VIRVĖ (GEOMETRIJA): ILGIS, TEOREMA IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Styga , plokštumoje geometrijos, yra atkarpa, kad prisijungia du taškus kreive. Sakoma, kad linija, kurioje yra šis segmentas, yra išsikišusi kreivės linija. Tai dažnai būna apskritimas, tačiau akordus tikrai galima nubrėžti ant daugelio kitų kreivių, tokių kaip elipsės ir parabolės.

1 paveiksle kairėje yra kreivė, kuriai priklauso taškai A ir B. Strypas tarp A ir B yra žalia segmentas. Dešinėje yra apskritimas ir viena iš jo stygų, nes galima nubrėžti begalybes.

1 pav. Kairėje savavališkos kreivės styga ir dešinėje apskritimo styga. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Perimetru jo skersmuo yra ypač įdomus, kuris taip pat žinomas kaip pagrindinis styga. Tai styga, kurioje visada yra apskritimo centras ir matuojamas dvigubai daugiau spindulio.

Šis paveikslėlis parodo apskritimo spindulį, skersmenį, stygą ir lanko arką. Teisingai identifikuojant kiekvieną svarbu išspręsti problemas.

2 pav. Aplinkos elementai. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Stygos ilgio apskritimas

Mes galime apskaičiuoti stygos ilgį apskritime iš 3a ir 3b paveikslų. Atkreipkite dėmesį, kad trikampis visada formuojamas iš dviejų vienodų pusių (vienaląsčių): segmentų OA ir OB, kurie matuoja R, apskritimo spindulį. Trečioji trikampio pusė yra segmentas AB, vadinamas C, kuris yra tiksliai stygos ilgis.

Norint nubrėžti kampą θ, kuris yra tarp dviejų spindulių ir kurio viršūnė yra apskritimo centras O, būtina nubrėžti statmeną stygai C. Tai yra centrinis kampas, nes jo viršūnė yra centras, o bisektoriaus linija taip pat yra perimetras.

Iš karto susidaro du dešiniai trikampiai, kurių hipotenuzė matuoja R. Kadangi bisektorius ir kartu su jo skersmeniu styga padalijama į dvi lygias dalis, paaiškėja, kad viena iš kojų yra pusė C, kaip nurodyta 3b pav.

Iš kampo sinuso apibrėžimo:

sin (θ / 2) = priešinga koja / hipotenuzė = (C / 2) / R

Taigi:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

3 pav. Trikampis, kurį sudaro du spinduliai ir apskritimo styga, yra lygiašonis (3 pav.), Nes jis turi dvi vienodas puses. Disektorius padalija jį į du dešinius trikampius (3b paveikslas). Šaltinis: parengė F. Zapata.

Styginių teorema

Styginių teorema eina taip:

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduoti du to paties apskritimo akordai: AB ir CD, kertantys tašką P. A stygoje AB apibrėžti segmentai AP ir PB, o stygoje CD CP ir PD. Taigi, pagal teoremą:

AP. PB = CP. P.S.

4 pav. Apskritimo stygos teorema. Šaltinis: F. Zapata.

Išspręsti stygų pratimai

- 1 pratimas

Apskritimas turi 48 cm ilgio stygą, kuri yra 7 cm atstumu nuo centro. Apskaičiuokite apskritimo plotą ir perimetrą.

Sprendimas

Apskaičiuojant apskritimo A plotą, pakanka žinoti kvadrato apskritimo spindulį, nes tai tiesa:

A = π.R ²

Dabar pateiktais duomenimis suformuota figūra yra stačiakampis trikampis, kurio kojos yra atitinkamai 7 ir 24 cm.

5 pav. Išspręsto uždavinio geometrija 1. Šaltinis: F. Zapata.

Todėl norint rasti R ² reikšmę , tiesiogiai taikoma Pitagoro teorema c ² = a ² + b ² , nes R yra trikampio hipotenuzė:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Taigi prašoma sritis yra:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Atsižvelgiant į perimetrą arba ilgį L, jis apskaičiuojamas taip:

L = 2π. R

Pakaitinės vertės:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- 2 pratimas

Nustatykite apskritimo, kurio lygtis yra, stygos ilgį:

x ² + y ² - 6x - 14 y -111 = 0

Akordo vidurio koordinatės žinomos kaip P (17/2; 7/2).

Sprendimas

Vidurio styga P nepriklauso apskritimui, tačiau stygos galiniai taškai yra. Problemą galima išspręsti naudojant anksčiau išsakytą stygų teoremą, tačiau pirmiausia patogu parašyti apskritimo lygtį kanonine forma, nustatyti jos spindulį R ir jo centrą O.

1 žingsnis: gaukite kanoninę apskritimo lygtį

Apskritimo su centru kanoninė lygtis (h, k):

(XH) ² + (yk) ² = R ²

Norėdami jį gauti, turite užpildyti kvadratus:

(x ² - 6x) + (y ² - 14 y ) -111 = 0

Atminkite, kad 6x = 2. (3x) ir 14y = 2. (7y), kad ankstesnė išraiška būtų perrašyta taip, nekeičiant:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

O dabar, prisiminę nuostabaus produkto apibrėžimą (ab) ² = a ² - 2ab + b ² , galite parašyti:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Apskritimas turi centrą (3,7), o spindulys R = √169 = 13. Šis paveikslėlis parodo apskritimo grafiką ir stygas, kurie bus naudojami teoremoje:

6 paveikslas. Išskirtinio pratimo apskritimo grafikas. 2. Šaltinis: F. Zapata naudodamasis internetine grafikos skaičiuokle „Mathway“.

2 veiksmas: nustatykite segmentus, kurie bus naudojami eilutės teoremoje

Naudojami segmentai yra stygos CD ir AB, kaip parodyta 6 paveiksle, abu pjaustomi taške P, todėl:

CP. PD = AP. PB

Dabar mes rasime atstumą tarp taškų O ir P, nes tai suteiks mums segmento OP ilgį. Jei prie šio ilgio pridėsime spindulį, turėsime segmentą CP.

Atstumas d _OP tarp dviejų koordinačių taškų (x ₁ , y ₁ ) ir (x ₂ , y ₂ ) yra:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3 - 17/2) ² + (7 - 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Su visais gautais rezultatais ir grafiku sudarome šį segmentų sąrašą (žr. 6 pav.):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = stygos ilgis

Pakeisti eilutės teoremą:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Stygos ilgis yra 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Ar skaitytojas galėtų problemą išspręsti kitu būdu?

Nuorodos

1. Baldor, A. 2004. Plokštumos ir kosmoso geometrija su trigonometrija. Leidinio „Cultural SA de CV México“ leidėjai.
2. C-K12. Akordo ilgis. Atkurta iš: ck12.org.
3. Escobaras, J. Apipjaustymas. Atkurta iš: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Atkurta iš: dspace.espol.edu.ec.
5. Vikipedija. Virvė (geometrija). Atkurta iš: es.wikipedia.org.