DALINIAI DARINIAI: ŽYMĖJIMAS, PAVYZDŽIAI IR IŠSPRĘSTI UŽDAVINIAI - MATEMATIKA - 2025

Į daliniai dariniai iš kelių kintamųjų funkcijos yra tie, kurie nustatyti iš pareigų, kai vienas iš kintamųjų turi an galo mažą variacijos pokyčio dydį, o kiti kintamieji nesikeičia.

Kad idėja būtų konkretesnė, tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija yra: z = f (x, y). Dalinis funkcijos f išvestinis kintamojo x atžvilgiu apskaičiuojamas kaip įprastas išvestinis x atžvilgiu, tačiau kintamasis y laikomas lyg pastovus.

1 pav. Funkcija f (x, y) ir jos daliniai dariniai ∂ _x f y ∂ _y f taške P. (Parengė R. Pérez su geogebra)

Dalinis išvestinės žymėjimas

Dalinis išvestinis funkcijos f (x, y) veikimas kintamuoju x žymimas vienu iš šių būdų:

Daliniuose dariniuose naudojamas simbolis ∂ (tam tikra suapvalinta raidė d, taip pat vadinama Jacobi's d), priešingai nei įprastas darinys vieno kintamojo funkcijoms, kai d raidė naudojama dariniui.

Apskritai, dalinis daugiamatės funkcijos darinys, atsižvelgiant į vieną iš jo kintamųjų, sukuria naują funkciją tais pačiais pirminės funkcijos kintamaisiais:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Dalinio darinio apskaičiavimas ir reikšmė

Norėdami nustatyti tam tikro taško (x = a, y = b) funkcijos pokyčio greitį arba nuolydį lygiagrečiai X ašiai:

1- Skaičiuojama funkcija ∂ _x f (x, y) = g (x, y), paimant paprastąjį išvestinį iš kintamojo x ir paliekant kintamąjį y pastoviu ar pastoviu.

2 - Tada pakeičiama taško x = a ir y = b reikšmė, kuria norime žinoti funkcijos kitimo x kryptimi greitį:

{Nuolydis x kryptimi taške (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3 - Norėdami apskaičiuoti y krypties pokyčio greitį koordinačių taške (a, b), pirmiausia apskaičiuokite ∂ _ir f (x, y) = h (x, y).

4- Tada taškas (x = a, y = b) pakeičiamas ankstesniu rezultatu, norint gauti:

{Nuolydis y kryptimi taške (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Dalinių darinių pavyzdžiai

Keli dalinių darinių pavyzdžiai yra šie:

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į funkciją:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Raskite dalinius funkcijos f išvestinius kintamojo x ir k atžvilgiu.

Sprendimas:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Atkreipkite dėmesį, kad norint apskaičiuoti dalinį funkcijos f išvestinį kintamojo x atžvilgiu, buvo atliktas paprastasis išvestinis x atžvilgiu, tačiau kintamasis y imtas taip, lyg jis būtų pastovus. Panašiai, apskaičiuojant dalinį f darinį f y atžvilgiu, kintamasis x buvo imtasi tarsi konstanta.

Funkcija f (x, y) yra ochros spalvos paviršius, vadinamas paraboloidu, parodytu 1 paveiksle.

2 pavyzdys

Iš 1 pavyzdžio suraskite funkcijos f (x, y) kitimo greitį (arba nuolydį) X ašies ir Y ašies kryptimi taškui (x = 1, y = 2).

Sprendimas: Norėdami rasti nuolydžius x ir y kryptimis nurodytame taške, paprasčiausiai pakeiskite taško reikšmes į funkciją ∂ _x f (x, y) ir į funkciją ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _ir f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

1 paveiksle pavaizduota kreivės liestinės linija (raudonos spalvos), kurią nustato funkcijos f (x, y) susikirtimas su plokštuma y = 2, šios linijos nuolydis yra -2. 1 paveiksle taip pat parodyta kreivės, rodančios funkcijos f susikirtimą su plokštuma x = 1, liestinės linija (žalia spalva); Šios linijos nuolydis –4.

Pratimai

1 pratimas

Kūginėje stiklinėje tam tikru metu yra vandens tiek, kad vandens paviršiaus spindulys r ir gylis h. Bet stiklo dugne yra maža skylė, per kurią prarandamas vanduo C kubinių centimetrų per sekundę greičiu. Nustatykite nusileidimo nuo vandens paviršiaus greitį centimetrais per sekundę.

Sprendimas:

Visų pirma, reikia atsiminti, kad nurodytu momentu vandens tūris yra:

Tūris yra dviejų kintamųjų, spindulio r ir gylio h, funkcija: V (r, h).

Kai tūris keičiasi begaliniu dydžiu dV, vandens paviršiaus spindulys r ir vandens gylis h taip pat keičiasi pagal šį santykį:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Mes skaičiuojame dalinius V darinius atitinkamai r ir h atžvilgiu:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Be to, spindulys r ir gylis h atitinka šį santykį:

Abiejų narių padalijimas iš laiko skirtumo dt suteikia:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Bet dV / dt yra prarasto vandens tūris per laiko vienetą, kuris yra žinomas kaip C centimetrai per sekundę, o dh / dt yra laisvojo vandens paviršiaus nusileidimo greitis, kuris bus vadinamas v. T. y., Tam tikru momentu vandens paviršius nusileidžia greičiu v (cm / s), kurį apskaičiuoja:

v = C / (π r ^ 2).

Tarkime, kad r = 3 cm, h = 4 cm, o nuotėkio laipsnis C yra 3 cm ^ 3 / s. Tada paviršiaus nusileidimo greitis tą akimirką yra:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

2 pratimas

Clairaut-Schwarz teorema teigia, kad jei funkcija yra nepertraukiama nepriklausomų kintamųjų atžvilgiu, o jos daliniai dariniai nepriklausomų kintamųjų atžvilgiu taip pat yra nepertraukiami, tada antrosios eilės mišrūs dariniai gali būti keičiami. Patikrinkite šią funkcijos teoremą

f (x, y) = x ^ 2 y, tai yra, turi būti tiesa, kad f _xy f = ∂ _yx f.

Sprendimas:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), o ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Įrodyta, kad Schwarzo teorema tebėra, nes funkcija f ir jos daliniai dariniai yra ištisiniai visiems realiesiems skaičiams.

Nuorodos

1. Frankas Ayresas, J., ir Mendelsonas, E. (2000). Skaičiavimas 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Skaičiavimas naudojant analitinę geometriją. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
4. Saenz, J. (2005). Diferencialinis skaičiavimas. Hipotenuzė.
5. Saenz, J. (2006). Integruotasis skaičiavimas. Hipotenuzė.
6. Vikipedija. Dalinis darinys. Atkurta iš: es.wikipedia.com