HIPERGEOMETRINIS PASISKIRSTYMAS: FORMULĖS, LYGTYS, MODELIS - DUDAS - 2025

Irstiniai yra diskretus statistinė funkcija, tinka skaičiuojant atsitiktinių imčių eksperimentų tikimybę su dviem galimais rezultatais. Taikymo sąlyga yra ta, kad tai yra mažos populiacijos, kuriose pašalinimai nėra pakeisti ir tikimybės nėra pastovios.

Todėl, kai pasirenkamas tam tikras populiacijos elementas, kad jis žinotų tam tikro požymio rezultatą (teisingą ar klaidingą), tas pats elementas negali būti vėl pasirinktas.

1 pav. Tokiuose varžtuose, kaip šis, tikrai yra trūkumų turinčių pavyzdžių. Šaltinis: „Pixabay“.

Be abejo, labiau tikėtina, kad kitas pasirinktas elementas gaus tikrąjį rezultatą, jei ankstesnio elemento rezultatas buvo neigiamas. Tai reiškia, kad tikimybė skiriasi, nes elementai yra išgaunami iš imties.

Pagrindiniai hipergeometrinio pasiskirstymo taikymo būdai: kokybės kontrolė procesuose, kuriuose mažai gyventojų, ir tikimybių skaičiavimas azartiniuose žaidimuose.

Matematinę funkciją, apibrėžiančią hipergeometrinį pasiskirstymą, sudaro trys parametrai, kurie yra:

- populiacijos elementų skaičius (N)

- mėginio dydis (m)

- įvykių skaičius visoje populiacijoje, turint teigiamą (arba nepalankų) tiriamos charakteristikos rezultatą (n).

Formulės ir lygtys

Hipergeometrinio pasiskirstymo formulė suteikia tikimybę P, kad įvyksta x palankūs tam tikros charakteristikos atvejai. Tai gali būti matematiškai parašyta remiantis kombinatoriniais skaičiais:

Ankstesnėje išraiškoje N, n ir m yra parametrai, o x yra pats kintamasis.

- Bendras gyventojų skaičius yra N.

- Teigiamų tam tikros dvejetainės charakteristikos rezultatų skaičius, palyginti su visais populiacijomis, yra n.

-Mėginio elementų kiekis yra m.

Šiuo atveju X yra atsitiktinis kintamasis, kurio reikšmė x, o P (x) rodo x palankių tirto požymio atvejų atsiradimo tikimybę.

Svarbūs statistiniai kintamieji

Kiti hipergeometrinio pasiskirstymo statistiniai kintamieji yra šie:

- Vidutinis μ = m * n / N

- Variacija σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Standartinis nuokrypis σ, kuris yra kvadrato dispersija.

Modelis ir savybės

Norėdami patekti į hipergeometrinio pasiskirstymo modelį, pradedame nuo tikimybės gauti x palankų atvejį m dydžio imtyje. Šiame pavyzdyje yra elementų, kurie atitinka tiriamąjį turtą, ir neatitinkančių elementų.

Prisiminkite, kad n rodo palankių atvejų skaičių bendroje N elementų populiacijoje. Tada tikimybė būtų apskaičiuota taip:

Išreiškiant tai, kas išdėstyta kombinatorinių skaičių pavidalu, pasiekiamas toks tikimybių pasiskirstymo modelis:

Pagrindinės hipergeometrinio pasiskirstymo savybės

Jie yra šie:

- Imtis visada turi būti nedidelė, net jei populiacija yra didelė.

- Mėginio elementai išgaunami po vieną, neįtraukus jų atgal į populiaciją.

- Tirtinė savybė yra dvejetainė, tai yra, ji gali turėti tik dvi reikšmes: 1 arba 0 arba teisinga arba klaidinga.

Kiekviename elemento išgavimo etape tikimybė keičiasi atsižvelgiant į ankstesnius rezultatus.

Aproksimacija naudojant binominį pasiskirstymą

Kita hipergeometrinio pasiskirstymo savybė yra tai, kad jį galima apytiksliai palyginti su binominiu pasiskirstymu, žymimu Bi, jei populiacija N yra didelė ir mažiausiai 10 kartų didesnė už m imtį. Tokiu atveju tai atrodytų taip:

Tikimybė, kad pavyzdyje x = 3 varžtai yra nekokybiški, yra: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

Savo ruožtu tikimybė, kad x = 4 varžtai iš šešiasdešimties pavyzdžių yra nekokybiški, yra: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Galiausiai tikimybė, kad x = 5 varžtų tame pavyzdyje yra sugedusi, yra: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Bet jei norite sužinoti tikimybę, kad tame pavyzdyje yra daugiau nei 3 varžtai su trūkumais, turite gauti kaupiamąją tikimybę pridėdami:

Šis pavyzdys iliustruotas 2 paveiksle, gauta naudojant „GeoGebra“ - nemokamą programinę įrangą, plačiai naudojamą mokyklose, institutuose ir universitetuose.

2 pav. Hipergeometrinio pasiskirstymo pavyzdys. Parengė F. Zapata su „GeoGebra“.

2 pavyzdys

Ispanijos denio denyje yra 40 kortelių, iš kurių 10 turi auksą, o likusios 30 neturi. Tarkime, kad iš to denio atsitiktinai ištraukiamos 7 kortelės, kurios nėra pakartotinai įtrauktos į denį.

Jei X yra aukso skaičius, esantis 7 nubrėžtose kortelėse, tada tikimybė, kad x auksų bus padaryta 7 kortelėse, yra nustatyta pagal hipergeometrinį pasiskirstymą P (40,10,7; x).

Pažiūrėkime taip: norėdami apskaičiuoti 4 auksų tikimybę 7 kortelių piešinyje, naudojame hipergeometrinio pasiskirstymo formulę su šiomis vertėmis:

Rezultatas: 4,57% tikimybė.

Bet jei norite sužinoti daugiau nei 4 kortų tikimybę, turite pridėti:

Išspręsta mankšta

Šis pratimų rinkinys skirtas iliustruoti ir įsisavinti sąvokas, kurios buvo pateiktos šiame straipsnyje. Svarbu, kad skaitytojas bandytų jas išspręsti pats, prieš pažvelgdamas į sprendimą.

1 pratimas

Prezervatyvų fabrikas nustatė, kad iš 1000 prezervatyvų, pagamintų tam tikra mašina, 5 yra sugedę. Kokybės kontrolei atsitiktinai paimami 100 prezervatyvų ir partija atmetama, jei yra bent vienas ar daugiau trūkumų. Atsakymas:

a) Kokia tikimybė, kad 100 iš jų bus išmesta?

b) Ar šis kokybės kontrolės kriterijus yra efektyvus?

Sprendimas

Tokiu atveju pasirodys labai dideli deriniai. Apskaičiuoti sunku, nebent turite tinkamą programinės įrangos paketą.

Bet kadangi tai yra didelė populiacija ir imtis yra dešimt kartų mažesnė už bendrą populiaciją, galima naudoti hipergeometrinio pasiskirstymo apytikslį pagal binominį pasiskirstymą:

Aukščiau pateiktoje išraiškoje C (100, x) yra kombinatorinis skaičius. Tada tikimybė turėti daugiau nei vieną trūkumą bus apskaičiuojama taip:

Tai puikus suderinimas, jei lygintume su verte, gauta taikant hipergeometrinį pasiskirstymą: 0,4102

Galima sakyti, kad turint 40% tikimybę, reikia išmesti 100 profilaktikos paketų, o tai nėra labai efektyvu.

Bet, būdami šiek tiek mažiau reiklūs kokybės kontrolės procese ir išmesdami 100 prekių partiją tik tuo atveju, jei yra du ar daugiau trūkumų, partijos išmetimo tikimybė sumažėtų tik iki 8%.

2 pratimas

Plastikinių blokų mašina veikia taip, kad iš kiekvienų 10 gabalų vienas išeitų deformuotas. Kaip tikėtina, kad imant iš 5 dalių yra tik vienas kūrinys?

Sprendimas

Gyventojų skaičius: N = 10

Defektų n skaičius kiekvienam N: n = 1

Mėginio dydis: m = 5

Todėl yra 50% tikimybė, kad 5 pavyzdyje blokas bus deformuotas.

3 pratimas

Jaunųjų vidurinės mokyklos absolventų susitikime dalyvauja 7 ponios ir 6 ponai. Tarp mergaičių 4 studijuoja humanitarinius mokslus ir 3 mokslus. Berniukų grupėje 1 studijuoja humanitarinius mokslus ir 5 mokslus. Apskaičiuokite:

a) Trijų mergaičių pasirinkimas atsitiktine tvarka: kaip tikėtina, kad visos jos studijuoja humanitarinius mokslus?

b) Jei trys draugų susitikimo dalyviai pasirenkami atsitiktinai: Kokia tikimybė, kad trys iš jų, nepriklausomai nuo lyties, studijuoja visus tris arba humanitarinius mokslus taip pat visus tris?

c) Dabar atsitiktinai išsirinkite du draugus ir paskambinkite x atsitiktine reikšme „tų, kurie studijuoja humanitarinius mokslus“. Tarp dviejų pasirinktų nustatykite x vidurkį ar numatomą vertę ir dispersiją σ ^ 2.

Sprendimas

Dabar naudojamos vertės:

- Gyventojų skaičius: N = 14

- Raidžių tyrimo kokybė yra tokia: n = 6 ir

- Imties dydis: m = 3.

-Tyrimų, studijuojančių humanitarinius mokslus, skaičius: x

Pagal tai x = 3 reiškia, kad visi trys studijuoja humanitarinius mokslus, bet x = 0 reiškia, kad nė vienas nestudijuoja humanitarinių mokslų. Tikimybė, kad visi trys mokosi vienodai, yra tokia:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Tada turime 21% tikimybę, kad trys susitikimo dalyviai, pasirinkti atsitiktine tvarka, mokysis to paties.

C sprendimas

Čia turime šias vertybes:

N = 14 bendra draugų populiacija, n = 6 bendras humanitarinius mokslus studijuojančių gyventojų skaičius, imties dydis yra m = 2.

Viltis yra:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

Ir dispersija:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14–2) / (14–1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0,4521

Nuorodos

1. Diskretus tikimybių pasiskirstymas. Atkurta iš: biplot.usal.es
2. Statistika ir tikimybė. Hipergeometrinis pasiskirstymas. Atkurta iš: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Hipergeometrinis pasiskirstymas. Atgauta iš: ugr.es
4. Geogebra. Klasikinė geogebra, tikimybių skaičiavimas. Atkurta iš geogebra.org
5. Pabandykite lengvai. Išspręstos hipergeometrinio pasiskirstymo problemos. Atkurta iš: probafacil.com
6. Minitabas. Hipergeometrinis pasiskirstymas. Atkurta iš: support.minitab.com
7. Vigo universitetas. Pagrindiniai diskretiniai pasiskirstymai. Atkurta iš: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutoras. Statistika ir kombinatorika. Atkurta iš: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. Hipergeometrinis pasiskirstymas. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com
10. Vikipedija. Hipergeometrinis pasiskirstymas. Atkurta iš: es.wikipedia.com