MATEMATINIAI LŪKESČIAI: FORMULĖ, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAS - DUDAS

Matematinis tikimasi, arba tikimasi, vertė atsitiktinio kintamojo X, yra žymimas kaip E (X) ir yra apibrėžiamas kaip tarp atsitiktinės įvykio, kilusio tikimybės ir minėtas įvykis produkto, kurio vertė sumos.

Matematiškai ji išreiškiama taip:

1 pav. Matematiniai lūkesčiai yra plačiai naudojami akcijų rinkoje ir draudime. Šaltinis: „Pixabay“.

Kur x _i yra įvykio vertė ir P (x _i ) jo įvykio tikimybė. Susumavimas apima visas reikšmes, kurias pripažįsta X. Ir jei jos yra baigtinės, nurodyta suma suartėja su verte E (X), bet jei suma nekonverguojama, tada kintamasis tiesiog neturi tikėtinos vertės.

Kai tai yra ištisinis kintamasis x, kintamojo reikšmės gali būti begalinės, o integralai pakeičia apibendrinimus:

Čia f (x) žymi tikimybės tankio funkciją.

Apskritai, matematiniai lūkesčiai (tai yra svertinis vidurkis) nėra lygūs aritmetiniam vidurkiui ar vidurkiui, nebent tai būtų diskretusis paskirstymas, kai kiekvienas įvykis yra vienodai tikėtinas. Tada ir tik tada:

Čia n yra galimų verčių skaičius.

Ši sąvoka yra labai naudinga finansų rinkose ir draudimo bendrovėse, kur dažnai trūksta tikrumo, tačiau yra tikimybė.

Matematinio lūkesčio savybės

Tarp svarbiausių matematinių lūkesčių savybių išsiskiria:

- Ženklas: jei X yra teigiamas, tada E (X) taip pat bus teigiamas.

- Tikėtina konstantos vertė : laukiama tikrosios konstantos vertė k yra konstanta.

- Sumos tiesiškumas: atsitiktinio kintamojo, kuris savo ruožtu yra dviejų kintamųjų X ir Y suma, laukimas yra lūkesčių suma.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Padauginimas iš konstantos : jei atsitiktinis kX yra kX formos, kur k yra konstanta (tikrasis skaičius), jis išeina už tikėtinos vertės.

- Tikėtina produkto vertė ir nepriklausomumas tarp kintamųjų : jei atsitiktinis kintamasis yra atsitiktinių kintamųjų X ir Y, kurie yra nepriklausomi, sandauga, tada tikėtina produkto vertė yra tikėtinų verčių sandauga.

Apskritai, jei Y = g (X):

- Pagal numatytą vertę: jei X ≤ Y, tada:

Kadangi yra tikėtinos kiekvieno iš jų vertės.

Matematinis lažybų laukimas

Kai garsusis astronomas Christianas Huygensas (1629–1695) nepastebėjo dangaus, jis, be kitų disciplinų, atsidėjo laimės žaidimų tikimybės tyrimui. Būtent jis pristatė matematinės vilties sąvoką savo 1656 m. Darbe pavadinimu: Priežastys apie azartinius žaidimus.

2 paveikslas. Christiaan Huygens (1629-1625) buvo puikus ir įvairiapusis mokslininkas, kuriam mes skolingi tikėtinos vertės koncepcijai.

Huygensas nustatė, kad lažybos gali būti klasifikuojamos trimis būdais, atsižvelgiant į numatomą vertę:

-Žaidimai su pranašumu: E (X)> 0

- Sąžiningi statymai: E (X) = 0

-Žaidimas nepalankiose situacijose: E (X) <0

Problema ta, kad azartiniame žaidime ne visada lengva apskaičiuoti matematinius lūkesčius. Ir kai gali, rezultatas kartais nuvilia tuos, kurie domisi, ar lažintis, ar ne.

Pabandykime paprastą statymą: galvos ar uodegos ir pralaimėtojas moka 1 USD kavos. Kokia tikėtina šio lažybų vertė?

Na, galvų pasukimo tikimybė yra ½, lygi uodegai. Atsitiktinis kintamasis yra gauti 1 USD arba prarasti 1 USD, pelnas žymimas ženklu +, o nuostolis - ženklu.

Mes kaupiame informaciją lentelėje:

Stulpelių reikšmes dauginame: 1. ½ = ½ ir (-1). ½ = -½ ir galiausiai pridedami rezultatai. Suma yra 0 ir tai yra sąžiningas žaidimas, kuriame dalyviai turėtų nei laimėti, nei pralaimėti.

Prancūzų ruletė ir loterija yra handikapo žaidimai, kuriuose dauguma lažėjų pralaimi. Vėliau yra šiek tiek sudėtingesnis statymas išspręstų pratimų skyriuje.

Pavyzdžiai

Čia pateikiami keli paprasti pavyzdžiai, kai matematinio lūkesčio sąvoka yra intuityvi ir paaiškina šią sąvoką:

1 pavyzdys

Pradėsime nuo sąžiningo mirties. Kokia numatoma paleidimo vertė? Na, jei štampas yra sąžiningas ir turi 6 galvutes, tikimybė, kad kokia nors vertė (X = 1, 2, 3… 6) pasisuks, yra 1/6, tokia:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

3 paveikslas. Sąžiningo štampo ritinyje tikėtina vertė nėra įmanoma. Šaltinis: „Pixabay“.

Laukiama vertė šiuo atveju yra lygi vidurkiui, nes kiekvieno veido išėjimo tikimybė yra vienoda. Bet E (X) nėra įmanoma reikšmė, nes nė viena galva nėra verta 3,5. Tai yra visiškai įmanoma kai kuriuose paskirstymuose, nors šiuo atveju rezultatas nedaug padeda lažybų dalyviams.

Pažvelkime į kitą pavyzdį, išmesdami dvi monetas.

2 pavyzdys

Į orą išmetamos dvi sąžiningos monetos ir atsitiktinį kintamąjį X mes apibūdiname kaip suktų galvučių skaičių. Galimi šie įvykiai:

-Nėra galvų: 0 galvų, kurios lygios 2 uodegoms.

-Išeina 1 galva ir 1 antspaudas arba uodegos.

-Dvi veidai išeina.

Tegul C yra galva, o T - antspaudas, šiuos įvykius apibūdinanti vieta yra tokia:

S _m = {ruonių sandariklis; Ruonių veidas; Veido antspaudas; Veidas-veidas} = {TT, TC, CT, CC}

Įvykių tikimybės yra:

P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼

Lentelė sudaryta iš gautų verčių:

Pagal pradžioje pateiktą apibrėžimą, matematiniai lūkesčiai apskaičiuojami taip:

Pakaitinės vertės:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Šis rezultatas aiškinamas taip: jei žmogus turi pakankamai laiko atlikti daugybę eksperimentų, mėtydamas dvi monetas, tikimasi, kad jis galvos už kiekvieno mesti.

Tačiau mes žinome, kad leidimas su 2 etiketėmis yra visiškai įmanomas.

Pratimas išspręstas

Sudedant dvi sąžiningas monetas, atliekamas šis lažinimas: jei išeis 2 galvutės, jūs laimėsite 3 USD, jei pasirodys viena galva, jūs laimėsite 1 USD, bet jei pasirodys du antspaudai, turėsite sumokėti 5 USD. Apskaičiuokite numatomą lažybų laimėjimą.

4 paveikslas. Priklausomai nuo statymo, metant dvi sąžiningas monetas, matematiniai lūkesčiai keičiasi. Šaltinis: „Pixabay“.

Sprendimas

Atsitiktinis kintamasis X yra vertės, kurias pinigai imasi lažybose, o tikimybės buvo apskaičiuotos ankstesniame pavyzdyje, todėl lažybų lentelė yra tokia:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Kadangi laukiama vertė yra 0, tai yra sąžiningas žaidimas, todėl tikimasi, kad lažybininkas nenugalės ir nepraras. Tačiau statymo sumos gali būti pakeistos, kad statymas būtų handikapo žaidimas arba handikapo žaidimas.

Nuorodos

Brase, C. 2009. Suprantama statistika. Houghtonas Mifflinas.
Olmedo, F. Įvadas į atsitiktinio kintamojo tikėtinos vertės arba matematinio lūkesčio sąvoką. Atkurta iš: personal.us.es.
„LibreTexts“ statistika. Numatoma diskrečiųjų atsitiktinių kintamųjų vertė. Atkurta iš: stats.libretexts.org.
Triola, M. 2010. Elementarioji statistika. 11-oji. Ed. Addison Wesley.
Walpole, R. 2007. Mokslo ir inžinerijos tikimybės ir statistika. 8-asis. Leidimas. „Pearson Education“.

MATEMATINIAI LŪKESČIAI: FORMULĖ, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAS - DUDAS - 2025