- Sarruso taisyklė
- Determinantų tipai
- 1 matmens determinantas
- 2 matmens determinantas
- 3 matmens determinantas
- Nuorodos
Taisyklė Sarrus naudojamas apskaičiuoti 3 × 3 veiksnių rezultatas. Jie naudojami linijinėms lygtims išspręsti ir išsiaiškinti, ar jos suderinamos.
Suderinamos sistemos palengvina sprendimo gavimą. Jie taip pat naudojami siekiant nustatyti, ar vektorių rinkiniai nėra linijiškai nepriklausomi, ir sudaryti vektoriaus erdvės pagrindą.
Šios programos yra pagrįstos matricų negrįžtamumu. Jei matrica yra taisyklinga, jos determinantas skiriasi nuo 0. Jei ji yra vienaskaita, jos determinantas yra lygus 0. Determinantai gali būti apskaičiuojami tik kvadratinėse matricose.
Norėdami apskaičiuoti bet kurios eilės matricas, galima naudoti Laplaso teoremą. Ši teorema leidžia mums supaprastinti didelių matmenų matricas, susidedant iš mažų determinantų, kuriuos mes suskaidome iš pagrindinės matricos.
Jame teigiama, kad matricos determinantas yra lygus kiekvienos eilutės ar stulpelio sandaugų sumai, padaugintai iš gretimos matricos determinanto.
Tai sumažina determinantus taip, kad n laipsnio determinantas tampa n n-1 veiksniu. Jei taikysime šią taisyklę paeiliui, galime gauti 2 (2 × 2) arba 3 (3 × 3) matmenų determinantus, kur juos apskaičiuoti yra daug lengviau.
Sarruso taisyklė
Pierre Frederic Sarrus buvo XIX amžiaus prancūzų matematikas. Daugelis jo matematinių traktatų yra pagrįsti lygčių sprendimo metodais ir variacijų skaičiavimu, naudojant skaitmenines lygtis.
Viename iš savo traktatų jis išsprendė vieną iš sudėtingiausių mįslių mechanikoje. Siekdamas išspręsti sujungtų kūrinių problemas, Sarrus pristatė alternatyvių tiesių judesių transformaciją vienodais apskrito judesiais. Ši nauja sistema yra žinoma kaip Sarrus mechanizmas.
Tyrimas, suteikęs šiam matematikui didžiausią šlovę, buvo tas, kuriame jis pristatė naują determinantų skaičiavimo metodą straipsnyje „Naujas lygčių sprendimo metodas“ (Nouvelles méthodes pour la résolution des équations). 1833 metai. Šis tiesinių lygčių sprendimo būdas yra žinomas kaip Sarruso taisyklė.
Sarruso taisyklė leidžia apskaičiuoti 3 × 3 matricos determinantą, nereikia naudoti Laplaso teoremos, įvedant daug paprastesnį ir intuityvesnį metodą. Norėdami patikrinti Sarruso taisyklės vertę, imame bet kurią 3 dimensijos matricą:
Jo determinantas būtų apskaičiuojamas iš jo pagrindinių įstrižainių sandaugos, atėmus atvirkštinių įstrižainių sandaugą. Tai būtų taip:
Sarruso taisyklė leidžia mums gauti daug lengvesnį vaizdą apskaičiuojant determinanto įstrižaines. Tai būtų supaprastinta, pridedant pirmuosius du stulpelius prie matricos galo. Tokiu būdu aiškiau matoma, kurios yra pagrindinės įstrižainės ir kurios yra atvirkštinės, norint apskaičiuoti produktą.
Per šį vaizdą matome, kaip taikoma Sarruso taisyklė. Mes pateikiame 1 ir 2 eilutes žemiau pradinės matricos grafinio atvaizdo. Tokiu būdu pagrindinės įstrižainės yra trys įstrižainės, kurios atsiranda pirmiausia.
Trys atvirkštinės įstrižainės, savo ruožtu, yra tos, kurios pirmiausia pasirodo gale.
Tokiu būdu įstrižainės pasirodo vizualiau, neapsunkindamos determinanto skyros, bandant išsiaiškinti, kurie matricos elementai priklauso kiekvienai įstrižainei.
Kaip atrodo paveikslėlyje, mes pasirenkame įstrižaines ir apskaičiuojame kiekvienos funkcijos rezultatą. Mėlynos spalvos įstrižainės yra tos, kurios pridedamos. Iš jų sumos atimame įstrižainių, rodomų raudonai, vertę.
Norėdami palengvinti glaudinimą, galime naudoti skaitinį pavyzdį, o ne naudoti algebrinius terminus ir potemius.
Pavyzdžiui, jei paimsime bet kokią 3 × 3 matricą:
Norėdami pritaikyti Sarruso taisyklę ir ją išspręsti vizualiau, turėtume įtraukti 1 ir 2 eilutes kaip atitinkamai 4 ir 5 eilutes. Svarbu 1 eilutę laikyti 4-oje pozicijoje, o 2 eilutę - 5-oje pozicijoje. Kadangi juos pakeisime, Sarruso taisyklė nebus veiksminga.
Norint apskaičiuoti determinantą, mūsų matrica būtų tokia:
Norėdami tęsti skaičiavimą, mes padauginsime pagrindinių įstrižainių elementus. Palikuonys, pradedantys iš kairės, turės teigiamą ženklą; o atvirkštinės įstrižainės, kurios prasideda iš dešinės, turi neigiamą ženklą.
Šiame pavyzdyje mėlynos spalvos turėtų teigiamą ženklą, o raudonos - neigiamą. Galutinis Sarruso taisyklės apskaičiavimas atrodytų taip:
Determinantų tipai
1 matmens determinantas
Jei matricos matmuo yra 1, matrica atrodo taip: A = (a)
Todėl jį lemiantis veiksnys būtų toks: det (A) = -A- = a
Apibendrinant, matricos A determinantas yra lygus absoliučiai matricos A vertei, kuri šiuo atveju yra a.
2 matmens determinantas
Jei pereiname prie 2 matmens matricų, gauname tokio tipo matricas:
Kai jo lemiamas veiksnys apibūdinamas kaip:
Šio determinanto skiriamoji geba pagrįsta jo pagrindinės įstrižainės dauginimu, atimant iš jo atvirkštinės įstrižainės sandaugą.
Kaip mnemoniką, mes galime naudoti šią schemą, kad prisimintume ją lemiantį veiksnį:
3 matmens determinantas
Jei matricos matmuo yra 3, gauta matricos rūšis bus tokia:
Šios matricos lemiamas veiksnys būtų išspręstas remiantis Sarruso taisykle tokiu būdu:
Nuorodos
- Jenny Olive (1998) Matematika: studento išgyvenimo vadovas. Cambridge University Press.
- Richardas J. Brownas (2012) 30 sekundžių matematika: 50 labiausiai protą išskleidžiančių matematikos teorijų. „Ivy Press Limited“.
- Dave'as Kirkby (2004 m.) „Matematika prisijungti“. Heinemannas.
- Awol Assen (2013) 3 × 3 matricos determinantų skaičiavimo tyrimas. Lap Lambert akademinė leidyba.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinantai ir matricos. Leidimų leidimas.
- Jesse Russell (2012) Sarruso taisyklė.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Įvadas į tiesinę algebrą. ESIC redakcija.