- dauginimasis realus skaičius alfa vektoriaus v : α prieš suteikiant kitą vektorių ir priklausanti V .

Meninė vektorinės erdvės vizija. Šaltinis: „Pixabay“

Vektoriui žymėti naudojame paryškintą ( v yra vektorius), o skaliarams ar skaičiams - graikiškas raides (α yra skaičius).

Aksiomos ir savybės

Kad būtų suteikta vektoriaus erdvė, turi būti šios aštuonios aksiomos:

1-komutabilumas: u + v = v + u

2-pereinamumas: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3 - Nulio vektoriaus 0 buvimas toks, kad 0 + v = v

4-Priešybės egzistavimas: priešingybė v yra (- v ), nes v + (- v ) = 0

Produkto 5 pasiskirstymas vektoriaus sumos atžvilgiu: α ( u + v ) = α u + α v

6-Produkto pasiskirstymas skalės sumos atžvilgiu: (α + β) v = α v + β v

7-Skaliarinio produkto asociatyvumas: α (β v ) = (α β) v

8 - Skaičius 1 yra neutralus elementas, nes: 1 v = v

Tarpų tarp vektorių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Vektoriai (R²) plokštumoje yra vektorių erdvės pavyzdys. Vektorius plokštumoje yra geometrinis objektas, turintis dydį ir kryptį. Jį žymi orientuotas segmentas, priklausantis minėtai plokštumai ir kurio dydis proporcingas jo dydžiui.

Dviejų vektorių suma plokštumoje gali būti apibrėžta kaip antrojo vektoriaus geometrinio vertimo operacija po pirmojo. Sumos rezultatas yra orientuotas segmentas, kuris prasideda nuo pirmosios kilmės ir pasiekia antrosios viršūnę.

Paveiksle matyti, kad suma, išreikšta R², yra komutacinė.

2 pav. Vektoriai erdvėje sudaro plokštumą. Šaltinis: pačių sukurtas.

Taip pat apibrėžtas skaičiaus α ir vektoriaus sandauga. Jei skaičius teigiamas, išlaikoma pradinio vektoriaus kryptis, o dydis α yra didesnis už pradinį vektorių. Jei skaičius neigiamas, kryptis yra priešinga, o gauto vektoriaus dydis yra absoliuti skaičiaus reikšmė.

Priešais bet kurį vektorių v esantis vektorius yra - v = (- 1) v .

Nulis vektorius yra taškas R² plokštumoje, o skaičius, nulis vektoriaus, duoda nulinį vektorių.

Visa tai, kas buvo pasakyta, parodyta 2 paveiksle.

2 pavyzdys

Visų polinomų, kurių laipsnis yra mažesnis arba lygus dviem, įskaitant nulinį laipsnį, aibė P sudaro aibę, tenkinančią visas vektorinės erdvės aksiomas.

Tegul polinomas P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Apibrėžta dviejų polinomų suma: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Polinomų, priklausančių aibei P, suma yra komutacinė ir pereinamojo laikotarpio.

Nulio polinomas, priklausantis aibei P, yra tas, kurio visi koeficientai yra lygūs nuliui:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Skaliarinė α suma, gaunama iš polinomo, apibūdinama taip: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Priešinga P (x) polinomas yra -P (x) = (-1) P (x).

Iš to, kas pasakyta, darytina išvada, kad visų polinomų, mažesnių ar lygus dviem, aibė P yra vektorinė erdvė.

3 pavyzdys

Visų m eilučių, eilučių xn stulpelių, kurių elementai yra tikrieji skaičiai, aibė M sudaro realią vektorinę erdvę, atsižvelgiant į matricų ir skaičiaus sandaugos pridėjimo iš matricos operacijas.

4 pavyzdys

Nekilnojamojo kintamojo tęstinių funkcijų aibė F sudaro vektorinę erdvę, nes galima apibrėžti dviejų funkcijų sumą, skalės padauginimą iš funkcijos, nulinę funkciją ir simetrinę funkciją. Jie taip pat įvykdo vektorinę erdvę apibūdinančias aksiomas.

Vektorinės erdvės pagrindas ir matmuo

Bazė

Vektorinės erdvės bazė yra apibrėžiama kaip linijiškai nepriklausomų vektorių rinkinys, toks, kad iš linijinio jų derinio gali būti sukurtas bet kuris tos vektorinės erdvės vektorius.

Linijiškai sujungdami du ar daugiau vektorių, vektoriai padauginami iš keleto skaliarų ir po to pridedami vektoriniu būdu.

Pavyzdžiui, trijų matmenų vektorių erdvėje, suformuotoje R3, naudojama vienetinių vektorių (1 masto) i , j , k apibrėžta kanoninė bazė .

Kur i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Tai yra Dekarto arba kanoniniai vektoriai.

Bet kuris R3 priklausantis vektorius V rašomas kaip V = a i + b j + c k , tai yra linijinis bazinių vektorių i , j , k derinys . Skaliarinė arba numeriai a, b, c yra žinomas kaip Dekarto komponentų V .

Taip pat sakoma, kad vektorinės erdvės baziniai vektoriai sudaro vektorinės erdvės generatorių rinkinį.

Matmuo

Vektorinės erdvės matmuo yra kardinalus tos erdvės vektoriaus pagrindo skaičius; tai yra vektorių, kurie sudaro minėtą bazę, skaičius.

Šis kardinolas yra maksimalus linijiškai nepriklausomų vektorių erdvės vektorių skaičius ir tuo pačiu metu mažiausias vektorių, kurie sudaro tos erdvės generatorių rinkinį, skaičius.

Vektorinės erdvės pagrindai nėra unikalūs, tačiau visi tos pačios vektorinės erdvės pagrindai turi tą patį matmenį.

Vektorinis poskyris

Vektorinės erdvės V vektorinis poskyris S yra V pogrupis, kuriame apibrėžtos tos pačios operacijos, kaip ir V, ir vykdančios visas vektorinės erdvės aksiomas. Todėl poskyris S taip pat bus vektorinė erdvė.

Vektoriaus poskyrio pavyzdys yra vektoriai, priklausantys XY plokštumai. Ši potemė yra didesnės nei vektorių, priklausančių trimatėje erdvėje XYZ, vektorių erdvės pogrupis.

Kitas vektorinės erdvės S vektoriaus poskyrio S1, kurį sudaro visos 2 × 2 matricos su tikraisiais elementais, pavyzdys yra aprašytas žemiau:

Kita vertus, toliau apibrėžtas S2, nors ir yra S poaibis, nesudaro vektoriaus poskyrio:

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Tegu vektoriai V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) ir V3 = (0, 0, 3) R3.

a) Parodykite, kad jie yra tiesiškai nepriklausomi.

b) Parodykite, kad jie sudaro pagrindą R³, nes bet kurį trigubą (x, y, z) galima užrašyti kaip linijinį V1, V2, V3 derinį.

c) Raskite trigubo V = (-3,5,4) komponentus bazėje V1 , V2 , V3 .

Sprendimas

Linijinio nepriklausomumo įrodymo kriterijus yra toks α, β ir γ lygčių rinkinio nustatymas

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Jei vienintelis šios sistemos sprendimas yra α = β = γ = 0, tada vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, kitaip jie nėra.

Norėdami gauti α, β ir γ reikšmes, mes siūlome šią lygčių sistemą:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Pirmasis veda į α = 0, antrasis α = -2 ∙ β, bet kadangi α = 0, tada β = 0. Trečioji lygtis reiškia, kad γ = (- 1/3) β, bet kadangi β = 0, tada γ = 0.

Atsakymas

Daroma išvada, kad tai yra linijiškai nepriklausomų R3 vektorių rinkinys.

Atsakymas b

Dabar parašykime trigubą (x, y, z) kaip linijinį V1, V2, V3 derinį.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Kur jūs turite:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Pirmasis rodo α = x, antrasis β = (yx) / 2, o trečias γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Tokiu būdu mes radome bet kurio trigubo R3 α, β ir γ generatorius

Atsakymas c

Pereikime toliau prie trigubo V = (–3,5,4) komponentų V1 , V2 , V3 bazėje .

Mes pakeičiame atitinkamas reikšmes aukščiau rastais generatoriais.

Šiuo atveju turime: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4 - 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Tai yra:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Pagal paskutinį:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Darome išvadą, kad V1, V2, V3 sudaro pagrindą 3 dimensijos vektorinėje erdvėje R³.

- 2 pratimas

Polinomą P (t) = t² + 4t -3 išreikškite kaip linijinį P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ir P3 (t) = t + 3 derinį.

Sprendimas

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kur turi būti nustatyti skaičiai x, y, z.

Padauginę ir grupavę terminus su tuo pačiu laipsniu t, gauname:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Tai veda mus prie šios lygčių sistemos:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Šios lygčių sistemos sprendimai yra šie:

x = -3, y = 2, z = 4.

Tai yra:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- 3 pratimas

Parodykite, kad vektoriai v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) ir v3 = (2, 1, -1, 1) R⁴ yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas

Tiesiškai sujungiame tris vektorius v1 , v2 , v3 ir reikalaujame, kad derinys pridėtų nulinį R element elementą

a v1 + b v2 + c v3 = 0

T. y.

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Tai veda mus prie šios lygčių sistemos:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Atimdami pirmąjį ir ketvirtąjį, turime: -a + c = 0, reiškiantį a = c.

Bet jei pažvelgtume į trečiąją lygtį, turėtume, kad a = -c. Vienintelis būdas, kuriuo laikoma a = c = (- c), yra, kad c būtų 0, todėl a taip pat bus 0.

a = c = 0

Jei mes įtraukiame šį rezultatą į pirmąją lygtį, tada darome išvadą, kad b = 0.

Galiausiai a = b = c = 0, kad būtų galima daryti išvadą, kad vektoriai v1, v2 ir v3 yra tiesiškai nepriklausomi.

Nuorodos

1. Lipschutz, S. 1993. Linijinė algebra. Antrasis leidimas. McGraw-Hill. 167–198.