PERMUTACIJOS BE PASIKARTOJIMO: FORMULĖS, ĮRODYMAS, PRATIMAI, PAVYZDŽIAI - DUDAS - 2025

Perstatymas be pasikartojimų iš n elementų yra skirtingų grupių skirtingų elementų, kurie gali būti gaunamas iš ne bet kokio pasikartojančio elementas, tik keičiant vietą iš elementų tvarką.

Norėdami sužinoti permutacijų skaičių be pasikartojimų, naudojama ši formulė:

Pn = n!

Kuris išplėstas būtų Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Taigi ankstesniame praktiniame pavyzdyje jis būtų taikomas taip:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 skirtingi 4 skaitmenų skaitmenys.

Tai iš viso yra 24 matricos: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Kaip matome, pakartojimas jokiu būdu nėra 24 numeriai.

Demo ir formulės

24 4 skirtingų figūrų išdėstymai

Mes konkrečiau išanalizuosime 24 skirtingų 4 skaitmenų išdėstymo, kuris gali būti suformuotas iš skaitmens 2468, pavyzdį. Išdėstymų skaičius (24) gali būti žinomas taip:

Galite pasirinkti 4 parinktis, kad galėtumėte pasirinkti pirmąjį skaitmenį. Jau nustatyti du skaitmenys, o trečiajam skaitmeniui pasirinkti liko 2 parinktys. Paskutinis skaitmuo turi tik vieną pasirinkimo parinktį.

Todėl permutacijų skaičius, žymimas P4, gaunamas iš pasirinkimo parinkčių kiekvienoje pozicijoje sandaugos:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 skirtingi 4 skaitmenų skaitmenys

Apskritai, įvairių permutacijų ar susitarimų, kuriuos galima atlikti su visais n pateikto rinkinio elementais, skaičius yra:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Išraiška n! jis žinomas kaip n koeficientas ir reiškia visų natūraliųjų skaičių, esančių tarp skaičiaus n ir pirmojo, sandaugą, įskaitant abu.

12 2 skirtingų figūrų išdėstymas

Dabar tarkime, kad norite sužinoti permutacijų skaičių arba dviženklį skaičių, kurį galima sudaryti iš skaitmens 2468.

Tai iš viso būtų 12 priemonių: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Galite pasirinkti 4 parinktis, kad galėtumėte pasirinkti pirmąjį skaitmenį. Palikite 3 skaitmenis, kad pasirinktumėte antrą. Todėl 4 skaitmenų, paimtų iš dviejų, žymimų 4P2 permutacijų skaičius gaunamas kiekvienoje pozicijoje pasirinkimo parinkčių sandauga:

4P2 = 4 * 3 = 12 skirtingų 2 skaitmenų skaičių

Apskritai, įvairių permutacijų ar susitarimų, kuriuos iš viso galima atlikti su n elementais r tam tikrame rinkinyje, skaičius yra:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Aukščiau pateiktas posakis prieš žaidžiant n !. Baigti n! iš to turėtume parašyti:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Veiksniai, kuriuos pridedame, savo ruožtu rodo faktorių:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Taigi,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Iš čia

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Kiek skirtingų 5 raidžių raidžių derinių galima sudaryti su žodžio KEY raidėmis?

Norime rasti skirtingų raidžių derinių skaičių iš 5 raidžių, kuriuos galima sudaryti naudojant 5 žodžio KEY raides; tai yra 5 raidžių masyvų, apimančių visas raides, esančias žodyje KEY, skaičius.

5 raidžių žodžių skaičius nėra = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 skirtingų 5 raidžių raidžių derinių.

Tai galėtų būti: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… Iš viso iki 120 skirtingų raidžių derinių.

2 pavyzdys

Jūs turite 15 sunumeruotų rutulių ir norite sužinoti, kiek skirtingų 3 rutulių grupių galima sudaryti iš 15 sunumeruotų rutulių?

Norite rasti 3 rutulių grupių skaičių, kurį galima sudaryti iš 15 sunumeruotų rutulių.

3 rutulių grupių skaičius = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 rutulių grupių skaičius = 15 * 14 * 13 = 2730 3 rutulių grupių

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Vaisių parduotuvėje yra parodų stendas, susidedantis iš skyrių eilės, esančios prieškambaryje į patalpas. Per vieną dieną šiltnamyje parduodama: apelsinų, bananų, ananasų, kriaušių ir obuolių.

a) Kiek skirtingų būdų turite užsisakyti parodų stendą?

b) Keliais būdais turite užsisakyti stendą, jei tą dieną gavote ne tik paminėtų vaisių (5): mangų, persikų, braškių ir vynuogių (4)?

a) Norime rasti įvairių būdų, kaip užsisakyti visus vaisius rodomoje eilėje; tai yra 5 vaisių vienetų, apimančių visus tą dieną parduodamus vaisius, skaičius.

Stovų išdėstymo vietų skaičius = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stendo išdėstymo skaičius = 120 stendo pateikimo būdų

b) Norime rasti įvairių būdų, kaip užsisakyti visus vaisius rodomoje eilėje, jei būtų pridėta 4 papildomos prekės; tai yra 9 vaisių vienetų, apimančių visus tą dieną parduodamus vaisius, skaičius.

Stovų išdėstymo vietų skaičius = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stendo išdėstymo skaičius = 362 880 stendo pateikimo būdų

2 pratimas

Nedidelėje maisto išparduotuvėje yra žemės sklypas, kuriame yra pakankamai vietos 6 transporto priemonėms pastatyti.

a) Keliais būdais galima pasirinkti transporto priemones žemės sklype?

b) Tarkime, kad įsigyjamas gretimas žemės sklypas, kurio matmenys leidžia pastatyti 10 transporto priemonių.Kokias įvairias transporto priemonių išdėstymo formas dabar galima pasirinkti?

a) Norime rasti 6 skirtingų transporto priemonių, kurias galima laikyti žemės sklype, užsakymo būdų skaičių.

6 transporto priemonių išdėstymų skaičius = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 transporto priemonių išdėstymo skaičius = 720 skirtingų būdų, kaip užsakyti 6 transporto priemones žemės sklype.

b) Norime rasti daugybę skirtingų būdų užsakyti 10 transporto priemonių, kurias galima apgyvendinti žemės sklype išplėtus žemės sklypą.

10 transporto priemonių išdėstymo skaičius = P10 = 10!

Transporto priemonės išdėstymo skaičius = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

10 transporto priemonių susitarimų skaičius = 3 628 800 skirtingų būdų užsakyti 10 transporto priemonių žemės sklype.

3 pratimas

Gėlininkas turi 6 skirtingų spalvų gėles, kad taptų tautų, kurios turi tik 3 spalvas, gėlių vėliavomis. Jei žinoma, kad vėliavose svarbu spalvų tvarka,

a) Kiek skirtingų 3 spalvų vėliavų galima padaryti naudojant 6 galimas spalvas?

b) Pardavėjas perka 2 papildomų spalvų gėles prie tų, kurias jau turėjo 6, dabar kiek skirtingų spalvų 3 spalvų vėliavų galima padaryti?

c) Kadangi turite 8 spalvas, nusprendėte išplėsti savo vėliavų asortimentą. Kiek skirtingų spalvų 4 spalvų vėliavų galite padaryti?

d) Kiek iš 2 spalvų?

a) Norime rasti įvairių spalvų 3 spalvų vėliavas, kurias galima padaryti pasirinkus iš 6 galimų spalvų.

3 spalvų vėliavų skaičius = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Trijų spalvų vėliavų skaičius = 6 * 5 * 4 = 120 vėliavų

b) Norite sužinoti, kiek skirtingų spalvų vėliavų yra 3 spalvos, kurias galima padaryti pasirinkus iš 8 galimų spalvų.

3 spalvų vėliavų skaičius = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

3 spalvų vėliavų skaičius = 8 * 7 * 6 = 336 vėliavos

c) Turi būti apskaičiuotas skirtingų 4 spalvų vėliavų skaičius, kurias galima padaryti pasirinkus iš 8 galimų spalvų.

4 spalvų vėliavų skaičius = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4 spalvų vėliavų skaičius = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 vėliavų

d) Norite nustatyti skirtingų 2 spalvų vėliavų skaičių, kurį galima padaryti, pasirinkdami iš 8 galimų spalvų.

Dviejų spalvų vėliavų skaičius = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Dviejų spalvų vėliavų skaičius = 8 * 7 = 56 vėliavos

Nuorodos

1. Boada, A. (2017). Permutacijos su pakartojimu naudojimas kaip eksperimentų mokymas. Žurnalas „Vivat Academia“. Atkurta iš researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Tikimybė ir statistika. Taikymas ir metodai. „McGraw-Hill“ / „Interamericana de México SA de CV“
3. Stiklas, G .; Stanley, J. (1996). Socialiniams mokslams netaikomi statistiniai metodai. „Prentice Hall“ - „Hispanoamericana SA“
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Ketvirtasis leidimas „McGraw-Hill“ / „Interamericana de México SA“
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Taip, Ka. (2007). Tikimybė ir statistika inžinieriams ir mokslininkams. Aštuntasis leidimas „Pearson Education International Prentice Hall“.
6. Websteris, A. (2000). Verslo ir ekonomikos statistika. Trečiasis leidimas „McGraw-Hill“ / „Interamericana SA“
7. (2019 m.). Permutacija. Atkurta iš en.wikipedia.org.