DISKRETUS TIKIMYBIŲ PASISKIRSTYMAS: CHARAKTERISTIKOS, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Kad diskretiniai skirstinys yra funkcija, pagal kurią kiekvienas iš X (S) = elemento {x1, x2, …, xi, …}, kur X yra diskretiška atsitiktinis kintamasis suteiktas ir S yra Pavyzdžio erdvė, tikimybė, kad minėtas įvykis įvyksta. Ši X (S) funkcija f, apibrėžta kaip f (xi) = P (X = xi), kartais vadinama masės tikimybės funkcija.

Ši tikimybių masė paprastai pateikiama lentelės pavidalu. Kadangi X yra diskretus atsitiktinis kintamasis, X (S) turi baigtinį įvykių skaičių arba suskaičiuojamą begalybę. Tarp labiausiai paplitusių diskretinių tikimybių pasiskirstymų turime vienodą pasiskirstymą, binominį pasiskirstymą ir Puasono pasiskirstymą.

charakteristikos

Tikimybės pasiskirstymo funkcija turi atitikti šias sąlygas:

Be to, jei X imasi tik riboto skaičiaus verčių (pavyzdžiui, x1, x2,…, xn), tada p (xi) = 0, jei i> ny, todėl begalinė b būsenos eilutė tampa a baigtinė serija.

Ši funkcija taip pat vykdo šias savybes:

Tegul B yra įvykis, susijęs su atsitiktiniu kintamuoju X. Tai reiškia, kad B yra X (S). Tiksliau, tarkime, kad B = {xi1, xi2, …}. Taigi:

Kitaip tariant, įvykio B tikimybė yra lygi atskirų su B susijusių pasekmių tikimybių sumai.

Iš to galime daryti išvadą, kad jei a <b, įvykiai (X ≤ a) ir (a <X ≤ b) yra vienas kitą paneigiantys, be to, jų sąjunga yra įvykis (X ≤ b), todėl turime:

Tipai

Vienodas paskirstymas per n taškus

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X seka pasiskirstymą, būdingą tolygiu n taške, jei kiekvienai reikšmei priskiriama ta pati tikimybė. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Tarkime, kad mes turime eksperimentą, kuriame yra du galimi rezultatai, tai gali būti monetos, kurios galimi rezultatai yra galvutės ar uodegos, išmetimas arba sveikojo skaičiaus pasirinkimas, kurio rezultatas gali būti lyginis arba nelyginis skaičius; šis eksperimentų tipas yra žinomas kaip Bernelio testai.

Apskritai du galimi rezultatai vadinami sėkme ir nesėkme, kur p yra sėkmės tikimybė, o 1-p yra nesėkmės tikimybė. Mes galime nustatyti x pasisekimų tikimybę n Bernoulli testuose, kurie nepriklauso vienas nuo kito, tokiu pasiskirstymu.

Binominis pasiskirstymas

Tai funkcija, kuri parodo x pasisekimo tikimybę n nepriklausomame Bernoulli teste, kurio sėkmės tikimybė yra p. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Šis grafikas parodo masės funkcijos tikimybę skirtingoms binominio pasiskirstymo parametrų vertėms.

Žemiau pateiktas skirstymas yra savo vardą skolingas prancūzų matematikui Simeonui Poissonui (1781–1840), kuris jį gavo kaip dvinarės sklaidos ribą.

Puasono pasiskirstymas

Sakoma, kad atsitiktiniam kintamajam X yra parametro Po skirstinys, kai jis gali gauti teigiamas sveikojo skaičiaus 0,1,2,3, … su tokia tikimybe:

Šioje išraiškoje λ yra vidutinis skaičius, atitinkantis įvykio įvykius kiekvienam laiko vienetui, o x - įvykio įvykių skaičius.

Jo tikimybės masės funkcija yra:

Čia yra diagrama, vaizduojanti įvairių Puasono pasiskirstymo parametrų reikšmių masės funkciją.

Atminkite, kad tol, kol pasisekimų skaičius yra mažas, o bandymų, atliktų su binominiu pasiskirstymu, yra didelis, mes visada galime apytiksliai suderinti šiuos pasiskirstymus, nes Puasono pasiskirstymas yra binominio pasiskirstymo riba.

Pagrindinis skirtumas tarp šių dviejų skirstinių yra tas, kad nors binomija priklauso nuo dviejų parametrų, būtent n ir p, Puasonas priklauso tik nuo λ, kuris kartais vadinamas pasiskirstymo intensyvumu.

Iki šiol mes kalbėjome tikimybės pasiskirstymą tik tais atvejais, kai skirtingi eksperimentai yra vienas nuo kito nepriklausomi; tai yra, kai vieno rezultato nepaveikia kitas rezultatas.

Kai yra eksperimentų, kurie nėra nepriklausomi, hipergeometrinis pasiskirstymas yra labai naudingas.

Hipergeometrinis pasiskirstymas

Tegul N yra bendras baigtinės aibės objektų skaičius, iš kurių kažkokiu būdu galime identifikuoti k iš jų, tokiu būdu sudarydami pogrupį K, kurio komplementą sudaro likę Nk elementai.

Jei atsitiktine tvarka pasirenkame n objektus, atsitiktinis kintamasis X, kuris parodo objektų, priklausančių K pasirinkimui, skaičių, turi hipergeometrinį N, n ir k parametrų pasiskirstymą. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Šis grafikas parodo skirtingų hipergeometrinio pasiskirstymo parametrų reikšmių masės funkciją.

Išspręsta mankšta

Pirmas pratimas

Tarkime, kad tikimybė, kad radijo vamzdis (įdėtas į tam tikro tipo įrangą) veiks ilgiau nei 500 valandų, yra 0,2. Jei bandoma 20 mėgintuvėlių, kokia tikimybė, kad tiksliai k iš jų veiks daugiau nei 500 valandų, k = 0, 1,2,…, 20?

Sprendimas

Jei X yra daugiau kaip 500 valandų veikiančių vamzdelių skaičius, laikysime, kad X turi binominį pasiskirstymą. Taigi

Taigi:

Jei k≥11, tikimybės yra mažesnės nei 0,001

Taigi galime pastebėti, kaip padidėja tikimybė, kad šie darbai trunka daugiau nei 500 valandų, kol pasiekia maksimalią vertę (kai k = 4) ir tada pradeda mažėti.

Antras pratimas

Moneta yra išmesta 6 kartus. Kai rezultatas bus brangus, sakysime, kad jis yra sėkmingas. Kokia tikimybė, kad tiksliai iškils dvi galvos?

Sprendimas

Šiuo atveju turime, kad n = 6, ir sėkmės, ir nesėkmės tikimybė yra p = q = 1/2

Todėl tikimybė, kad duotos dvi galvos (tai yra, k = 2), yra

Trečias pratimas

Kokia tikimybė surasti mažiausiai keturias galvas?

Sprendimas

Šiuo atveju turime, kad k = 4, 5 arba 6

Trečias pratimas

Tarkime, kad 2% gamykloje pagamintų gaminių yra nekokybiški. Raskite P tikimybę, kad 100 daiktų pavyzdyje yra trys elementai su trūkumais.

Sprendimas

Šiuo atveju galėtume pritaikyti dvinarį skirstinį n = 100 ir p = 0,02, gaudami:

Kadangi p yra mažas, mes naudojame Puasono aproksimaciją, kai λ = np = 2. Taigi,

Nuorodos

1. Kai Lai Chung. Pradinių galimybių teorija naudojant stochastinius procesus. „Springer-Verlag New York Inc“
2. Kennethas.H. Diskretinė matematika ir jos taikymai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paulius L. Meyeris. Tikimybė ir statistinis pritaikymas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Išspręstos diskretinės matematikos problemos. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorijos ir tikimybių problemos. McGRAW-HILL.