KUBŲ SKIRTUMAS: FORMULĖS, LYGTYS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Iš kubeliais skirtumas yra dvinaris algebrinė išraiška suformuoja ³ - B ³ , kur terminai A ir B gali būti realieji skaičiai ar algebrinės išraiškos įvairių tipų. Kubų skirtumo pavyzdys yra: 8 - x ³ , nes 8 galima parašyti kaip 2 ³ .

Geometriškai galime galvoti apie didelį kubą, kurio kraštinė a, iš kurio atimamas mažas kubas su puse b, kaip parodyta 1 paveiksle:

1 paveikslas. Kubų skirtumas. Šaltinis: F. Zapata.

Gauto paveikslo tūris tiksliai skiriasi kubeliais:

V = a ³ - b ³

Norint rasti alternatyvią išraišką, pastebima, kad šį paveikslą galima suskaidyti į tris prizmes, kaip parodyta žemiau:

2 pav. Kubų skirtumas (kairėje lygybė) yra lygus dalinių tūrių sumai (dešinėje). Šaltinis: F. Zapata.

Prizmės tūris, kurį sukuria sandauga, yra trijų matmenų: plotis x aukštis x gylis. Tokiu būdu gaunamas tūris:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

B faktorius yra bendras dešinėje. Be to, aukščiau pateiktame paveikslėlyje ypač tiesa, kad:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Todėl galima sakyti, kad: b = a - b. Taigi:

Šis būdas išreikšti kubelių skirtumą pasirodys esąs labai naudingas daugelyje programų. Jis būtų gautas tuo pačiu būdu, net jei trūkstamo kubo pusė kampe būtų kitokia nei b = a / 2.

Atminkite, kad antrieji skliaustai labai primena pastebimą sumos kvadrato sandaugą, tačiau kryžminis terminas nepadauginamas iš 2. Skaitytojas gali išplėsti dešinę pusę, kad patikrintų, ar iš tikrųjų gautas ³ - b ³ .

Pavyzdžiai

Yra keli kubelių skirtumai:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² ir ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Panagrinėkime kiekvieną iš jų. Pirmajame pavyzdyje 1 gali būti parašytas kaip 1 = 1 ^3, o terminas m ⁶ tampa: (m ² ) ³ . Abu terminai yra tobuli kubai, todėl jų skirtumas yra:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

Antrame pavyzdyje žodžiai perrašomi:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Šių kubelių skirtumas yra: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Galiausiai frakcija (1/125) yra (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, o y ⁹ = (y ³ ) ³ . Pakeisdami visa tai originalia išraiška, gausite:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Faktorizuojant skirtumą kubeliais

Faktorizuodami skirtumą tarp kubų, supaprastėja daugelis algebrinių operacijų. Norėdami tai padaryti, tiesiog naudokite aukščiau išvestą formulę:

3 pav. Kubių skirtumo faktorizavimas ir žymaus koeficiento išraiška. Šaltinis: F. Zapata.

Dabar šios formulės taikymo procedūra susideda iš trijų etapų:

- Visų pirma gaunama kiekvieno skirtumo termino kubo šaknis.

- Tada sukonstruojamas dvinaris ir trinomialusis, kurie atsiranda formulės dešinėje.

- Galiausiai, norint gauti galutinę faktorizaciją, keičiama dvinarė ir trinominė.

Pateiksime šių žingsnių naudojimą su kiekvienu iš aukščiau pasiūlytų kubo skirtumų pavyzdžių ir gaukite jo faktinį ekvivalentą.

1 pavyzdys

Faktorius išraiška 1 - m ⁶ atlikdamas aprašytus veiksmus. Mes pradedame perrašydami išraišką taip: 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, kad išgautume atitinkamas kiekvieno termino kubo šaknis:

Toliau konstruojamas dvinaris ir trinominis:

a = 1

b = m ²

Taigi:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Galiausiai jis pakeičiamas formulėje a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

2 pavyzdys

Faktorizuoti:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Kadangi tai yra tobuli kubai, kubo šaknys yra iškart: a ² b ir 2z ⁴ ir ² , taigi darytina išvada, kad:

- „Binomial“: a ² b - 2z ⁴ ir ²

- Trejybė: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Dabar sukurta norima faktorizacija:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Faktoringas iš principo yra paruoštas, tačiau dažnai reikia supaprastinti kiekvieną terminą. Tada sukuriamas puikus produktas - kosmoso suma -, kuris pasirodo pabaigoje, tada pridedami panašūs terminai. Prisimenant, kad sumos kvadratas yra:

Žymus produktas dešinėje yra sukurtas taip:

(a ² b + 2z ⁴ ir ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ ir ² + 4z ⁸ ir ⁴

Padarius gautą išplėtimą, faktorizuojant kubų skirtumą:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Galiausiai, sugrupuodami panašius terminus ir faktoriaudami skaitinius koeficientus, kurie visi yra lygūs, gauname:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

3 pavyzdys

Faktoringas (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ yra daug lengvesnis nei ankstesnis atvejis. Pirmiausia nustatomi a ir b atitikmenys:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Tada jie tiesiogiai pakeičiami formule:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Pratimas išspręstas

Kubų skirtumas turi, kaip minėjome, Algebroje daugybę pritaikymų. Pažiūrėkime keletą:

1 pratimas

Išspręskite šias lygtis:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Sprendimas

Pirmiausia lygtis apskaičiuojama tokiu būdu:

x ² (x ³ - 125) = 0

Kadangi 125 yra tobulas kubas, skliaustuose parašyta kaip kubelių skirtumas:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Pirmasis sprendimas yra x = 0, bet mes randame daugiau, jei sudarome x ³ - 5 ³ = 0, tada:

x ³ = 5 ³ → x = 5

B sprendimas

Kairioji lygties pusė perrašoma taip: 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Taigi:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Kadangi eksponentas yra tas pats:

9x = 4 → x = 9/4

2 pratimas

Veiksnys išraiška:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Sprendimas

Ši išraiška yra kubų skirtumas, jei faktoringo formulėje pažymime, kad:

a = x + y

b = x- y

Tada pirmiausia konstruojamas dvinaris:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

O dabar trinomija:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Kuriami svarbūs produktai:

Kitas turite pakeisti ir sumažinti panašius terminus:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoringo rezultatai:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3 x ² ir y ² )

Nuorodos

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Redakcija „Cultural Venezolana SA“
2. CK-12 fondas. Kubų suma ir skirtumas. Atkurta iš: ck12.org.
3. Khano akademija. Kubų skirtumų faktorizavimas. Atkurta iš: es.khanacademy.org.
4. Matematika yra „Advanced Advanced“. Dviejų kubelių skirtumas. Atkurta iš: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktorizuojant skirtumą kubeliais. Atkurta iš: dcb.fi-c.unam.mx.