NETIESIOGINIAI DARINIAI: KAIP JIE SPRENDŽIAMI IR KAIP SPRENDŽIAMI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Kad netiesioginės dariniai yra įrankiai, naudojami į diferencijavimo technika taikoma funkcijų. Jie taikomi tada, kai pagal įprastus metodus neįmanoma išspręsti priklausomo kintamojo. Šis klirensas atliekamas kaip nepriklausomo kintamojo funkcija.

Pavyzdžiui, išraiškai 3xy ³ - 2y + xy ² = xy negalima išraiškos, apibrėžiančios „y“ kaip „x“ funkciją. Taigi gaunant diferencialinę išraišką dy / dx.

Kaip sprendžiami netiesioginiai dariniai?

Norėdami išspręsti netiesioginį darinį, mes pradedame nuo netiesioginės išraiškos. Pavyzdžiui: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Tai jau buvo išspręsta teisingai, tačiau tai nėra būtina sąlyga norint gauti y darinį x atžvilgiu. Tada kiekvienas iš elementų yra išvedamas atsižvelgiant į mišrių funkcijų grandinės taisyklę:

3xy ³ sudaro 2 kintamieji, todėl d (3xy ³ ) bus laikomas funkcijų sandaugos dariniu.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Kur elementas y 'yra žinomas kaip „y prime“ ir žymi dy / dx

-2y Jis išvedamas pagal įstatymą KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² taria kitą diferencialą, kurį sudaro funkcijų sandauga

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-ksi yra traktuojamas homologiškai

d (-ksi) = -y - x y '

Jie yra pakeičiami lygybe, žinant, kad nulio darinys lygus nuliui.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementai, turintys žodį y ', yra sugrupuoti vienoje lygybės pusėje

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Bendrasis faktorius y 'yra išgaunamas iš dešinės lygybės pusės

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Galiausiai išvalomas terminas, padauginantis iš y. Taigi gaunant išraišką, atitinkančią netiesioginį y darinį x atžvilgiu.

Y '= DY / DX = (3y ³ + y ² - Y) / (- 9xy ² + x + 2)

Grandinės taisyklė

Netiesioginiame darinyje visada laikomasi grandinės taisyklės. Visos diferencialinės išraiškos bus pateikiamos kaip nepriklausomo kintamojo X funkcija. Taigi kiekvienas kintamasis θ, išskyrus X, turi būti išvestas terminas dθ / dx.

Šis terminas pasirodys tik pirmuoju laipsniu arba su eksponentu, lygiu 1. Ši kokybė leidžia visiškai aiškiai suprasti tradicinius faktoringo metodus. Taigi galima gauti išraišką, apibrėžiančią diferencialą dθ / dx.

Grandinės taisyklė parodo laipsnišką diferenciacijos ar išvestinio proceso pobūdį. Kiekvienai junginei f funkcijai f bus diferencinė išraiška

Operacijų tvarka

Kiekvienoje taikomoje išvesties formulėje ar dėsnyje reikia atsižvelgti į kintamųjų tvarką. Laikomasi kriterijų, susijusių su nepriklausomu kintamuoju, nekeičiant jo koreliacijos su priklausomu kintamuoju.

Priklausomo kintamojo santykis išvesties metu imamas tiesiogiai; Išskyrus tai, kad tai bus laikoma antra funkcija, todėl mišrioms funkcijoms taikomas grandinės taisyklės kriterijus.

Tai galima sukurti išraiškomis, turinčiomis daugiau nei 2 kintamuosius. Pagal tuos pačius principus bus žymimi visi diferencialai, susiję su priklausomais kintamaisiais.

Grafiškai tvarkomas tas pats kriterijus, kuris apibrėžia išvestinę. Nors išvestinis yra liestinės liestinės ir kreivės plokštumos nuolydis plokštumoje, likusieji diferencialai, priklausantys priklausomiems kintamiesiems (dy / dx, dz / dx), vaizduoja vektorius, liečiančius daugelio kintamųjų funkcijas, plokštumas.

Numanomas

Funkcija yra sakoma, kad būti netiesiogiai apibrėžta, jei išraiška Y = f (x) gali būti atstovaujama taip, kaip išsėtinės kintamojo funkcija F (x, y) = 0, kaip ilgai, kaip F apibrėžta R ² plokštumoje .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy gali būti parašyta forma 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Atsižvelgiant į tai, kad funkcijos y = f (x) neįmanoma aiškiai apibrėžti.

Istorija

Diferencinį skaičiavimą įvairūs matematikos tyrinėtojai pradėjo vadinti maždaug XVII a. Pirmą kartą tai buvo paminėta per Niutono ir Leibnizo indėlius. Abu vertino diferencinį skaičiavimą skirtingais požiūriais, tačiau jų rezultatai buvo panašūs.

Nors Niutonas daugiausia dėmesio skyrė diferenciacijai kaip pokyčio greičiui ar greičiui, Leibnizo požiūris buvo labiau geometrinis. Galima sakyti, kad Niutonas užpuolė prielaidas, kurias paliko Apolonijus iš Pergės ir Leibnizas, kad būtų matomos Fermato idėjos.

Netiesioginis darinys iš karto atsiranda, kai atsižvelgiama į diferencialinę ir integraliąją lygtis. Jie išplėtė Leibnizo geometrinę koncepciją iki R ³ ir net daugiamatėse erdvėse.

Programos

Netiesioginiai dariniai naudojami įvairiose situacijose. Jie būdingi susijusių kintamųjų valiutų kurso problemoms, kai, atsižvelgiant į tyrimo pobūdį, kintamieji bus laikomi priklausomais ar nepriklausomais.

Jie taip pat turi įdomių geometrinių pritaikymų, pavyzdžiui, atspindžio ar šešėlių problemų, ant figūrų, kurių formą galima matematiškai modeliuoti.

Jie dažnai naudojami ekonomikos ir inžinerijos srityse, taip pat atliekant įvairius gamtos reiškinių ir eksperimentinių pastatų tyrimus.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Apibrėžkite numanomą išraišką, apibrėžiančią dy / dx

Kiekvienas išraiškos elementas yra diferencijuotas

Grandinės taisyklės nustatymas kiekvienu kompetentingu atveju

Grupuojami vienoje lygybės pusėje elementai, turintys dy / dx

Jis apskaičiuojamas naudojant bendrą veiksnį

Tai išspręsta gaunant ieškomą išraišką

2 pratimas

Apibrėžkite numanomą išraišką, apibrėžiančią dy / dx

Išrašant darinius, kuriuos reikia atlikti

Netiesioginis išvedimas pagal grandinės taisyklę

Faktoringas bendrieji elementai

Sugrupuotas terminas dy / dx vienoje lygybės pusėje

Bendras diferencialo elemento faktorius

Mes išskiriame ir gauname norimą išraišką

Nuorodos

1. Vieno kintamojo apskaičiavimas. Ronas Larsonas, Bruce'as H. Edwardsas. „Cengage“ mokymasis, lapkričio 10 d 2008 metai
2. Netiesioginė funkcijos teorema: istorija, teorija ir programos. Stevenas G. Krantzas, Haroldas R. Parksas. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, lapkričio 9 d. 2012 metai
3. Kelių kintamųjų analizė. „Satish Shirali“, „Harkrishan Lal Vasudeva“. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, gruodžio 13 d. 2010 metai
4. Sistemos dinamika: mechatroninių sistemų modeliavimas, modeliavimas ir valdymas. Dekanas C. Karnoppas, Donaldas L. Margolis, Ronaldas C. Rosenbergas. Johnas Wiley ir sūnūs, kovo 7 d 2012 metai
5. Kalkulis: matematika ir modeliavimas. Williamas Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rickas Vitray. Adisonas Wesley Longmanas, sausio 1 d 1999 metai