ELIPSĖ: CHARAKTERISTIKOS IR PAVYZDŽIAI - ARTE - 2025

Elipsoido formos yra erdvėje paviršius, kuris priklauso quadric paviršių ir, kurių bendra lygtis yra pavidalo grupės:

Tai yra trimatis elipsės atitikmuo, kuriam būdingi elipsės ir apskritimo pėdsakai tam tikrais ypatingais atvejais. Pėdsakai yra kreivės, gaunamos kertant elipsę su plokštuma.

1 pav. Trys skirtingi elipsoidai: viršuje rutulys, kurio trys pusiau ašys yra lygios, apačioje kairysis rutulinis, su dviem vienodomis pusiau ašimis ir skirtinga, o galiausiai apačioje dešinėje - triašis sferoidas, turintis tris skirtingas ašis. ilgio. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. „Ag2gaeh“ / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Be elipsės, yra dar penki keturkampiai: vieno lapo ir dviejų lakštų hiperboloidas, dviejų tipų paraboloidas (hiperbolinis ir elipsinis) ir elipsinis kūgis. Jos pėdsakai taip pat yra kūginiai.

Elipsę taip pat galima išreikšti standartine lygtimi Dekarto koordinatėmis. Elipsė, kurios centre yra kilmė (0,0,0) ir išreikšta tokiu būdu, primena elipsę, bet su papildomu terminu:

A, b ir c reikšmės yra realieji skaičiai, didesni už 0 ir žymi tris elipsės pusašius.

Elipsės charakteristikos

- Standartinė lygtis

Elipsės centre esančiame taške (h, k, m) standartinė Dekarto koordinačių lygtis yra:

- Elipsoido parametrinės lygtys

Sferinėmis koordinatėmis elipsoidą galima apibūdinti taip:

x = nuodėmė θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Elipsės pusašiai išlieka a, b ir c, o parametrai yra šio paveikslo kampai θ ir φ:

2 pav. Sferinė koordinačių sistema. Elipsoidą galima parametruoti kaip parametrus naudojant rodomus kampus teta ir phi. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. „Andeggs“ / viešoji nuosavybė.

- Elipsoido pėdsakai

Bendra paviršiaus erdvės lygtis yra F (x, y, z) = 0, o paviršiaus pėdsakai yra kreivės:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Elipsės atveju tokios kreivės yra elipsės ir kartais apskritimai.

- Tūris

Elipsoido tūris V yra gaunamas iš (4/3) π, padauginto iš trijų jo pusiau ašių sandaugos:

V = (4/3) π. abc

Ypatingi elipsoido atvejai

- Elipsoidas tampa rutuliu, kai visos pusiau ašys yra vienodo dydžio: a = b = c ≠ 0. Tai turi prasmę, nes elipsoidas yra kaip sfera, kuri skirtingai ištempta išilgai kiekvienos ašis.

- Sferoidas yra elipsoidas, kurio dvi pusiau ašys yra tapačios, o trečioji - skirtinga, pavyzdžiui, tai gali būti a = b ≠ c.

Sferoidas dar vadinamas revoliucijos elipsoidu, nes jį gali generuoti besisukančios elipsės aplink ašį.

Jei sukimosi ašis sutampa su pagrindine ašimi, rutulys yra išstumtas, bet jei sutampa su šalutine ašimi, jis yra pailgas:

3 pav. Užmaskuokite sferoidą kairėje ir išstumkite sferoidą dešinėje. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Sferos plokščiojo paviršiaus išlyginimo matas (elipsės laipsnis) pateikiamas pagal dviejų pusiau ašių ilgio skirtumą, išreikštą trupmenine forma, tai yra, tai yra vieneto išlyginimas, apskaičiuojamas taip:

f = (a - b) / a

Šioje lygtyje a žymi pusiau pagrindinę ašį ir b pusiau mažąją ašį. Atminkite, kad trečioji ašis yra lygi sferoido vienai iš jų. F reikšmė yra nuo 0 iki 1, o rutulio atžvilgiu ji turi būti didesnė už 0 (jei ji būtų lygi 0, mes tiesiog turėtume rutulį).

Etaloninis elipsoidas

Planetos ir žvaigždės apskritai nėra tobulos sferos, nes sukimosi judesys aplink jų ašis išlygina kūną ties poliais ir išlenda jį prie pusiaujo.

Štai kodėl Žemė pasirodo panaši į oblastinį sferoidą, nors ir nėra tokia perdėta, kaip ankstesniame paveiksle, ir savo ruožtu dujų milžinas Saturnas yra plokščiausias iš Saulės sistemos planetų.

Taigi realistiškesnis planetų vaizdavimo būdas yra manyti, kad jos yra tarsi sferoidas ar elipsoidas iš revoliucijos, kurių pusiau pagrindinė ašis yra pusiaujo spindulys, o pusiau mažiausia ašis - poliarinis spindulys.

Atidus žemės rutulio matavimas leido pastatyti pamatinį Žemės elipsoidą kaip tiksliausią būdą matematiškai jį naudoti.

Žvaigždės taip pat turi sukimosi judesius, kurie joms suteikia daugiau ar mažiau išlygintas formas. Greita žvaigždė Achernaras, aštuntoji ryškiausia naktinio dangaus žvaigždė, pietiniame Eridanuso žvaigždyne yra nepaprastai elipsinė, palyginti su dauguma. Tai yra 144 šviesmečiai nuo mūsų.

Kitas kraštutinumas - prieš keletą metų mokslininkai rado patį sferinį objektą, kokį tik buvo rasta: žvaigždę Kepler 11145123, esančią 5000 šviesmečių atstumu, dvigubai didesnę už mūsų Saulę ir skirtumą tarp pusiau ašių, vos 3 km. Kaip ir tikėtasi, ji taip pat sukasi lėčiau.

Kalbant apie Žemę, tai nėra tobulas sferoidas ir dėl savo nelygaus paviršiaus bei vietinių sunkio jėgų pokyčių. Dėl šios priežasties yra daugiau nei viena sferinė skydliaukė ir kiekvienoje vietoje pasirenkama tinkamiausia vietinei geografijai.

Palydovų pagalba yra neįkainojama kuriant vis tikslesnius Žemės formos modelius, nes jų dėka žinoma, kad, pavyzdžiui, pietų ašigalis yra arčiau pusiaujo nei šiaurinis ašigalis.

4 paveikslas. Haumea, trans-Neptūno nykštukinė planeta turi elipsės formą. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Skaitinis pavyzdys

Dėl Žemės sukimosi sukuriama išcentrinė jėga, kuri vietoj rutulio suteikia jai pailgos elipsės formą. Žinomas, kad pusiaujo žemės spindulys yra 3963 mylios, o poliaro spindulys - 3942 mylių.

Raskite pusiaujo pėdsaką, šio elipsoido pėdsaką ir jo išlyginimo matą. Taip pat palyginkite su Saturno elipsiškumu su šiais duomenimis:

-Saturn pusiaujo spindulys: 60,268 km

-Poliarinis Saturno spindulys: 54,364 km

Sprendimas

Būtina koordinačių sistema, kurią mes laikysime nukreiptą į kilmės vietą (Žemės centrą). Mes laikysime vertikalią z ašį, o pėdsakas, atitinkantis pusiaują, yra xy plokštumoje, lygiavertei z = 0 plokštumai.

Pusiaujo plokštumoje pusiau ašys a ir b yra lygios, todėl a = b = 3963 mylios, o c = 3942 mylios. Tai yra ypatingas atvejis: sferoidas, kurio centras yra taške (0,0,0), kaip minėta aukščiau.

Pusiaujo pėdsakas yra apskritimo spindulys R = 3963 mylios, kurio centras yra ištakos. Jis apskaičiuojamas standartinę lygtį padarius z = 0:

Ir antžeminio elipsės standartinė lygtis yra:

f _Žemė = (a - b) / a = (3963-3942) mylių / 3963 mylių = 0,0053

f _Saturnas = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Atminkite, kad elipsės dydis f yra be matmenų dydis.

Nuorodos

1. „ArcGIS“ darbalaukiui. Sferoidai ir sferos. Atkurta iš: desktop.arcgis.com.
2. BBC pasaulis. Sferinio objekto, kada nors aptikto Visatoje, paslaptis. Atkurta iš: bbc.com.
3. Larsonas, R. Kalkulis ir analitinė geometrija. Šeštas leidimas. 2 tomas. „McGraw Hill“.
4. Vikipedija. Elipsė. Atkurta iš: en.wikipedia.org.
5. Vikipedija. Sferinis. Atkurta iš: en.wikipedia.org.