APSKRITOSIOS PERMUTACIJOS: ĮRODYMAS, PAVYZDŽIAI, IŠSPRĘSTI PRATIMAI - DUDAS - 2025

Kad žiedinės deriniai yra skirtingų tipų grupių visų rinkinys elementų, kai jie yra, kad būti išdėstyti ratu. Tokio tipo permutacijose tvarka yra svarbi, o elementai nekartojami.

Pvz., Tarkime, kad norite žinoti atskirų skaitmenų nuo vieno iki keturių masyvų skaičių, kiekvieną skaičių įdėdami į vieną iš rombų viršūnių. Iš viso tai bus 6 susitarimai:

Nereikėtų supainioti, kad numeris vienas visais atvejais yra viršutinėje rombo padėtyje kaip fiksuota padėtis. Apskritimo permutacijos nepakeičia masyvo sukimasis. Tai yra viena ar ta pati permutacija:

Demo ir formulės

Įvairių keturženklių žiedinių masyvų, esančių rombo viršūnėse, pavyzdžių masyvų (6) skaičius gali būti toks:

1- Bet kuris iš keturių skaitmenų yra atskaitos taškas bet kurioje viršūnėje ir pereina į kitą viršūnę. (nesvarbu, ar jis pasuktas pagal laikrodžio rodyklę, ar prieš laikrodžio rodyklę)

2 - Yra 3 parinktys, leidžiančios pasirinkti antrąją viršūnę, tada yra 2 parinktys, leidžiančios pasirinkti trečią viršūnę, ir, žinoma, yra tik viena ketvirtosios viršūnės pasirinkimo parinktis.

3- Taigi žiedinių permutacijų skaičius, žymimas (4 - 1) P (4 - 1), gaunamas kiekvienoje padėtyje esančių pasirinkimo galimybių sandauga:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 skirtingi 4 skaitmenų apskritimo masyvai.

Apskritai, apskritimo permutacijų, kurias galima pasiekti naudojant visus n rinkinio elementus, skaičius yra:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Atminkite, kad (n - 1)! Jis žinomas kaip n koeficientas ir sutrumpina visų skaičių sandaugą nuo skaičiaus (n - 1) iki skaičiaus vienas (imtinai).

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Kiek skirtingais būdais 6 žmonės turi sėdėti prie apskrito stalo?

Norite rasti įvairių būdų, kuriais 6 žmonės gali sėdėti prie apskrito stalo, skaičių.

Sėdėjimo būdų skaičius = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Sėdėjimo būdų skaičius = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 skirtingų būdų

2 pavyzdys

Kiek skirtingais būdais 5 žmonės turi atsidurti penkiakampio viršūnėse?

Ieškoma būdų, kaip 5 žmonės galėtų būti išdėstyti kiekvienoje penkiakampio viršūnėje.

Vietų, kuriose galima rasti vietą, skaičius = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Vietų skaičius = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 skirtingi būdai

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Juvelyras įsigyja 12 skirtingų brangiųjų akmenų, kad galėtų juos išdėstyti tam tikromis valandomis, kurias jis rengia Europos šalies karališkųjų namų vardu.

a) Kiek skirtingų būdų jis turi išdėstyti akmenis ant laikrodžio?

b) Kiek skirtingų formų jis turi, jei akmuo, einantis iki 12 valandos, yra unikalus?

c) kiek skirtingų formų, jei akmuo 12 valandą yra unikalus, o akmenys kituose trijuose kardinaliuose taškuose - 3, 6 ir 9 valandos; Ar yra trys akmenys, kuriuos galima pakeisti, o likusios valandos yra paskirstomos nuo likusių akmenų?

Sprendimai

a) prašoma kelių būdų, kaip išdėstyti visus akmenis ant laikrodžio perimetro; y., apskritimo formos, apimančios visus turimus akmenis, skaičius.

Susikaupimų skaičius ant laikrodžio = = 12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Laikrodžio pataisymų skaičius = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Laikrodžių išdėstymų skaičius = 39976800 skirtingų formų

b) jis klausia, kiek yra įvairių užsakymo būdų, žinant, kad akmuo ant 12 valandos rankenos yra unikalus ir fiksuotas; y., apskritimo formos, apimančios likusius 11 akmenų, skaičius.

Susikaupimų skaičius ant laikrodžio = = 11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Laikrodžio pataisymų skaičius = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Laikrodžių išdėstymų skaičius = 3 628 800 skirtingų formų

c) galiausiai ieškoma būdų, kaip užsakyti visus akmenis, išskyrus pritvirtintą 12 valandos akmenį, 3, 6 ir 9 akmenis, turinčius 3 akmenis, kuriuos reikia priskirti vienas kitam; tai yra 3! išdėstymo galimybės ir apskritimo išdėstymo, kuriame yra likę 8 akmenys, skaičius.

Pataisymų skaičius laikrodyje = 3! * = 3! * (8–1)!

Įrankių skaičius laikrodyje = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Laikrodžių išdėstymų skaičius = 241920 skirtingų formų

- 2 pratimas

Bendrovės valdymo komitetą sudaro 8 nariai ir jie susitinka prie ovalo stalo.

a) Kiek skirtingų formų komitetas turi prie stalo išdėstymo formas?

b) Tarkime, kad pirmininkas sėdi prie stalo gale, sudarydamas bet kurią komiteto sudėtį, kiek skirtingų formų susitarimų turi likęs komitetas?

c) Tarkime, kad bet kuriame komiteto posėdyje viceprezidentas ir sekretorius sėdi abiejose prezidento pusėse.Kokias įvairias išdėstymo formas turi likęs komitetas?

Sprendimai

a) Norime rasti įvairių būdų išdėstyti 12 komiteto narių aplink ovalų stalą.

Komiteto posėdžių skaičius = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Komitetų narių skaičius = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komitetų skaičius = 39976800 skirtingų formų

b) Kadangi komiteto pirmininkas yra fiksuotoje vietoje, ieškoma būdų, kaip likusius 11 komiteto narių išdėstyti aplink ovalų stalą.

Komiteto posėdžių skaičius = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Komitetų narių skaičius = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komitetų skaičius = 3 688 800 skirtingų formų

c) Prezidentas yra fiksuotoje padėtyje, o šonuose yra viceprezidentas ir sekretorius, turintys dvi išdėstymo galimybes: viceprezidentas dešinėje ir sekretorius kairėje arba viceprezidentas kairėje ir sekretorius dešinėje. Tuomet norėsite rasti įvairių būdų, kaip likusius 9 komiteto narius paskirstyti prie ovalo stalo, skaičių ir padauginti iš dviejų formų, kurias turi viceprezidentas ir sekretorius.

Komiteto posėdžių skaičius = 2 * = 2 *

Komitetų narių skaičius = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Komitetų skaičius = 80640 skirtingų formų

Nuorodos

1. Boada, A. (2017). Permutacijos su pakartojimu naudojimas kaip eksperimentų mokymas. Žurnalas „Vivat Academia“. Atkurta iš researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Tikimybė ir statistika. Taikymas ir metodai. „McGraw-Hill“ / „Interamericana de México SA de CV“
3. Stiklas, G .; Stanley, J. (1996). Socialiniams mokslams netaikomi statistiniai metodai. „Prentice Hall“ - „Hispanoamericana SA“
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Ketvirtasis leidimas „McGraw-Hill“ / „Interamericana de México SA“
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Taip, Ka. (2007). Tikimybė ir statistika inžinieriams ir mokslininkams. Aštuntasis leidimas „Pearson Education International Prentice Hall“.
6. Websteris, A. (2000). Verslo ir ekonomikos statistika. Trečiasis leidimas „McGraw-Hill“ / „Interamericana SA“
7. Vikipedija. (2019 m.). Permutacija. Atkurta iš en.wikipedia.org.