BENDRAS VEIKSNYS SUGRUPUOJANT TERMINUS: PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Bendras veiksnys grupuojant terminų yra algebrinė procedūra, kuri leidžia jums parašyti keletą algebrinės išraiškos veiksnių formą. Norėdami pasiekti šį tikslą, pirmiausia turite tinkamai grupuoti išraišką ir pastebėti, kad kiekviena tokiu būdu suformuota grupė iš tikrųjų turi bendrą veiksnį.

Norint teisingai pritaikyti techniką, reikia šiek tiek treniruotis, tačiau per trumpą laiką to neišmokite. Pirmiausia pažvelkime į iliustracinį pavyzdį, aprašytą žingsnis po žingsnio. Tada skaitytojas gali pritaikyti tai, ko išmoko, kiekviename pratime, kuris pasirodys vėliau.

Paveikslėlis, paimantis bendrą veiksnį, sugrupuojant terminus, palengvina darbą su algebrinėmis išraiškomis. Šaltinis: „Pixabay“.

Pavyzdžiui, tarkime, kad reikia atsižvelgti į šią išraišką:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ši algebrinė išraiška susideda iš 4 monomialų ar terminų, atskirtų + ir - ženklais, būtent:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Atidžiai žiūrint, x yra būdingas pirmiesiems trims, bet ne paskutiniajam, tuo tarpu y yra būdingas antrajam ir ketvirtajam, o z yra būdingas trečiajam ir ketvirtajam.

Taigi iš principo nėra bendro keturių terminų faktoriaus tuo pačiu metu, tačiau jei jie yra sugrupuoti taip, kaip bus parodyta kitame skyriuje, gali būti, kad atsiras vienas, kuris padeda parašyti išraišką kaip dviejų ar daugiau produktų sandaugą. faktoriai.

Pavyzdžiai

Faktoriaus išraiška: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

1 žingsnis : grupė

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

2 žingsnis: Raskite bendrą kiekvienos grupės veiksnį

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (+ 3zx 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Aš VARBU : neigiamas ženklas taip pat yra bendras veiksnys, kuris turi būti atsižvelgta.

Dabar atkreipkite dėmesį, kad skliausteliuose (x + y) pakartojami du terminai, gauti grupuojant. Tai yra bendras veiksnys, kurio buvo siekiama.

3 žingsnis: Faktorizuokite visą išraišką

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3Z)

Su ankstesniu rezultatu buvo pasiektas faktoringo tikslas, kuris yra ne kas kita, kaip paversti algebrinę išraišką, pagrįstą terminų pridėjimais ir atimtimis, į dviejų ar daugiau veiksnių, mūsų pavyzdyje, sandaugą: (x + y) ir (2x - 3z).

Svarbūs klausimai apie bendrą veiksnį suskirstant į grupes

1 klausimas : Kaip žinoti, kad rezultatas teisingas?

Atsakymas : Paskirstymo savybė taikoma gautam rezultatui, o sumažinus ir supaprastinus, tokiu būdu pasiekta išraiška turi atitikti originalą, jei ne, yra klaida.

Ankstesniame pavyzdyje mes dirbame atvirkščiai su rezultatu, norėdami patikrinti, ar jis teisingas:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Kadangi priedų eiliškumas sumos nekeičia, pritaikius paskirstomąjį turtą, grąžinamos visos pradinės sąlygos, įskaitant ženklus, todėl faktorizavimas yra teisingas.

2 klausimas: ar ji galėjo būti sugrupuota kitaip?

Atsakymas: Yra algebrinės išraiškos, leidžiančios daugiau nei vieną grupavimo formą, o kitos - ne. Pasirinktame pavyzdyje skaitytojas gali pats išbandyti kitas galimybes, pavyzdžiui, grupuoti taip:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Ir jūs galite patikrinti, ar rezultatas yra toks pat, koks buvo gautas čia. Surasti optimalų grupavimą yra praktikos dalykas.

3 klausimas: Kodėl reikia paimti bendrą veiksnį iš algebrinės išraiškos?

Atsakymas : nes yra programų, kuriose faktinė išraiška palengvina skaičiavimus. Pavyzdžiui, tarkime, kad norite 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy padaryti lygią 0. Kokios yra galimybės?

Norint atsakyti į šį klausimą, faktinė versija yra daug naudingesnė nei originali plėtra. Teigiama, kad taip:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Viena galimybė, kad išraiška yra verta 0, yra ta, kad x = -y, neatsižvelgiant į z reikšmę. O kita yra tai, kad x = (3/2) z, neatsižvelgiant į y reikšmę.

Pratimai

- 1 pratimas

Ištraukite šios išraiškos bendrąjį veiksnį, sugrupuodami terminus:

ax + ay + bx + by

Sprendimas

Pirmieji du yra sugrupuoti su bendru koeficientu „a“, o paskutiniai du - su bendruoju koeficientu „b“:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Tai padarius, paaiškėja naujas bendras veiksnys, kuris yra (x + y), kad:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Kitas būdas grupuoti

Ši išraiška palaiko kitą grupavimo būdą. Pažiūrėkime, kas nutiks, jei terminai bus pertvarkyti ir sudaroma grupė su tais, kuriuose yra x, ir su tais, kuriuose yra y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Tokiu būdu naujas bendras veiksnys yra (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Tai lemia tą patį rezultatą iš pirmosios išbandytos grupės.

- 2 pratimas

Šią algebrinę išraišką reikia parašyti kaip dviejų veiksnių sandaugą:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Sprendimas

Šį posakį sudaro 6 terminai. Pabandykime sugrupuoti pirmą ir ketvirtą, antrą ir trečią bei pagaliau penktą ir šeštą:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Dabar kiekvienas skliaustelis pateiktas atsižvelgiant į:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b)

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad situacija buvo sudėtinga, tačiau skaitytojo nereikėtų gąsdinti, nes ketiname perrašyti paskutinę kadenciją:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Pastarieji du terminai dabar turi bendrą veiksnį, kuris yra (3b-a), todėl juos galima atsižvelgti. Labai svarbu nepamiršti pirmosios kadencijos ² (3a - 1), kuri ir toliau turi būti pridedama kaip priedas, net jei su ja nedirbate:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Išraiška buvo sumažinta iki dviejų terminų ir paskutiniame, kuris yra „b“, atrandamas naujas bendras veiksnys. Dabar lieka:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Kitas bendras faktorius, kuris pasirodys, yra 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Arba, jei norite, be skliaustų:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Ar skaitytojas gali rasti kitą grupavimo būdą, kuris lemia tą patį rezultatą?

2 pav. Siūlomi faktoringo pratimai. Šaltinis: F. Zapata.

Nuorodos

1. Baldor, A. 1974. Pradinė algebra. Venesolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
3. Pagrindiniai faktoringo atvejai. Atkurta iš: julioprofe.net.
4. UNAM. Pagrindinė matematika: Faktorizacija pagal terminų grupavimą. Apskaitos ir administravimo fakultetas.
5. Zill, D. 1984. Algebra ir trigonometrija. „MacGraw Hill“.