KETURKAMPIS: ELEMENTAI, SAVYBĖS, KLASIFIKACIJA, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Keturkampis yra daugiakampis su keturių pusių ir keturių viršūnių. Jos priešingos pusės yra tos, kurios neturi bendrų viršūnių, o iš eilės esančios pusės yra tos, kurios turi bendrą viršūnę.

Keturkampyje gretimi kampai turi vieną pusę, o priešingi kampai neturi jokių bendrų pusių. Kita svarbi keturkampio savybė yra ta, kad jo keturių vidinių kampų suma yra dvigubai didesnė už plokštumos kampą, tai yra, 360º arba 2π spindulius.

1 pav. Įvairūs keturkampiai. Šaltinis: F. Zapata.

Įstrižainės yra segmentai, jungiantys viršūnę su jos priešingybe, ir tam tikrame keturkampyje iš kiekvienos viršūnės gali būti nubrėžta viena įstrižainė. Bendras įstrižainių skaičius keturkampyje yra du.

Keturkampiai yra skaičiai, žmonijai žinomi nuo senų senovės. Archeologiniai įrašai, taip pat šiandien išlikusios konstrukcijos tai patvirtina.

Panašiai ir šiandien keturkampiai yra svarbūs kasdieniame gyvenime. Šią formą skaitytojas gali rasti ekrane, kuriame jis skaito tekstą tą pačią akimirką, ant langų, durų, automobilių dalių ir daugybės kitų vietų.

Keturkampis klasifikavimas

Pagal priešingų pusių lygiagretumą keturkampiai yra klasifikuojami taip:

1. Trapecijos formos, kai nėra lygiagretumo ir keturkampis yra išgaubtas.
2. Trapecija, kai yra lygiagretumas tarp vienos priešingų pusių poros.
3. Paralelograma, kai priešingos jo pusės yra lygiagrečios viena po kitos.

2 pav. Keturkampių klasifikavimas ir poklasifikavimas. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Lygiagretainių tipai

Savo ruožtu paralelogramas pagal jų kampus ir šonus galima klasifikuoti taip:

1. Stačiakampis yra paraleliograma, kurios keturių vidinių kampų dydis yra lygus. Vidiniai stačiakampio kampai sudaro stačiakampį (90º).
2. Kvadratas, tai yra stačiakampis, kurio keturios kraštinės yra lygios.
3. Rombas yra paralelograma, turinti keturias lygias puses, tačiau skirtingus gretimus kampus.
4. Šermukšnis, lygiagretainis su skirtingais gretimais kampais.

Trapecija

Trapecija yra išgaubtas keturkampis su dviem lygiagrečiomis pusėmis.

3 pav. Trapecijos pagrindas, kraštai, aukštis ir vidurys. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

- Trapecijos formos lygiagretės pusės vadinamos bazėmis, o nelygiagretės pusės - šoninėmis.

- Trapecijos aukštis yra atstumas tarp dviejų pagrindų, tai yra segmento ilgis su galais prie pagrindų ir statmenas joms. Šis segmentas taip pat vadinamas trapecijos aukščiu.

- Mediana yra segmentas, jungiantis šoninius vidurio taškus. Galima parodyti, kad mediana yra lygiagreti trapecijos pagrindams ir jos ilgis yra lygus bazių pusiaukampai.

- Trapecijos plotas yra jo aukštis, padaugintas iš bazių dalies sumos:

Trapecijos tipai

- Stačiakampis trapecijos formos kraštas : statmena šonams pagrindas. Ši pusė taip pat yra trapecijos aukštis.

- Vienos trapecijos formos trapecijos formos : vienodo ilgio šonai. Lygiašonės trapecijos formos kampai, esantys šalia bazių, yra vienodi.

-Scalene trapecija : ta, kurios šonai yra skirtingo ilgio. Jos priešingi kampai gali būti vienas ūmus, o kitas - nykus, tačiau taip pat gali atsitikti, kad abu yra pailgi arba abu ūmūs.

4 pav. Trapecijos tipai. Šaltinis: F. Zapata.

Paralelograma

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos pusės yra lygiagrečios viena po kitos. Lygiagrečioje diagramoje priešingi kampai yra lygūs, o gretimi kampai yra papildomi, arba, kitaip tariant, gretimi kampai prideda iki 180º.

Jei lygiagretainis turi stačiakampį, tada visi kiti kampai taip pat bus, o gauta figūra vadinama stačiakampiu. Bet jei stačiakampis taip pat turi gretimas tokio paties ilgio šonus, tada visos jo pusės yra lygios, o gauta figūra yra kvadratas.

5 pav. Paralelogramos. Stačiakampis, kvadratas ir rombas yra lygiagrečios diagramos. Šaltinis: F. Zapata.

Kai paralelograma turi dvi gretimas to paties ilgio puses, visos jos pusės bus vienodo ilgio, o gautas paveikslas yra rombas.

Lygiagretainio schemos aukštis yra segmentas, kurio galai yra priešingose ​​jo pusėse ir statmeni jiems.

Paralelės diagrama

Lygiagretainio diagramos plotas yra bazės, padaugintos iš jos aukščio, sandauga, kai pagrindas yra statmena šonui aukštis (6 pav.).

Paralelogramos įstrižainės

Įstrižainės, pradedančios nuo viršūnės, kvadratas yra lygus abiejų pusių, besiribojančių su minėta viršūne, kvadratų sumai, pridėjus dvigubą tų kraštų sandaugą iš tos viršūnės kampo kosinuso:

f ² = a ² + d ² + 2 skelbimas „Cos“ (α)

6 pav. Parallelograma. Priešingi kampai, aukštis, įstrižainės. Šaltinis: F. Zapata.

Įstrižainės kvadratas, esantis priešais paraleliogramos viršūnę, yra lygus abiejų šonų, esančių šalia minėtos viršūnės, kvadratų sumai, atėmus tų kraštų dvigubą sandaugą iš tos viršūnės kampo kosinuso:

g ² = a ² + d ² - 2 skelbimas „Cos“ (α)

Lygiagrečių diagramų dėsnis

Bet kurioje lygiagrečioje diagramoje jo kraštų kvadratų suma yra lygi įstrižainių kvadratų sumai:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Stačiakampis yra keturkampis, kurio priešingos pusės yra lygiagrečios dviem dviem ir kuris taip pat turi stačią kampą. Kitaip tariant, stačiakampis yra stačiakampio formos stačiakampis tipas. Kadangi tai yra paralelograma, stačiakampis turi priešingas puses vienodo ilgio a = c ir b = d.

Bet kaip ir bet kurioje paralelogramoje, gretimi kampai yra papildomi ir priešingi kampai yra lygūs, stačiakampyje, nes jis turi stačiąjį kampą, jis būtinai sudarys stačiuosius kampus kituose trijuose kampuose. Kitaip tariant, stačiakampyje visi vidiniai kampai matuoja 90º arba π / 2 radianus.

Stačiakampio įstrižainės

Kaip bus parodyta žemiau, stačiakampyje įstrižainės yra vienodo ilgio. Motyvai yra tokie; Stačiakampis yra paralelograma su visais stačiakampiais, todėl paveldi visas paralelogramos savybes, įskaitant formulę, nurodančią įstrižainių ilgį:

f ² = a ² + d ² + 2 skelbimas „Cos“ (α)

g ² = a ² + d ² - 2 skelbimas „Cos“ (α)

kai α = 90º

Kadangi Cose (90º) = 0, tada atsitinka taip:

f ² = g ² = a ² + d ²

Tai yra, f = g, todėl dviejų stačiakampio įstrižainių ilgiai f ir g yra lygūs, o jų ilgis pateikiamas:

Be to, jei stačiakampyje su gretimomis a ir b pusėmis viena iš pusių laikoma pagrindu, kita pusė bus aukščio, taigi stačiakampio plotas bus:

Stačiakampio plotas = ašis b.

Perimetras yra visų stačiakampio kraštų suma, tačiau, kadangi priešingybės yra lygios, darytina išvada, kad stačiakampiui, kurio kraštinės yra a ir b, perimetras apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Stačiakampio perimetras = 2 (a + b)

7 pav. Stačiakampis su a ir b kraštais. Įstrižainės f ir g yra vienodo ilgio. Šaltinis: F. Zapata.

Kvadratas

Kvadratas yra stačiakampis, kurio gretimos pusės yra vienodo ilgio. Jei kvadratas turi šoną a, tada jo įstrižainės f ir g yra vienodo ilgio, tai yra f = g = (√2) a.

Kvadrato plotas yra jo kraštinė kvadratu:

Kvadrato plotas = a ²

Kvadrato perimetras yra dvigubai šoninis:

Kvadrato perimetras = 4 a

8 pav. Kvadratas su kraštu a, nurodantis jo plotą, perimetrą ir įstrižainių ilgį. Šaltinis: F. Zapata ..

Deimantas

Rombas yra paraleliograma, kurios gretimos pusės yra vienodo ilgio, tačiau kadangi priešingos pusės yra lygios paralelogramoje, tada visos rombo pusės yra vienodo ilgio.

Rombų įstrižainės yra skirtingo ilgio, tačiau susikerta stačiu kampu.

9 paveikslas. Šoninės a rombas, nurodantis jo plotą, perimetrą ir įstrižainių ilgį. Šaltinis: F. Zapata.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Parodykite, kad keturkampyje (neperbrauktame) vidiniai kampai padidėja iki 360º.

10 paveikslas: Parodyta, kaip keturkampio kampų suma padidėja iki 360º. Šaltinis: F. Zapata.

Nagrinėjamas keturkampis ABCD (žr. 10 paveikslą) ir nubrėžta įstrižainė BD. Susidaro du trikampiai ABD ir BCD. Trikampio ABD vidinių kampų suma yra:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

O trikampio BCD vidinių kampų suma yra tokia:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Sudėję dvi lygtis gauname:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Grupavimas:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Sugrupuojant ir pervadinus, pagaliau parodoma, kad:

α + β + δ + γ = 360º

2 pavyzdys

Parodykite, kad trapecijos mediana yra lygiagreti jos pamatams, o jos ilgis yra bazių pusiasalis.

11 pav. Trapecijos ABCD mediana MN. Šaltinis: F. Zapata.

Trapecijos vidurkis yra segmentas, jungiantis jo šonų vidurinius taškus, tai yra, nelygiagrečių kraštų. Trapecijos ABCD, pavaizduoto 11 paveiksle, mediana yra MN.

Kadangi M yra AD vidurio taškas, o N yra BC vidurio taškas, AM / AD ir BN / BC santykiai yra vienodi.

T. y., AM yra proporcinga BN tokiai pačiai proporcijai, kaip AD yra BC, taigi yra sudarytos sąlygos taikyti Thaleso (abipusę) teoremą, kurioje teigiama:

"Jei proporcingi segmentai nustatomi trimis ar daugiau linijų, supjaustytų dviem sekcijomis, tada visos šios linijos yra lygiagrečios".

Mūsų atveju daroma išvada, kad linijos MN, AB ir DC yra lygiagrečios viena kitai, todėl:

"Trapecijos mediana yra lygiagreti jos pamatams."

Dabar bus taikoma Thaleso teorema:

"Paralelių, supjaustytų dviem ar daugiau sekcijų, rinkinys nustato proporcingus segmentus."

Mūsų atveju AD = 2 AM, AC = 2 AO, taigi trikampis DAC yra panašus į trikampį MAO, taigi DC = 2 MO.

Panašus argumentas leidžia mums patvirtinti, kad CAB yra panašus į CON, kur CA = 2 CO ir CB = 2 CN. Iš karto išplaukia, kad AB = 2 ON.

Trumpai tariant, AB = 2 ON ir DC = 2 MO. Taigi pridėdami mes turime:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Galiausiai MN išvalomas:

MN = (AB + DC) / 2

Ir daroma išvada, kad trapecijos mediana matuoja bazių pusiau sumą, arba pateikia kitą kelią: mediana matuoja bazių sumą, padalytą iš dviejų.

3 pavyzdys

Parodykite, kad rombe įstrižainės susikerta stačiu kampu.

Rombas ir jo įstrižainių susikertimas stačiu kampu. Šaltinis: F. Zapata.

Lentelė 12 paveiksle rodo būtiną konstrukciją. Pirmiausia nubrėžta paralelograma ABCD su AB = BC, tai yra, rombas. Įstrižainės AC ir DB nustato aštuonis paveiksle pavaizduotus kampus.

Naudodamiesi teorema (aip), teigiančia, kad pakaitiniai vidiniai kampai tarp sekatoriaus iškirptų paralelių nustato lygius kampus, galime nustatyti:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ ir δ2 = β2. (*)

Kita vertus, kadangi gretimos rombo pusės yra vienodo ilgio, nustatomi keturi lygiašoniai trikampiai:

DAB, BCD, CDA ir ABC

Dabar remiasi trikampio (lygiašaknių) teorema, kurioje teigiama, kad kampai, esantys greta bazės, yra vienodo dydžio, iš kurių daroma išvada, kad:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ ir α ₁ = γ2 (**)

Jei santykiai (*) ir (**) derinami, pasiekiama tokia kampų lygybė:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ , viena vertus, ir β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2.

Prisimindami vienodų trikampių teoremą, teigiančią, kad du trikampiai su lygia puse tarp dviejų vienodų kampų yra lygūs, turime:

AOD = AOB, taigi ir kampai ∡AOD = ∡AOB.

Tada ∡AOD + ∡AOB = 180º, bet kadangi abu kampai yra vienodo dydžio, turime 2 ∡AOD = 180º, tai reiškia, kad ∡AOD = 90º.

Tai yra, geometriškai parodyta, kad rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.

Pratimai išspręsti

- 1 pratimas

Parodykite, kad stačiakampio formos stačiakampis kampas yra papildomas.

Sprendimas

13 pav. Dešinė trapecija. Šaltinis: F. Zapata.

Trapecija ABCD yra sukonstruota su lygiagrečiomis AB ir DC bazėmis. Vidinis A viršūnės kampas yra teisingas (jis matuoja 90º), todėl turime dešinę trapecijos formą.

Kampai α ir δ yra vidiniai kampai tarp dviejų paralelių AB ir DC, todėl jie yra lygūs, tai yra, δ = α = 90º.

Kita vertus, įrodyta, kad keturkampio vidinių kampų suma padidėja iki 360º, tai yra:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Tai, kas pasakyta, lemia:

β + δ = 180º

Patvirtina tai, ką norėta parodyti, kad kampai β ir δ yra papildomi.

- 2 pratimas

Lygiagrečios diagramos ABCD yra AB = 2 cm ir AD = 1 cm, be to, kampas BAD yra 30º. Nustatykite šios paralelės diagramos plotą ir dviejų įstrižainių ilgį.

Sprendimas

Lygiagretainio diagramos plotas yra jo ilgio ir aukščio sandauga. Šiuo atveju bus imtasi segmento ilgio b = AB = 2 cm, o kitos pusės ilgis a = AD = 1 cm, o aukštis h apskaičiuojamas taip:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Taigi: Plotas = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Nuorodos

1. CEA (2003). Geometrijos elementai: su pratimais ir kompaso geometrija. Medellino universitetas.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atleistas, K. (2007). Atraskite daugiakampius. Lyginamoji švietimo įmonė.
4. Hendrik, V. (2013). Apibendrinti daugiakampiai. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematikos pirmasis semestras Tacaná. IGER.
6. Jr geometrija. (2014). Daugiakampiai. „Lulu Press, Inc.“
7. Milleris, Heerenas ir Hornsbis. (2006). Matematika: pagrindimas ir taikymas (dešimtasis leidimas). „Pearson Education“.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakcijos programa.
9. Vikipedija. Keturkampiai. Atkurta iš: es.wikipedia.com