reikiamą kiekį, todėl būtina žinoti ląstelių kiekį, kuris yra tūrio vienete.

Antrojo pasaulinio karo metu Puasono paskirstymas buvo naudojamas norint išsiaiškinti, ar vokiečiai iš tikrųjų taikėsi į Londoną iš Kalė, ar tik šaudė atsitiktinai. Tai buvo svarbu sąjungininkams, siekiant nustatyti, kokia buvo naciams prieinama technologija.

Praktiniai pritaikymai

Puasono paskirstymo programos visada remiasi skaičiavimais laike arba skaičiavimais erdvėje. Ir kadangi įvykio tikimybė yra maža, ji taip pat žinoma kaip „retų įvykių dėsnis“.

Čia pateiktas įvykių, kurie patenka į šias kategorijas, sąrašas:

- Dalelių registravimas radioaktyviame skilime, kuris, kaip ir mielių ląstelių augimas, yra eksponentinė funkcija.

- Apsilankymų tam tikroje svetainėje skaičius.

-Žmonių atvykimas į eilę susimokėti ar būti lankomiems (eilių teorija).

Automobilių skaičius, pravažiavęs tam tikrą kelio tašką per nurodytą laiko tarpą.

2 paveikslas. Automobilių, einančių per tašką, skaičius maždaug atitinka Puasono pasiskirstymą. Šaltinis: „Pixabay“.

-Mutacijos, patirtos tam tikroje DNR grandinėje, gavus radiacijos poveikį.

-Meteoritų, kurių skersmuo didesnis kaip 1 m, kritimas per metus.

- Poveikiai kvadratiniam audinio metrui.

- Kraujo ląstelių kiekis 1 kubiniame centimetre.

- Skambučiai per minutę į telefono stotį.

-Šokolado drožlių yra 1 kg pyrago tešlos.

- Medžių, užkrėstų tam tikru parazitu, skaičius 1 ha miško.

Atminkite, kad šie atsitiktiniai kintamieji parodo, kiek kartų įvykis įvyksta per nustatytą laiko tarpą (skambučiai per minutę į telefono stotį) arba tam tikroje erdvės srityje (audinio trūkumai kvadratiniame metre).

Šie įvykiai, kaip jau buvo nustatyta, nepriklauso nuo laiko, praėjusio nuo paskutinio įvykio.

Binomo paskirstymo suderinimas su Puasono skirstiniu

Puasono skirstinys yra tinkamas binominio pasiskirstymo suderinimas, jei:

-Mėginio dydis yra didelis: n ≥ 100

-Tikimybė p yra maža: p ≤ 0,1

- μ yra tokia tvarka: np ≤ 10

Tokiais atvejais Puasono paskirstymas yra puikus įrankis, nes šiais atvejais gali būti sunku pritaikyti binominį paskirstymą.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Seismologinis tyrimas nustatė, kad per pastaruosius 100 metų visame pasaulyje įvyko 93 dideli žemės drebėjimai, mažiausiai 6,0 pagal Richterio skalę - logaritminiai. Tarkime, kad Puasono paskirstymas šiuo atveju yra tinkamas modelis. Rasti:

a) Vidutinis didelių žemės drebėjimų skaičius per metus.

b) Jei P (y) yra žemės drebėjimų tikimybė per atsitiktinai pasirinktus metus, suraskite šias tikimybes:

Tai yra gana mažiau nei P (2).

Rezultatai pateikiami žemiau:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Pvz., Galime pasakyti, kad yra 39,5% tikimybė, kad konkrečiais metais didelio žemės drebėjimo neįvyks. Arba, kad tais metais įvyko 5,29% 3 didelių žemės drebėjimų.

C sprendimas

c) analizuojami dažniai, padauginus iš n = 100 metų:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 ir 0,00471.

Pavyzdžiui:

- 39,5 dažnis rodo, kad per 39,5 iš 100 metų įvyksta 0 didelių žemės drebėjimų, galima sakyti, kad jis yra beveik artimas faktiniam 47 metų rezultatui be didesnio žemės drebėjimo.

Palyginkime kitą Puasono rezultatą su realiais rezultatais:

- Gauta 36,7 vertė reiškia, kad per 37 metus įvyko 1 didelis žemės drebėjimas. Tikrasis rezultatas yra tas, kad per 31 metus įvyko 1 didelis žemės drebėjimas, kuris gerai atitiko modelį.

- Tikimasi, kad įvyks 17,1 metų per 2 didelius žemės drebėjimus, ir žinoma, kad per 13 metų, o tai yra artima reikšmė, iš tikrųjų įvyko 2 dideli žemės drebėjimai.

Todėl Puasono modelis šiuo atveju yra priimtinas.

2 pratimas

Vienos kompanijos vertinimu, komponentų, kurie sugenda prieš pasiekdami 100 darbo valandų, skaičius priklauso nuo Puasono paskirstymo. Jei vidutinis gedimų skaičius per tą laiką yra 8, suraskite šias tikimybes:

a) Komponentas sugenda per 25 valandas.

b) mažiau nei dviejų komponentų gedimas per 50 valandų.

c) Mažiausiai trys komponentai sugenda per 125 valandas.

Sprendimas)

a) Yra žinoma, kad gedimų vidurkis per 100 valandų yra 8, todėl per 25 valandas tikimasi ketvirtį gedimų, tai yra 2 nesėkmės. Tai bus μ parametras.

Prašoma 1 komponento sugedimo tikimybės, atsitiktinis kintamasis yra „komponentai, kurie sugenda prieš 25 valandas“, o jo vertė yra y = 1. Pakeisdami tikimybės funkciją:

Tačiau klausimas yra tikimybė, kad mažiau nei du komponentai sugenda per 50 valandų, o ne tai, kad tiksliai 2 komponentai sugenda per 50 valandų, todėl turime pridėti tikimybes, kad:

-Niekas nepavyks

- Tik gedimas 1

Paskirstymo parametras μ šiuo atveju yra:

μ = 8 + 2 = 10 gedimų per 125 valandas.

P (3 ar daugiau komponentų sugenda) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Nuorodos

1. „MathWorks“. Puasono pasiskirstymas. Atkurta iš: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Vadybos ir ekonomikos statistika. 3-ioji. leidimas. „Grupo“ redakcija „Iberoamérica“.
3. „Stat Trek“. Išmokite sau statistiką. Puasono pasiskirstymas. Atkurta iš: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementarioji statistika. 11-oji. Ed Pearson švietimas.
5. Vikipedija. Puasono pasiskirstymas. Atkurta iš: en.wikipedia.org