- Formulė
- Dviejų matmenų Euklido atstumas
- Ne Euklidiniai paviršiai
- Euklido atstumas n matmenimis
- Kaip apskaičiuoti Euklido atstumą
- Pavyzdys
- Nuorodos
Euklido atstumas yra teigiamas skaičius, nurodantis ryšį tarp dviejų taškų atskyrimo erdvėje, kur aksiomos ir teoremos Euklido geometrijos yra įvykdytos.
Atstumas tarp dviejų taškų A ir B Euklido erdvėje yra vektoriaus AB ilgis, priklausantis vieninteliai tiesei, einančiai per šiuos taškus.
Figūra 1 . Vienmatė Euklido erdvė, kurią sudaro linija (OX). Keli taškai yra pavaizduoti minėtoje erdvėje, jų koordinatės ir atstumai. (Parengė Ricardo Pérez).
Erdvė, kurią žmonės suvokia ir kur mes judame, yra trimatė (3-D) erdvė, kurioje įvykdytos Euklido geometrijos aksiomos ir teoremos. Šioje erdvėje yra dvimatiai daliniai daliniai plotai (plokštumos) ir vieno matmens poriniai daliniai elementai (linijos).
Euklido erdvės gali būti vienmatės (1-D), dvimatės (2-D), trimatės (3-D) arba n-dimensinės (nD).
Taškai vienmatėje erdvėje X yra tie, kurie priklauso orientuotai linijai (OX), kryptis nuo O iki X yra teigiama. Norėdami nustatyti šios linijos taškus, naudojama Dekarto sistema, kurią sudaro skaičius kiekvienam linijos taškui.
Formulė
Euklidinis atstumas d (A, B) tarp taškų A ir B, esančių linijoje, yra apibrėžiamas kaip jų X koordinatių skirtumų kvadrato šaknis:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Šis apibrėžimas garantuoja, kad: atstumas tarp dviejų taškų visada yra teigiamas. Ir kad atstumas tarp A ir B yra lygus atstumui tarp B ir A.
1 paveiksle pavaizduota vienos dimensijos Euklido erdvė, kurią sudaro linija (OX) ir keli šios linijos taškai. Kiekvienas taškas turi koordinatę:
Taško A koordinatė XA = 2,5, taško B koordinatė XB = 4 ir taško C koordinatė XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Dviejų matmenų Euklido atstumas
Dviejų matmenų Euklido erdvė yra plokštuma. Euklidinės plokštumos taškai įvykdo Euklido geometrijos aksiomas, pavyzdžiui:
- Viena linija eina per du taškus.
- Trys plokštumos taškai sudaro trikampį, kurio vidiniai kampai visada sudaro iki 180º.
- Stačiakampyje trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus jos kojų kvadratų sumai.
Dviejų matmenų taškas turi X ir Y koordinates.
Pavyzdžiui, taškas P turi koordinates (XP, YP) ir taško Q koordinates (XQ, YQ).
Euklido atstumas tarp taško P ir Q apibrėžiamas pagal šią formulę:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Pažymėtina, kad ši formulė yra lygi Pitagoro teoremai, kaip parodyta 2 paveiksle.
2 paveikslas. Atstumas tarp dviejų taškų P ir Q plokštumoje atitinka Pitagoro teoremą. (Parengė Ricardo Pérez).
Ne Euklidiniai paviršiai
Ne visos dvimatės erdvės atitinka Euklido geometriją. Sferos paviršius yra dvimatė erdvė.
Trikampio kampai rutuliniame paviršiuje neprilygsta 180º ir su tuo Pitagoro teorema nėra įvykdyta, todėl sferinis paviršius neatitinka Euklido aksiomų.
Euklido atstumas n matmenimis
Koordinačių sąvoka gali būti išplėsta į didesnius matmenis:
- 2-taške P taškas turi koordinates (XP, YP)
- 3D formate taškas Q turi koordinates (XQ, YQ, ZQ)
- 4-D taške R bus koordinatės (XR, YR, ZR, WR)
- ND taške P bus koordinatės (P1, P2, P3,… .., Pn)
Atstumas tarp n-matmens Euklido erdvės dviejų taškų P ir Q apskaičiuojamas pagal šią formulę:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Visų taškų Q vieta n-matmens Euklido erdvėje, esanti tolygiai nuo kito fiksuoto taško P (centro), sudaro n-matmens hipersferą.
Kaip apskaičiuoti Euklido atstumą
Toliau parodyta, kaip apskaičiuojamas atstumas tarp dviejų taškų, esančių Euklido trimatėje erdvėje.
Tarkime, kad Dekarto koordinatės x, y, z yra A :(( 2, 3, 1), ir taškų B taškas B :( -3, 2, 2).
Norime nustatyti atstumą tarp šių taškų, kuriems naudojamas bendras santykis:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Pavyzdys
Yra du taškai P ir Q. Dekarto koordinatės x, y, z taškų P taškas P :( 2, 3, 1) ir koordinačių Q taškas Q :( -3, 2, 1).
Prašoma surasti segmentą, jungiantį du taškus, vidurio taško M koordinates.
Manoma, kad nežinomas taškas M turi koordinates (X, Y, Z).
Kadangi M yra vidurio taškas, turi būti teisinga, kad d (P, M) = d (Q, M), taigi d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 taip pat turi būti teisingi:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Kaip ir šiuo atveju, trečiasis terminas yra lygus abiem narėms, ankstesnį posakį supaprastinti iki:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Tada turime lygtį su dviem nežinomaisiais X ir Y. Problemai išspręsti reikalinga dar viena lygtis.
Taškas M priklauso linijai, einančiai per taškus P ir Q, kurią galime apskaičiuoti taip:
Pirmiausia randame tiesės vektorių PQ : PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Tada PM = OP + a PQ , kur OP yra taško P padėties vektorius ir yra parametras, priklausantis realiesiems skaičiams.
Aukščiau pateikta lygtis yra žinoma kaip linijos vektoriaus lygtis, kuri Dekarto koordinatėmis įgauna tokią formą:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Lyginant atitinkamus komponentus, kuriuos turime:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Tai yra, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, pagaliau Z = 1.
Jis yra pakeistas kvadratine išraiška, siejančia X su Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Tai supaprastinta:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Dabar atsiskleidžia:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Tai supaprastinta, panaikinant panašius terminus abiem narėms:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametras a yra išvalytas:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, gaunant a = 1.
Tai yra, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, pagaliau Z = 1.
Galiausiai gauname dekarto centro taško M taško koordinates:
M: (-1, 5, 1).
Nuorodos
- Lehmann C. (1972) analitinė geometrija. UTEHA.
- Superprofilis. Atstumas tarp dviejų taškų. Atgauta iš: superprof.es
- UNAM. Atstumas tarp afininių sublinarinių kolektorių. Atkurta iš: prometeo.matem.unam.mx/
- Vikipedija. Euklido atstumas. Atkurta iš: es.wikipedia.com
- Vikipedija. Euklido erdvė. Atkurta iš: es.wikipedia.com