ALGEBRINIAI DARINIAI (SU PAVYZDŽIAIS) - MATEMATIKA - 2025

Kad algebrinių dariniai susideda iš darinys, tyrimo su algebrinių funkcijų atveju. Išvestinės sąvokos ištakos siekia Senovės Graikiją. Šios sąvokos plėtojimąsi paskatino poreikis išspręsti dvi svarbias problemas - vieną fizikoje, kitą - matematikoje.

Fizikoje darinys išsprendžia judančio objekto momentinio greičio nustatymo problemą. Matematikoje tai leidžia rasti kreivės liestinės liniją tam tikrame taške.

Nors yra dar daug daugiau problemų, kurios išsprendžiamos naudojant darinį, taip pat jo apibendrinimus, rezultatai, kurie atsirado po jo koncepcijos įvedimo.

Diferencinio skaičiavimo pradininkai yra Niutonas ir Leibnizas. Prieš pateikdami oficialų apibrėžimą, išnagrinėsime jo idėją matematiniu ir fiziniu požiūriais.

Išvestinė kaip liestinės liestinės kreivė

Tarkime, kad funkcijos y = f (x) grafikas yra ištisinis grafikas (be smailių, viršūnių ar tarpų), ir tegul A = (a, f (a)) yra fiksuotas taškas. Norime rasti tiesės tangentą funkcijos f grafikui taške A.

Paimkime bet kurį kitą grafiko tašką P = (x, f (x)), artimą taškui A, ir nubrėžkime tiesės liniją, einančią per A ir P. Sekcijos linija yra linija, kuri kreivės grafiką išpjauna vienetu. ar daugiau taškų.

Norint gauti norimą liestinės liniją, reikia tik apskaičiuoti nuolydį, nes linijoje jau turime tašką: taškas A.

Jei judėsime tašką P išilgai grafiko ir priartėsime arčiau taško A, anksčiau paminėta sekantinė linija artės prie liestinės linijos, kurią norime rasti. Pažymėjus ribą, kai „P linkęs į A“, abi linijos sutaps, taigi ir jų šlaitai.

Sekančiosios linijos nuolydis pateiktas

Sakymas, kad P artėja prie A, yra lygus teiginiui, kad „x“ artėja prie „a“. Taigi, liestinės linijos nuolydis su f grafiku taške A bus lygus:

Aukščiau pateikta išraiška žymima f '(a) ir yra apibrėžiama kaip funkcijos f išvestis taške „a“. Todėl mes matome, kad analitiškai funkcijos išvestinis taške yra riba, tačiau geometriškai tai yra liestinės linijos nuolydis prie funkcijos taško grafiko.

Dabar pažvelgsime į šią sąvoką fizikos požiūriu. Pasieksime tą pačią ankstesnės ribos išraišką, nors ir kitu keliu, tokiu būdu pasiekdami apibrėžimo vieningumą.

Darinys kaip momentinis judančio objekto greitis

Pažvelkime į trumpą pavyzdį, ką reiškia momentinis greitis. Pavyzdžiui, kai sakoma, kad automobilis, kuris pasiekė kelionės tikslą, tai padarė 100 km per valandą greičiu, o tai reiškia, kad per valandą jis nuvažiavo 100 km.

Tai nebūtinai reiškia, kad visą valandą automobilis visada buvo nuvažiavęs 100 km, automobilio spidometras tam tikrais momentais galėjo žymėti mažiau ar daugiau. Jei jums reikėjo sustoti prie šviesoforo, tuo metu jūsų greitis buvo 0 km. Tačiau po valandos kelionė buvo 100 km.

Tai yra vadinama vidutiniu greičiu, kurį nurodo nuvažiuoto atstumo ir praleisto laiko, kaip ką tik matėme, santykis. Momentinis greitis, kita vertus, yra tas, kuris tam tikru momentu (laiku) žymi automobilio spidometro adatą.

Pažvelkime į tai plačiau. Tarkime, kad objektas juda linija ir kad šis poslinkis vaizduojamas lygtimi s = f (t), kur kintamasis t matuoja laiką, o kintamasis s - poslinkį, atsižvelgiant į jo pradžią momentinis t = 0, tuo metu jis taip pat lygus nuliui, tai yra, f (0) = 0.

Ši funkcija f (t) yra žinoma kaip padėties funkcija.

Ieškoma momentinio objekto greičio išraiška fiksuotu momentiniu „a“. Tokiu greičiu jį žymėsime V (a).

Tegul tai nėra bet kuri akimirka, artima momentinei „a“. Laiko intervale tarp „a“ ir „t“ objekto padėties pokytis pateikiamas f (t) -f (a).

Vidutinis greitis per šį laiko intervalą yra:

Tai yra momentinio greičio V (a) apytikslė. Šis suderinimas bus geresnis, nes t priartės prie „a“. Taigi,

Atminkite, kad ši išraiška yra tokia pati, kaip ir gauta ankstesniu atveju, tačiau iš kitos perspektyvos. Tai yra vadinama funkcijos f išvestimi taške „a“ ir žymima f ’(a), kaip teigiama aukščiau.

Atminkite, kad atlikdami pakeitimą h = xa, mes turime tai, kad kai „x“ linkęs į „a“, „h“ linkęs į 0, o ankstesnė riba virsta (lygiaverčiai) į:

Abi išraiškos yra lygiavertės, tačiau kartais geriau naudoti vieną, o ne kitą, atsižvelgiant į atvejį.

Funkcijos f darinys bet kuriame jos domenui priklausančiame taške „x“ apibrėžiamas bendresniu būdu kaip

Dažniausias žymėjimas, reiškiantis funkcijos y = f (x) darinį, yra tas, kurį ką tik matėme (f 'arba y'). Tačiau kitas plačiai naudojamas žymėjimas yra Leibnizo žymėjimas, kuris pavaizduotas kaip bet kuris iš šių posakių:

Kadangi išvestinė priemonė iš esmės yra riba, ji gali egzistuoti arba neegzistuoti, nes ribos ne visada egzistuoja. Jei ji egzistuoja, sakoma, kad aptariama funkcija gali būti diferencijuojama tam tikrame taške.

Algebrinė funkcija

Algebrinė funkcija yra polinomų derinys, pridedant, atimant, sandaugai, koeficientams, galioms ir radikalams.

Polinomas yra formos išraiška

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Kur n yra natūralusis skaičius, o visi a _i , kai i = 0,1, …, n, yra racionalieji skaičiai ir _n ≠ 0. Šiuo atveju sakoma, kad šios polinomos laipsnis yra n.

Toliau pateikiami algebrinių funkcijų pavyzdžiai:

Eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės funkcijos čia neįtrauktos. Išvestinės taisyklės, kurias matysime toliau, galioja visoms funkcijoms, tačiau mes apsiribosime ir pritaikysime jas algebrinių funkcijų atveju.

Apėjimo taisyklės

Konstantos darinys

Teigia, kad konstantos išvestinė lygi nuliui. Tai yra, jei f (x) = c, tada f '(x) = 0. Pavyzdžiui, pastoviosios funkcijos 2 išvestinė lygi 0.

Galios išvestinė

Jei f (x) = x ⁿ , tada f '(x) = nx ^n-1 . Pvz., X ³ darinys yra 3x ² . Dėl to gauname, kad tapatumo funkcijos f (x) = x darinys yra f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Kitas pavyzdys yra toks: tegul f (x) = 1 / x ² , tada f (x) = x ^-2 ir f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Ši savybė taip pat turi galiojančias šaknis, nes šaknys yra racionalios galios, ir aukščiau išdėstytos gali būti pritaikytos ir tuo atveju. Pvz., Kvadratinės šaknies darinys pateiktas

Sudėjimo ir atimties darinys

Jei f ir g yra diferencijuojamos funkcijos x, tada f + g suma taip pat yra diferencijuojama ir įsitikinama, kad (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Panašiai mes turime tai (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Kitaip tariant, sumos (atimties) išvestinė yra išvestinių sumų (arba atimties) suma.

Pavyzdys

Jei h (x) = x ² + x-1, tada

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Gautas iš produkto

Jei f ir g yra diferencijuojamos funkcijos x, tada sandauga fg taip pat yra diferencijuojama x ir yra tiesa, kad

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Dėl to išplaukia, kad jei c yra konstanta, o f yra diferencijuojama funkcija x, tada cf taip pat yra diferencijuojama x ir (cf) '(x) = cf' (X).

Pavyzdys

Jei f (x) = 3x (x ² +1), tada

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Iš koeficiento išvestinė

Jei f ir g yra diferencijuojami ties x ir g (x) ≠ 0, tada f / g taip pat yra diferencijuojami ties x, ir tiesa, kad

Pavyzdys: jei h (x) = x ³ / (x ² -5x), tada

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Grandinės taisyklė

Ši taisyklė leidžia nustatyti funkcijų sudėtį. Nurodykite taip: jei y = f (u) yra diferencijuojamas ties u, yu = g (x) diferencijuojamas ties x, tada sudėtinė funkcija f (g (x)) diferencijuojama ties x, ir tiesa, kad '= f '(g (x)) g' (x).

T. y., Sudėtinės funkcijos darinys yra išorinės funkcijos (išorinio darinio) darinio ir vidinės funkcijos (vidinio darinio) darinys.

Pavyzdys

Jei f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , tada

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Taip pat yra rezultatų atvirkštinės funkcijos išvestinių skaičiavimo rezultatų, taip pat apibendrinant aukštesnės eilės darinius. Programos yra plačios. Tarp jų išsiskiria jo naudingumas optimizavimo problemose bei maksimalios ir minimalios funkcijos.

Nuorodos

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencialinis skaičiavimas. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Skaičiavimas 4000. Redakcinis „Progreso“.
3. Castaño, HF (2005). Matematika prieš skaičiavimą. Medellino universitetas.
4. Eduardo, NA (2003). Įvadas į skaičiavimą. „Slenksčio“ leidimai.
5. Fuentesas, A. (2016). PAGRINDINĖ MATEMA. Įvadas į skaičiavimą. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE ir Varberg, DE (2007). Skaičiavimas. „Pearson Education“.
7. Saenz, J. (2005). Diferencialinis skaičiavimas (antrasis leidimas). Barquisimeto: hipotenuzė.
8. Thomas, GB ir Weir, MD (2006). Skaičiavimas: keli kintamieji. „Pearson Education“.