- Formulė
- Normaliojo pasiskirstymo charakteristikos
- Pasitikėjimo intervalai
- Normaliojo paskirstymo programos
- Pavyzdys
- Pratimas išspręstas
- Nuorodos
Normalus paskirstymo arba Gauso pasiskirstymas yra tikimybė, distribucija tolydžiai kintamu, kurioje tikimybė tankio funkcija yra aprašyta eksponentin funkcija kvadratin ir neigiamo argumentas, kurio pagrindu varpo formos.
Normaliojo paskirstymo pavadinimas kilęs iš to, kad šis paskirstymas taikomas daugiausiai atvejų, kai tam tikroje grupėje ar populiacijoje yra koks nors nuolatinis atsitiktinis kintamasis.
1 paveikslas. Normalusis pasiskirstymas N (x; μ, σ) ir jo tikimybės tankis f (s; μ, σ). (Savo parengimas)
Normalaus pasiskirstymo pavyzdžiai yra šie: vyrų ar moterų ūgis, tam tikro fizinio dydžio dydžio pokyčiai ar išmatuojami psichologiniai ar sociologiniai bruožai, tokie kaip intelekto koeficientas ar tam tikro produkto vartojimo įpročiai.
Kita vertus, jis vadinamas Gauso paskirstymu arba Gauso varpu, nes būtent šis vokiečių matematikos genijus yra įskaitytas už atradimą, kurį jis panaudojo aprašydamas astronominių matavimų statistinę paklaidą 1800 metais.
Tačiau teigiama, kad šį statistinį pasiskirstymą anksčiau 1733 m. Paskelbė kitas puikus prancūzų kilmės matematikas, pavyzdžiui, Abraomas de Moivre'as.
Formulė
Normalioji pasiskirstymo funkcija ištisiniame kintamajame x su parametrais μ ir σ žymima:
N (x; μ, σ)
ir aiškiai parašyta taip:
N (x; μ, σ) = ∫ -∞ x f (s; μ, σ) ds
kur f (u; μ, σ) yra tikimybės tankio funkcija:
f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s 2 / (2σ 2 ))
Konstanta, kuri daugina eksponentinę funkciją tikimybės tankio funkcijoje, vadinama normalizacijos konstanta, ir ji buvo parinkta taip, kad:
N (+ ∞, μ, σ) = 1
Ankstesnė išraiška užtikrina, kad tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis x yra tarp –∞ ir + ∞, yra 1, tai yra 100% tikimybė.
Parametras μ yra ištisinio atsitiktinio kintamojo x aritmetinis vidurkis, o σ - to paties kintamojo standartinis nuokrypis arba kvadratinė šakninė dispersija. Tuo atveju, kai μ = 0 ir σ = 1, tada turime standartinį normalųjį pasiskirstymą arba tipinį normalųjį pasiskirstymą:
N (x; μ = 0, σ = 1)
Normaliojo pasiskirstymo charakteristikos
1- Jei atsitiktinis statistinis kintamasis seka normalų tikimybės tankio f (s; μ, σ) pasiskirstymą, didžioji dalis duomenų yra suskirstyta į vidurkį μ ir yra išsibarstę aplink jį taip, kad šiek tiek daugiau nei ⅔ duomenų yra tarp μ - σ ir μ + σ.
2 - standartinis nuokrypis σ visada yra teigiamas.
3 - tankio funkcijos f forma yra panaši į varpo formą, todėl ši funkcija dažnai vadinama Gauso varpeliu arba Gauso funkcija.
4- Gauso pasiskirstyme vidurkis, mediana ir režimas sutampa.
5- Tikimybės tankio funkcijos įlinkio taškai yra tiksliai ties μ - σ ir μ + σ.
6- Funkcija f yra simetriška ašies, kertančios jos vidurkį μ, atžvilgiu ir asimptotiškai lygi nuliui x ⟶ + ∞ ir x ⟶ -∞.
7- Kuo didesnė σ reikšmė, tuo didesnė duomenų sklaida, triukšmas ar atstumas aplink vidurkį. Kitaip tariant, kuo didesnė σ, tuo varpo forma yra atviresnė. Kita vertus, σ mažas rodo, kad kauliukai yra arti vidurkio, o varpo forma yra uždaresnė ar smailėjanti.
8- Pasiskirstymo funkcija N (x; μ, σ) rodo tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis yra mažesnis arba lygus x. Pavyzdžiui, 1 paveiksle (aukščiau) tikimybė P, kad kintamasis x yra mažesnis arba lygus 1,5, yra 84% ir atitinka plotą, esantį pagal tikimybės tankio funkciją f (x; μ, σ) nuo -∞ iki x.
Pasitikėjimo intervalai
9 - Jei duomenys pasiskirsto normaliai, tada 68,26% jų yra tarp μ - σ ir μ + σ.
10–95,44% duomenų, gaunamų po normalaus pasiskirstymo, yra tarp μ – 2σ ir μ + 2σ.
11–99,74% duomenų, gaunamų po normalaus pasiskirstymo, yra tarp μ – 3σ ir μ + 3σ.
12 - Jei atsitiktinis kintamasis x seka pasiskirstymą N (x; μ, σ), tada kintamasis
z = (x - μ) / σ atitinka normalųjį normalųjį pasiskirstymą N (z; 0,1).
Kintamojo x keitimas į z yra vadinamas standartizavimu arba įvedimu ir yra labai naudingas, kai standartinio paskirstymo lenteles pritaikome duomenims, kurie seka nestandartinį normalųjį paskirstymą.
Normaliojo paskirstymo programos
Norint pritaikyti normalųjį pasiskirstymą, reikia atlikti tikimybės tankio integralo apskaičiavimą, kuris analitiniu požiūriu nėra lengvas ir ne visada yra kompiuterio programa, leidžianti ją apskaičiuoti skaitmeniniu būdu. Šiuo tikslu naudojamos normalizuotų ar standartizuotų verčių lentelės, kurios yra ne daugiau kaip normalusis pasiskirstymas, kai μ = 0 ir σ = 1.
Standartizuota normaliojo paskirstymo lentelė (1/2 dalis)
Standartizuota normaliojo paskirstymo lentelė (2/2 dalis)
Reikėtų pažymėti, kad šiose lentelėse nėra neigiamų verčių. Tačiau, naudojant Gauso tikimybės tankio funkcijos simetrijos savybes, galima gauti atitinkamas reikšmes. Toliau parodytas išspręstas pratimas rodo lentelės naudojimą šiais atvejais.
Pavyzdys
Tarkime, kad turite atsitiktinių duomenų x rinkinį, kuris seka normalų vidurkio 10 pasiskirstymą ir standartinį nuokrypį 2. Jūsų bus paprašyta surasti tikimybę, kad:
a) Atsitiktinis kintamasis x yra mažesnis arba lygus 8.
b) yra mažesnis arba lygus 10.
c) kad kintamasis x yra mažesnis nei 12.
d) tikimybė, kad x reikšmė yra nuo 8 iki 12.
Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, turite tiesiog apskaičiuoti:
N (x; μ, σ)
Kai x = 8, μ = 10 ir σ = 2. Mes suprantame, kad tai yra integralas, kuris neturi analitinio sprendimo elementinėse funkcijose, tačiau sprendimas išreiškiamas kaip klaidos funkcijos erf (x) funkcija.
Kita vertus, yra galimybė integralą išspręsti skaitine forma - tai daro daugelis skaičiuotuvų, skaičiuoklių ir kompiuterinių programų, tokių kaip „GeoGebra“. Šis paveikslėlis parodo skaitinį sprendimą, atitinkantį pirmąjį atvejį:
2 paveikslas. Tikimybės tankis f (x; μ, σ). Užtemdytas plotas žymi P (x ≤ 8). (Savo parengimas)
ir atsakymas yra toks, kad x tikimybė yra mažesnė už 8:
P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587
b) Šiuo atveju mes bandome rasti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis x yra mažesnis už vidurkį, kuris šiuo atveju yra vertas 10. Atsakymo nereikia skaičiuoti, nes mes žinome, kad pusė duomenų yra žemiau vidutinis, o kita pusė didesnė nei vidutinė. Todėl atsakymas yra toks:
P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5
c) Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime apskaičiuoti N (x = 12; μ = 10, σ = 2). Tai galima padaryti naudojant skaičiuoklę, turinčią statistines funkcijas, arba naudojant tokią programinę įrangą kaip GeoGebra:
3 paveikslas. Tikimybės tankis f (x; μ, σ). Užtemdytas plotas žymi P (x ≤ 12). (Savo parengimas)
Atsakymas į c dalį pateiktas 3 paveiksle ir yra toks:
P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.
d) Norėdami rasti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis x yra nuo 8 iki 12, galime naudoti a ir c dalių rezultatus taip:
P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.
Pratimas išspręstas
Vidutinė bendrovės akcijų kaina yra 25 USD, o standartinis nuokrypis yra 4 USD. Nustatykite tikimybę, kad:
a) Veiksmas kainuoja mažiau nei 20 USD.
b) Tai kainuoja daugiau nei 30 USD.
c) Kaina yra nuo 20 USD iki 30 USD.
Norėdami rasti atsakymus, naudokite įprastas įprastas paskirstymo lenteles.
Sprendimas:
Norint naudotis lentelėmis, reikia pereiti prie normalizuoto arba įvesto z kintamojo:
20 USD normalizuotame kintamajame yra lygus z = (20 USD - 25 USD) / 4 USD = -5 / 4 = -1,25 ir
30 USD normalizuotame kintamajame lygu z = (30 USD - 25 USD) / 4 USD = +5 / 4 = +1,25.
a) 20 USD yra lygus -1,25 normalizuotame kintamajame, tačiau lentelė neturi neigiamų verčių, todėl pateikiame reikšmę +1,25, kuri duoda 0,8944 vertę.
Iš šios vertės atėmus 0,5, rezultatas bus plotas nuo 0 iki 1,25, kuris, beje, yra identiškas (pagal simetriją) plotui tarp -1,25 ir 0. Atimties rezultatas yra 0,8944 - 0,5 = 0,3944, tai yra plotas nuo -1,25 iki 0.
Bet domina sritis nuo –∞ iki –1,25, kuri bus 0,5–0,3944 = 0,1056. Todėl daroma išvada, kad tikimybė, kad atsargos bus mažesnės nei 20 USD, yra 10,56%.
b) Įvestas kintamasis z 30 USD yra 1,25. Šiai vertei lentelėje pateiktas skaičius 0,8944, kuris atitinka plotą nuo -∞ iki +1,25. Plotas tarp +1,25 ir + ∞ yra (1 - 0,8944) = 0,1056. Kitaip tariant, tikimybė, kad akcija kainuos daugiau nei 30 USD, yra 10,56%.
c) Tikimybė, kad veiksmas kainuos nuo 20 USD iki 30 USD, bus apskaičiuojama taip:
100% -10,56% - 10,56% = 78,88%
Nuorodos
- Statistika ir tikimybė. Normalus skirstinys. Atkurta iš: projectdescartes.org
- Geogebra. Klasikinė geogebra, tikimybių skaičiavimas. Atkurta iš geogebra.org
- „MathWorks“. Gauso pasiskirstymas. Atkurta iš: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Vadybos ir ekonomikos statistika. 3-ioji. leidimas. „Grupo“ redakcija „Iberoamérica“.
- „Stat Trek“. Išmokite sau statistiką. Puasono pasiskirstymas. Atkurta iš: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elementarioji statistika. 11-oji. Ed Pearson švietimas.
- Vigo universitetas. Pagrindiniai nuolatiniai pasiskirstymai. Atkurta iš: anapg.webs.uvigo.es
- Vikipedija. Normalus skirstinys. Atkurta iš: es.wikipedia.org