SAVARANKIŠKI RENGINIAI: DEMONSTRACIJA, PAVYZDŽIAI, PRATYBOS - DUDAS - 2025

Du įvykiai yra nepriklausomi , kai tikimybei, kad vienas iš jų įvyks, nedaro įtakos faktas, kad kitas įvyksta arba neįvyksta, atsižvelgiant į tai, kad šie įvykiai įvyksta atsitiktinai.

Ši aplinkybė atsiranda visada, kai procesas, sukuriantis 1 įvykio rezultatą, jokiu būdu nekeičia galimų 2 įvykio rezultatų tikimybės. Bet jei taip neatsitiks, sakoma, kad įvykiai yra priklausomi.

1 pav. Spalvoti rutuliukai dažnai naudojami paaiškinti nepriklausomų įvykių tikimybę. Šaltinis: „Pixabay“.

Nepriklausomos įvykio situacija yra tokia: Tarkime, kad du šešiabriauniai kauliukai yra sukti, vienas mėlynas, o kitas rausvas. Tikimybė, kad 1 pasisuks ant mėlynos spalvos štampo, nepriklauso nuo tikimybės, kad 1 riedės - ar nesisuks - ant rožinio štampo.

Kitas dviejų nepriklausomų įvykių atvejis yra mesti monetą du kartus iš eilės. Pirmojo metimo rezultatas nepriklausys nuo antrojo rezultato ir atvirkščiai.

Dviejų nepriklausomų įvykių įrodymas

Norėdami patikrinti, ar du įvykiai yra nepriklausomi, apibrėžsime sąlyginės vieno įvykio tikimybės sąvoką kito atžvilgiu. Tam reikia atskirti išskirtinius renginius nuo įtraukiančių renginių:

Du įvykiai yra išskirtiniai, jei galimos įvykio A vertės ar elementai neturi nieko bendra su įvykio B vertėmis ar elementais.

Taigi dviejuose išskirtiniuose įvykiuose A ir B susikirtimo rinkinys yra vakuumas:

Išskyrus įvykius: A∩B = Ø

Priešingai, jei įvykiai yra imtinai, gali atsitikti taip, kad įvykio A rezultatas taip pat sutampa su kito B įvykiu, kai A ir B yra skirtingi įvykiai. Tokiu atveju:

Įtraukiamieji renginiai: A∩B ≠ Ø

Tai verčia mus apibrėžti sąlyginę dviejų įtraukiančių įvykių, kitaip tariant, įvykio A tikimybę, kai įvyksta B įvykis:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Taigi sąlyginė tikimybė yra tikimybė, kad įvyks A ir B, padalyta iš tikimybės, kad įvyks B. Taip pat galima apibrėžti tikimybę, kad B įvyks su sąlyga A.

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriterijai, skirti žinoti, ar du įvykiai yra nepriklausomi

Toliau pateiksime tris kriterijus, kad žinotume, ar du įvykiai yra nepriklausomi. Pakanka vieno iš trijų įvykdymo, kad būtų pademonstruotas įvykių nepriklausomumas.

1.- Jei tikimybė, kad A įvyks, kai B įvyks, yra lygi A tikimybei, tada jie yra nepriklausomi įvykiai:

P (A¦B) = P (A) => A nepriklauso nuo B

2.- Jei tikimybė, kad B įvyks duota A, yra lygi B tikimybei, tada yra nepriklausomi įvykiai:

P (B¦A) = P (B) => B nepriklauso nuo A

3. Jei A ir B atsiradimo tikimybė yra lygi A atsiradimo ir B tikimybės sandaugai, tada tai yra nepriklausomi įvykiai. Priešingai, taip pat tiesa.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A ir B yra nepriklausomi įvykiai.

Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai

Palyginami dviejų skirtingų tiekėjų pagaminti guminiai padai. Kiekvieno gamintojo pavyzdžiai yra daromi po keletą bandymų, pagal kuriuos daroma išvada, ar jie atitinka specifikacijas.

2 paveikslas. Guminių padų įvairovė. Šaltinis: „Pixabay“.

Gauta 252 mėginių santrauka yra tokia:

1 gamintojas; 160 atitinka specifikacijas; 8 neatitinka specifikacijų.

2 gamintojas; 80 atitinka specifikacijas; 4 neatitinka specifikacijų.

A įvykis: „kad pavyzdys yra iš 1 gamintojo“.

B įvykis: „kad pavyzdys atitinka specifikacijas“.

Norime sužinoti, ar šie įvykiai A ir B yra nepriklausomi, ar ne, kuriems mes taikome vieną iš trijų ankstesniame skyriuje paminėtų kriterijų.

Kriterijus: P (B¦A) = P (B) => B nepriklauso nuo A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Išvada: A ir B įvykiai yra nepriklausomi.

Tarkime, kad įvykis C: „kad pavyzdys yra iš 2 gamintojo“

Ar įvykis B bus nepriklausomas nuo įvykio C?

Mes taikome vieną iš kriterijų.

Kriterijus: P (B¦C) = P (B) => B nepriklauso nuo C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Todėl, remiantis turimais duomenimis, tikimybė, kad atsitiktinai pasirinktas guminis padas atitiks specifikacijas, nepriklauso nuo gamintojo.

Konvertuokite nepriklausomą įvykį į priklausomą įvykį

Pažvelkime į šį pavyzdį, norėdami atskirti priklausomus ir nepriklausomus įvykius.

Mes turime maišą su dviem baltojo šokolado rutuliukais ir dviem juodais rutuliais. Pirmojo bandymo metu baltojo arba juodojo rutulio tikimybė yra lygi.

Tarkime, kad rezultatas buvo lazda. Jei nupieštas rutulys yra pakeistas maiše, pakartojama pradinė padėtis: du balti rutuliai ir du juodi rutuliai.

Taigi antrame renginyje ar piešinyje šansai nupiešti lazdelę arba juodą rutulį yra identiški pirmą kartą. Todėl tai yra nepriklausomi įvykiai.

Bet jei pirmojo įvykio metu nubrėžtas lazdelės rutulys nebus pakeistas, nes mes jį suvalgėme, antrame lygiosiose yra didesnė tikimybė nupiešti juodą rutulį. Tikimybė, kad antrą kartą ekstrahuojant vėl bus balta spalva, skiriasi nuo pirmojo įvykio ir priklauso nuo ankstesnio rezultato.

Pratimai

- 1 pratimas

Į dėžę dedame 10 1 paveikslo rutuliukų, iš kurių 2 yra žali, 4 yra mėlyni ir 4 yra balti. Du rutuliukai bus pasirinkti atsitiktine tvarka, vienas - pirmasis, vėliau - kitas. Prašoma nustatyti
tikimybę, kad nė vienas iš jų nėra mėlynas, esant šioms sąlygoms:

a) Su pakeitimu, tai yra pirmojo marmuro grąžinimas prieš antrą pasirinkimą į dėžę. Nurodykite, ar jie yra nepriklausomi, ar priklausomi įvykiai.

b) Nepakeičiant tokiu būdu, kad pirmasis išgautas marmuras būtų paliktas iš dėžutės antrosios atrankos metu. Panašiai nurodykite, ar jie yra priklausomi, ar nepriklausomi įvykiai.

Sprendimas

Mes apskaičiuojame tikimybę, kad pirmasis išgautas marmuras nėra mėlynas, tai yra 1 atėmus tikimybę, kad jis yra mėlynas P (A), arba tiesiogiai, kad jis nėra mėlynas, nes jis išėjo žalias arba baltas:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nebūkite mėlyna) = 1 - (2/5) = 3/5

O gerai:

P (žalia arba balta) = 6/10 = 3/5.

Jei išgautas marmuras grąžinamas, viskas kaip ir anksčiau. Šiame antrame piešinyje taip pat yra 3/5 tikimybė, kad nupieštas marmuras nėra mėlynas.

P (ne mėlyna, ne mėlyna) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Įvykiai yra nepriklausomi, nes išgautas marmuras buvo grąžintas į dėžę, o pirmasis įvykis neturi įtakos antrojo atsiradimo tikimybei.

B sprendimas

Pirmą kartą ekstrahuodami darykite taip, kaip ankstesniame skyriuje. Tikimybė, kad ji nėra mėlyna, yra 3/5.

Antrajam ištraukimui mes turime 9 rutuliukus krepšyje, nes pirmasis negrįžo, bet jis nebuvo mėlynas, todėl maiše yra 9 rutuliukai ir 5 ne mėlyni:

P (žalia arba balta) = 5/9.

P (nė vienas nėra mėlynas) = ​​P (pirmasis nėra mėlynas). P (antra ne mėlyna / pirmoji ne mėlyna) = (3/5). (5/9) = 1/3

Šiuo atveju tai nėra savarankiški įvykiai, nes pirmasis įvykis sąlygoja antrąjį.

- 2 pratimas

Parduotuvėje yra 15 trijų dydžių marškinėlių: 3 maži, 6 vidutiniai ir 6 dideli. 2 marškiniai yra atrinkti atsitiktine tvarka.

a) Kokia yra tikimybė, kad abu pasirinkti marškinėliai yra maži, jei vienas pasiimamas pirmas ir nepakeičiant kito partijoje?

b) Kokia tikimybė, kad abu pasirinkti marškiniai yra maži, jei vienas yra nupieštas pirmiausia, pakeistas į paketą, o antras - nuimamas?

Sprendimas

Čia yra du įvykiai:

A įvykis: pirmieji pasirinkti marškinėliai yra maži

B įvykis: antros pasirinktos marškinėliai yra maži

Tikimybė, kad įvykis A įvyks, yra: P (A) = 3/15

Tikimybė, kad įvykis B įvyks: P (B) = 2/14, nes marškinėliai jau buvo nuimti (liko 14), tačiau, be to, norima įvykdyti A įvykį, pirmieji nuimti marškiniai turi būti maži, todėl abu yra 2 maži.

T. y., Tikimybė, kad A ir B bus tikimybių sandauga, yra:

P (A ir B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Todėl tikimybė, kad įvykis A ir B įvyks, yra lygi įvykiui A įvykusiam sandaugai, padauginta iš įvykio B įvykio tikimybės, jei įvykis A.

Reikėtų pažymėti, kad:

P (B¦A) = 2/14

Tikimybė, kad įvykis B įvyks, neatsižvelgiant į tai, ar įvykis A įvyko, ar ne:

P (B) = (2/14), jei pirmasis buvo mažas, arba P (B) = 3/14, jei pirmasis nebuvo mažas.

Apskritai galima daryti išvadą:

P (B¦A) nėra lygus P (B) => B nėra nepriklausomas nuo A

B sprendimas

Vėlgi yra du įvykiai:

A įvykis: pirmieji pasirinkti marškinėliai yra maži

B įvykis: antros pasirinktos marškinėliai yra maži

P (A) = 3/15

Atminkite, kad koks rezultatas, marškinėliai, nupiešti iš partijos, yra keičiami ir vėl marškinėliai nupiešiami atsitiktine tvarka. Tikimybė, kad įvykis B įvyks, jei įvyktų A įvykis, yra:

P (B¦A) = 3/15

Tikimybė, kad įvyks A ir B įvykiai:

P (A ir B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Prisimink tai:

P (B¦A) yra lygus P (B) => B nepriklauso nuo A.

- 3 pratimas

Apsvarstykite du nepriklausomus įvykius A ir B. Yra žinoma, kad įvykio A tikimybė yra 0,2, o įvykio B tikimybė yra 0,3. Kokia yra abiejų įvykių tikimybė?

2 sprendimas

Žinant, kad įvykiai yra nepriklausomi, žinoma, kad abiejų įvykių tikimybė yra atskirų tikimybių sandauga. T. y.

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Atminkite, kad tai yra daug mažesnė tikimybė nei tikimybė, kad kiekvienas įvykis įvyks nepriklausomai nuo kito rezultato. Arba pateikite kitą kelią, daug mažesnį už individualius šansus.

Nuorodos

1. Berenson, M. 1985. Vadybos ir ekonomikos statistika. „Interamericana SA“ 126–127.
2. Monterėjaus institutas. Nepriklausomų įvykių tikimybė. Atkurta iš: monterreyinstitute.org
3. Matematikos mokytojas. Nepriklausomi renginiai. Atkurta iš: youtube.com
4. Superprofilis. Įvykių tipai, priklausomi įvykiai. Atgauta iš: superprof.es
5. Virtualus dėstytojas. Tikimybė. Atkurta iš: vitutor.net
6. Vikipedija. Nepriklausomumas (tikimybė). Atkurta iš: wikipedia.com