ENEAGON: SAVYBĖS, KAIP SUDARYTI ENEAGON, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA

Enegon yra daugiakampis su devyniais pusių ir devynių viršūnių, kurie gali arba negali būti tvarkingos. Pavadinimas eneágono kilęs iš graikų kalbos ir sudarytas iš graikų žodžių ennea (devyni) ir gonono (kampas).

Alternatyvus devynių pusių daugiakampio vardas yra nonagonas, kuris kilęs iš lotyniškų žodžių nonus (devyni) ir gonono (viršūnės). Kita vertus, jei eneagono šonai ar kampai yra nevienodi vienas kito atžvilgiu, tuomet turite netaisyklingą eneagoną. Jei, kita vertus, visos devyni eneagono kraštai ir devyni kampai yra lygūs, tai yra įprastas eneagonas.

1 paveikslas. Įprastas ir netaisyklingas eneagonas. (Savo parengimas)

Eneagono savybės

Daugiakampiui, kurio n kraštinės ilgis, jo vidinių kampų suma yra:

(n - 2) * 180º

Enegonu jis būtų n = 9, taigi jo vidinių kampų suma yra:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Bet kuriame daugiakampyje įstrižainių skaičius yra:

D = n (n - 3) / 2, o enegono atveju, kadangi n = 9, tada turime D = 27.

Įprastas enegon

Įprastiniame eneagone ar nonagonyje yra devyni (9) vienodo dydžio vidiniai kampai, todėl kiekvienas kampas matuoja vieną devintąją visos vidinių kampų sumos.

Vidinio eneono kampo matas yra 1260º / 9 = 140º.

2 paveikslas. Įprasto eneagono apotemas, spindulys, kraštinės, kampai ir viršūnės. (Savo parengimas)

Norint apskaičiuoti taisyklingo eneono, kurio kraštinė d, plotą, yra patogu padaryti kai kurias pagalbines konstrukcijas, tokias, kaip parodyta 2 paveiksle.

Centras O randamas nustatant dviejų gretimų pusių bisektorius. Centras O, esantis vienodai nuo viršūnių.

R ilgio r spindulys yra atkarpa nuo centro O iki enegono viršūnės. 2 paveiksle parodytas ilgio r spindulys OD ir OE.

Apothemė yra segmentas, einantis nuo centro iki vienos enegono pusės vidurio taško. Pvz., OJ yra apotemas, kurio ilgis yra a.

Eneono plotas, žinomas iš šono ir aparato

Mes atsižvelgiame į trikampį ODE 2 pav. Šio trikampio plotas yra jo pagrindo DE ir aukščio, padalyto iš 2, sandauga.

ODE plotas = (DE * OL) / 2 = (d * a) / 2

Kadangi enegonuose yra 9 vienodo ploto trikampiai, daroma išvada, kad jų plotas yra:

Egonio plotas = (9/2) (d * a)

Žinomo eigono plotas šone

Jei žinomas tik enegono kraštinių ilgis d, tada, norint pritaikyti ankstesniame skyriuje pateiktą formulę, reikia rasti aparato ilgį.

Mes laikome dešinįjį trikampį OJE J (žr. 2 paveikslą). Jei taikomas liestinės trigonometrinis santykis, gauname:

įdegis (∡ OEJ) = OL / EJ.

Kampas ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, nes EO yra enegono vidinio kampo bisektorius.

Kita vertus, OL yra a ilgio apothemė.

Kadangi J yra ED vidurio taškas, darytina išvada, kad EJ = d / 2.

Ankstesnes reikšmes pakeisdami liestiniu santykiu:

įdegis (70º) = a / (d / 2).

Dabar išsiaiškiname apotemos ilgį:

a = (d / 2) įdegis (70º).

Ankstesnis rezultatas pakeičiamas ploto formulėje, norint gauti:

Enegono plotas = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) įdegis (70º))

Galiausiai randame formulę, leidžiančią gauti taisyklingo eneono plotą, jei žinomas tik jo kraštinių ilgis d:

Enegono plotas = (9/4) d ² įdegis (70º) = 6,1818 d ²

Taisyklingo eigono perimetras žinojo savo pusę

Daugiakampio perimetras yra jo kraštinių suma. Enegono atveju kiekviena iš šonų matuoja ilgį d, o jo perimetras bus devynių kartų d suma, tai yra:

Perimetras = 9 d

Eneono perimetras žinojo jo spindulį

Atsižvelgiant į dešinįjį trikampį OJE J (žr. 2 pav.), Taikomas trigonometrinis kosinuso santykis:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Iš kur jis gaunamas:

d = 2r cos (70º)

Pakaitinę šį rezultatą, gauname perimetro formulę kaip enegono spindulio funkciją:

Perimetras = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Kaip sudaryti įprastą enegoną

1- Norėdami pastatyti įprastą eneagoną su liniuote ir kompasu, pradėkite nuo apskritimo c, kuris supa eneagoną. (žr. 3 paveikslą)

2 - Per apskritimo centrą O nubrėžtos dvi statmenos linijos. Tada vienos iš linijų sankirtos A ir B pažymėtos apskritimu.

3- Kompasu, kurio centras yra perėmimo taške B ir angą, lygią spindulio BO, brėžiamas lankas, kuris taške C užima pradinį apskritimą.

3 paveikslas. Taisyklingo enegono kūrimo veiksmai. (Savo parengimas)

4- Ankstesnis žingsnis pakartojamas, tačiau, padarydamas centrą taške A ir spindulį AO, brėžiamas lankas, kuris pertraukia apskritimą c taške E.

5- Atidarydami kintamąjį kūną ir centrą A, brėžiamas apskritimo lankas. Panašiai kaip atidarant BE ir centrą B, nubrėžtas kitas lankas. Šių dviejų lankų sankirta pažymėta tašku G.

6- Centruojant tašką G ir atidarant GA, brėžiamas lankas, užimantis antrinę ašį (šiuo atveju horizontalią) taške H. Antrinės ašies sankirta su pradiniu apskritimu c pažymėta kaip I.

7- IH segmento ilgis yra lygus eneono šono ilgiui d.

8- Kai kompasas atidaromas IH = d, iš eilės brėžiami A centro spindulio AJ, centro J spindulio AK, centro K spindulio KL ir centro L spindulio lankai.

9 - Panašiai, pradedant nuo A ir iš dešinės pusės, brėžiami IH = d spindulio lankai, žymintys taškus M, N, C ir Q pradiniame apskritime c.

10- Galiausiai nupiešti segmentai AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ ir galiausiai PB.

Reikėtų pažymėti, kad konstrukcijos metodas nėra visiškai tikslus, nes galima įsitikinti, kad paskutinės pusės PB yra 0,7% ilgesnė nei kitos pusės. Iki šiol nėra žinomas 100 proc. Tikslus konstrukcijos su liniuote ir kompasu būdas.

Pavyzdžiai

Čia yra keletas pavyzdžių.

1 pavyzdys

Norime pastatyti įprastą enegoną, kurio kraštinės yra 2 cm. Koks spindulys turi būti jį ribojantį apskritimą, kad taikant anksčiau aprašytą konstrukciją būtų gautas norimas rezultatas?

Ankstesniame skyriuje buvo išvesta formulė, kuri susieto apskritimo spindulį r susieja su taisyklingojo egonio kraštinė d:

d = 2r cos (70º)

Sprendžiant r ankstesnę išraišką, kurią turime:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Ankstesnėje formulėje pakeitus reikšmę d = 2 cm, r spindulys bus 2,92 cm.

2 pavyzdys

Koks yra įprasto eigono, kurio kraštinė yra 2 cm, plotas?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime remtis anksčiau parodyta formule, kuri leidžia mums rasti žinomo eneono plotą pagal jo kraštinės ilgį d: