SĄLYGINĖ TIKIMYBĖ: FORMULĖ IR LYGTYS, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI - DUDAS

Sąlyginė tikimybė yra atsiradimo tam tikro įvykio tikimybė, turint omenyje, kad dar atsiranda kaip sąlyga. Ši papildoma informacija gali (arba gali ne) pakeisti suvokimą, kad kažkas nutiks.

Pvz., Galime savęs paklausti: „Kokia tikimybė, kad šiandien bus lietus, atsižvelgiant į tai, kad dvi dienas nebuvo lietaus?“ Renginys, kurio norime žinoti tikimybė, kad šiandien lyja, o papildoma informacija, kuri sąlygotų atsakymą, yra tai, kad „nebuvo lietaus dvi dienas“.

1 pav. Tikimybė, kad šiandien bus lietus, atsižvelgiant į tai, kad vakar lyja, taip pat yra sąlyginės tikimybės pavyzdys. Šaltinis: „Pixabay“.

Tegul tikimybės tarpą sudaro Ω (imties erdvė), ℬ (atsitiktiniai įvykiai) ir P (kiekvieno įvykio tikimybė), pridėjus įvykius A ir B, priklausančius ℬ.

Sąlyginė A atsiradimo tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvyko B, žymima kaip P (A│B), apibūdinama taip:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ir B) / P (B)

Kur: P (A) yra A įvykio tikimybė, P (B) yra įvykio B tikimybė ir skiriasi nuo 0, o P (A∩B) yra A ir B susikirtimo tikimybė, tai yra, , abiejų įvykių tikimybė (bendra tikimybė).

Tai Bayes'o teoremos, taikytos dviem įvykiams, išraiška, kurią 1763 m. Pasiūlė anglų teologas ir matematikas Thomas Bayesas.

Savybės

-Visa sąlyginė tikimybė yra nuo 0 iki 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Tikriausiai tikimybė, kad įvykis A įvyks, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyksta, yra akivaizdžiai 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Jei du įvykiai yra išskirtiniai, tai yra įvykiai, kurie negali vykti vienu metu, tada sąlyginė tikimybė, kad vienas iš jų įvyks, yra 0, nes sankryža lygi nuliui:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Jei B yra A pogrupis, sąlyginė tikimybė taip pat yra 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Svarbu

P (A│B) paprastai nėra lygus P (B│A), todėl turime būti atsargūs ir nekeisti įvykių, kai nustatome sąlyginę tikimybę.

Bendroji daugybos taisyklė

Daug kartų norite sužinoti jungtinę tikimybę P (A∩B), o ne sąlyginę tikimybę. Tada mes turime šią teoremą:

P (A∩B) = P (A ir B) = P (A│B). P (B)

Teoremą galima išplėsti trims A, B ir C įvykiams:

P (A∩B∩C) = P (A ir B bei C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Taip pat įvairių įvykių, tokių kaip A ₁ , A ₂ , A ₃ ir daugiau, jis gali būti išreikštas taip:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │ A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Kai tai yra įvykiai, vykstantys paeiliui ir per įvairius etapus, duomenis patogu suskirstyti į schemą ar lentelę. Tai leidžia lengviau įsivaizduoti norimos tikimybės pasiekimo galimybes.

Pavyzdžiai yra medžio schema ir nenumatytų atvejų lentelė. Iš vieno iš jų galite pastatyti kitą.

Sąlyginės tikimybės pavyzdžiai

Pažvelkime į kai kurias situacijas, kai vieno įvykio tikimybė pasikeičia įvykus kitam:

- 1 pavyzdys

Saldžių prekių parduotuvėje parduodami dviejų rūšių pyragai: braškių ir šokolado. Užregistravus 50 abiejų lyčių klientų pageidavimus, buvo nustatytos šios vertės:

-27 moterys, iš kurių 11 renkasi braškių pyragą ir 16 šokolado.

-23 vyrai: 15 renkasi šokoladą ir 8 braškių.

Tikimybė, kad klientas pasirinks šokoladinį pyragą, gali būti nustatyta taikant Laplaso taisyklę, pagal kurią bet kurio įvykio tikimybė yra:

P = palankių įvykių skaičius / bendras įvykių skaičius

Šiuo atveju iš 50 klientų iš viso 31 renkasi šokoladą, taigi tikimybė būtų P = 31/50 = 0,62. T. y., 62% klientų renkasi šokoladinį pyragą.

Tačiau ar būtų kitaip, jei klientė būtų moteris? Tai sąlyginės tikimybės atvejis.

Nenumatytų atvejų lentelė

Naudojant tokią nepaprastųjų situacijų lentelę, lengvai parodomos sumos:

Tada stebimi palankūs atvejai ir taikoma Laplaso taisyklė, tačiau pirmiausia mes apibrėžiame įvykius:

-B yra „moteriškos klientės“ renginys.

- Tai renginys „renkasi šokoladinį pyragą“ kaip moteris.

Mes einame į koloną, pažymėtą „moterys“, ir ten matome, kad iš viso yra 27.

Tuomet ieškoma palankaus atvejo „šokolado“ eilutėje. Yra 16 iš šių įvykių, todėl siekiama tikimybės tiesiogiai:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% moterų klientų renkasi šokoladinius pyragus.

Ši vertė sutampa, kai mes ją palyginame su iš pradžių pateiktu sąlyginės tikimybės apibrėžimu:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Įsitikiname, ar naudojamės Laplaso taisykle ir lentelės reikšmėmis:

P (B) = 27/50

P (A ir B) = 16/50

Kai P (A ir B) yra tikimybė, kad klientė teikia pirmenybę šokoladui ir yra moteris. Dabar vertės yra pakeistos:

P (A│B) = P (A ir B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Ir įrodyta, kad rezultatas tas pats.

- 2 pavyzdys

Šiame pavyzdyje taikoma daugybos taisyklė. Tarkime, parduotuvėje yra trijų dydžių kelnės: mažos, vidutinės ir didelės.

Jei partijoje yra 24 kelnės, iš kurių yra 8 kiekvieno dydžio ir visos yra mišrios, kokia tikimybė išgauti dvi iš jų ir kad jos abi buvo mažos?

Akivaizdu, kad per pirmąjį bandymą mažų kelnių nuėmimas yra 8/24 = 1/3. Dabar antrasis ištraukimas priklauso nuo pirmo įvykio, nes, nuėmus kelnes, nebe 24, o 23. O jei nusimaunamos mažos kelnės, yra 7, o ne 8.

A renginys yra vilkdamas mažas kelnaites, po pirmo bandymo nusivilkęs dar vieną. O B renginys pirmą kartą vyksta su mažomis kelnėmis. Taigi:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Galiausiai, naudojant daugybos taisyklę:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Pratimas išspręstas

Tiriant komercinių oro skrydžių punktualumą, yra šie duomenys:

-P (B) = 0,83, yra tikimybė, kad plokštuma pakils laiku.

-P (A) = 0,81, yra tūpimo laiku tikimybė.

-P (B∩A) = 0,78 yra tikimybė, kad skrydis atvyks laiku, kildamas laiku.

Prašoma apskaičiuoti:

a) Kokia tikimybė, kad lėktuvas tūps laiku, atsižvelgiant į tai, kad pakilo laiku?

b) Ar aukščiau nurodyta tikimybė yra tokia pati kaip tikimybė, kad jūs išvykote laiku, jei jums pavyko nusileisti laiku?

c) ir galiausiai: kokia tikimybė, kad ji atvyks laiku, atsižvelgiant į tai, kad neišvyko laiku?

2 pav. Komercinių skrydžių punktualumas yra svarbus, nes vėlavimai sukelia milijonus dolerių nuostolių. Šaltinis: „Pixabay“.

Sprendimas

Norint atsakyti į klausimą, naudojamas sąlyginės tikimybės apibrėžimas:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ir B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

B sprendimas

Tokiu atveju keičiamasi apibrėžimo įvykiais:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A ir B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Atkreipkite dėmesį, kad ši tikimybė šiek tiek skiriasi nuo ankstesnės, kaip pažymėjome anksčiau.

C sprendimas

Laiko neišvykimo tikimybė yra 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, mes tai vadinsime P (B ^C ), nes tai yra papildomas įvykis laiku kilti. Siekiama sąlyginė tikimybė:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A ir B ^C ) / P (B ^C )

Iš kitos pusės:

P (A∩B ^C ) = P (tūpimas laiku) - P (tūpimas laiku ir kilimas laiku) = 0,81–0,78 = 0,03

Šiuo atveju siekiama sąlyginės tikimybės:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Nuorodos

Canavos, G. 1988. Tikimybė ir statistika: taikymai ir metodai. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Inžinerijos ir mokslo tikimybės ir statistika. 8-asis. Leidimas. Cengažas.
Lipschutz, S. 1991. Schaum serija: tikimybė. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Tikimybių teorija. Redakcija „Limusa“.
Walpole, R. 2007. Inžinerijos ir mokslų tikimybės ir statistika. Pearsonas.
Vikipedija. Sąlyginė tikimybė. Atkurta iš: es.wikipedia.org.

SĄLYGINĖ TIKIMYBĖ: FORMULĖ IR LYGTYS, SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI - DUDAS - 2025