SINTETINIS PADALIJIMAS: METODAS IR IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Sintetinis padalinys yra paprastas būdas dalijant daugianario P (x) bet kokio formos d (x) = x vieną - c. Pvz., Polinomas P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) gali būti pateiktas kaip dviejų paprasčiausių daugianario (x + 1) ir (x ⁴ + 2x ³ ) padauginimas ^. ).

Tai labai naudingas įrankis, nes be to, kad leidžiame dalinti polinomus, jis taip pat leidžia įvertinti polinomą P (x) bet kuriuo skaičiumi c, o tai savo ruožtu tiksliai nurodo, ar tas skaičius yra polinomo nulis, ar ne.

Padalijimo algoritmo dėka mes žinome, kad jei turime du nekintamus polinomus P (x) ir d (x), yra unikalūs daugianariai q (x) ir r (x), todėl tiesa, kad P (x) = q (x) d (x) + r (x), kur r (x) yra lygus nuliui arba mažesnis už q (x). Šie polinomai yra žinomi kaip koeficientas ir atitinkamai likutis arba likutis.

Tais atvejais, kai daugianario d (x) forma yra x- c, sintetinis padalijimas suteikia mums trumpą būdą išsiaiškinti, kas yra q (x) ir r (x).

Sintetinio padalijimo metodas

Tegul P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polinomą, kurį norime padalinti, ir d (x) = xc daliklį. Norėdami padalinti sintetinio padalijimo metodu, mes darome taip:

1- Pirmoje eilutėje užrašome P (x) koeficientus. Jei nerodoma jokia X galia, jos koeficientą nurodome nuliu.

2- Antroje eilutėje į kairę nuo _n dedame c ir brėžiame padalijimo linijas, kaip parodyta šiame paveiksle:

3- Sumažiname pagrindinį koeficientą iki trečios eilės.

Šia išraiška b _n-1 = a _n

4 - Padauginame c iš pirmaujančio koeficiento b _n-1 ir rezultatą užrašome antroje eilutėje, bet vieną stulpelį dešinėje.

5- Pridedame stulpelį, kuriame užrašome ankstesnį rezultatą, ir pridedame rezultatą žemiau tos sumos; tai yra tame pačiame stulpelyje trečioji eilutė.

Pridedant, mes turime _n-1 + c * b _n-1 , kurį patogumo dėlei vadinsime b _n-2

6- Padauginame c iš ankstesnio rezultato ir užrašome rezultatą dešinėje antroje eilėje.

7- Kartojame 5 ir 6 veiksmus, kol pasieksime koeficientą ₀ .

8- rašome atsakymą; tai yra koeficientas ir likusi dalis. Kadangi mes daliname n laipsnio polinomą iš 1 laipsnio polinomo, mes turime, kad koeficientas būtų n-1 laipsnio.

Tūkstantinio polinomo koeficientai bus skaičiai trečiojoje eilutėje, išskyrus paskutiniąją, kuri bus likutinis polinomas arba likusi dalis.

Išspręsta mankšta

- 1 pavyzdys

Atlikite šį padalijimą sintetinio padalijimo metodu:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Sprendimas

Pirmiausia dividendų koeficientus surašome taip:

Tada mes rašome c kairėje pusėje, antroje eilutėje kartu su skiriamosiomis linijomis. Šiame pavyzdyje c = -1.

Sumažiname pagrindinį koeficientą (šiuo atveju b _n-1 = 1) ir padauginame iš -1:

Jo rezultatą rašome dešinėje, antroje eilutėje, kaip parodyta žemiau:

Antrame stulpelyje pridedame skaičius:

Padauginame 2 iš -1 ir užrašome rezultatą trečio stulpelio antroje eilutėje:

Trečiame stulpelyje pridedame:

Mes einame tuo pačiu būdu, kol pasieksime paskutinį stulpelį:

Taigi, mes turime tai, kad paskutinis gautas skaičius yra likusi padalijimo dalis, o likę skaičiai yra koeficiento koeficientas iš daugianarės. Tai parašyta taip:

Jei norime patikrinti, ar rezultatas teisingas, pakanka patikrinti, ar teisinga ši lygtis:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Taigi galime patikrinti, ar gautas rezultatas yra teisingas.

- 2 pavyzdys

Atlikite šį polinomų dalijimą sintetinio dalijimo metodu

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Sprendimas

Šiuo atveju terminas x ² nerodomas, todėl jo koeficientą parašysime 0. Taigi polinomas būtų 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Mes rašome jų koeficientus iš eilės, tai yra:

C = -2 vertę užrašome kairėje antros eilės pusėje ir nubraižome padalijimo linijas.

Mes sumažiname pirmaujantį koeficientą b _n-1 = 7 ir padauginame jį iš -2, parašydami jo rezultatą antroje eilėje į dešinę.

Mes pridedame ir tęsiame, kaip paaiškinta anksčiau, kol pasieksime paskutinę kadenciją:

Tokiu atveju likutis yra r (x) = - 52, o gautas koeficientas yra q (x) = 7x ² -14x + 27.

- 3 pavyzdys

Kitas būdas naudoti sintetinį padalijimą yra toks: tarkime, kad mes turime n laipsnio polinomą P (x) ir norime sužinoti, kokia yra vertė, įvertindami jį x = c.

Pagal padalijimo algoritmą polinomą P (x) galime užrašyti taip:

Šia išraiška q (x) ir r (x) yra atitinkamai koeficientas, o likusi dalis. Dabar, jei d (x) = x- c, vertindami ties polinomu ties c, gauname:

Todėl belieka surasti ar (x), ir mes tai galime padaryti dėl sintetinio padalijimo.

Pvz., Turime polinomą P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 ir mes norime sužinoti, kokia jo vertė, įvertinant jį esant x = 5. Norėdami tai padaryti, mes atliekame padalijimas tarp P (x) ir d (x) = x -5 sintetinio padalijimo metodu:

Atlikę operacijas žinome, kad P (x) rašyti galime taip:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Todėl, vertindami tai, turime:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kaip matome, norint naudoti polinomo reikšmę, galima naudoti sintetinį padalijimą, vertinant jį esant c, o ne paprasčiausiai pakeičiant c x.

Jei bandytume įvertinti P (5) tradiciniu būdu, būtume priversti atlikti kai kuriuos skaičiavimus, kurie dažnai tampa nuobodūs.

- 4 pavyzdys

Polinomų dalijimosi algoritmas tinka ir polinomams, kurių koeficientai yra sudėtingi, todėl turime sintetinio dalijimo metodą taip pat ir tokiems polinomams. Pamatysime pavyzdį žemiau.

Mes parodysime, kad z = 1+ 2i yra daugianario P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i) nulis; tai yra, likusi dalis P (x) dalimis d (x) = x - z yra lygi nuliui.

Mes einame kaip anksčiau: pirmoje eilutėje rašome P (x) koeficientus, tada antroje rašome z ir nubraižome padalijimo linijas.

Mes vykdome padalijimą kaip ir anksčiau; tai yra:

Galime pastebėti, kad likusi dalis yra lygi nuliui; todėl darome išvadą, kad z = 1+ 2i yra nulis iš P (x).

Nuorodos

1. Baldoras Aurelio. Algebra Grupo redakcija „Patria“.
2. Demana, Waits, Foley ir Kennedy. Prekalkulis: Grafinis, skaitmeninis, algebrinis 7-asis leidimas „Pearson Education“.
3. Flemmingo W ir Varsergo D. Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. Prentice salė
4. Michaelas Sullivanas. Prekalkulis 4-asis leidimas „Pearson Education“.
5. Raudona. Armando O. „Algebra“ 1 6-asis ed. The Athenaeum.