FAKTORINGAS: METODAI IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Faktorizavimas yra metodas, pagal kurį daugianario yra išreikštas koeficientus, kurios gali būti numeriai arba raidės arba abu. Pabrėžtina, kad terminams būdingi veiksniai yra sugrupuoti į grupes, ir tokiu būdu polinomas yra suskaidomas į keletą polinomų.

Taigi, kai faktoriai dauginami kartu, rezultatas yra pirminis daugianaris. Faktoringas yra labai naudingas metodas, kai turite algebrines išraiškas, nes jį galima paversti kelių paprastų terminų daugyba; pvz .: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Yra atvejų, kai polinomo negalima atsižvelgti, nes tarp jo terminų nėra bendro veiksnio; taigi, šios algebrinės išraiškos dalijamos tik savaime ir 1. Pavyzdžiui: x + y + z.

Algebrinėje išraiškoje bendras veiksnys yra didžiausias jį sudarančių terminų bendras daliklis.

Faktoringo metodai

Yra keli faktoringo metodai, kurie taikomi atsižvelgiant į atvejį. Kai kurie iš jų yra šie:

Faktoringas pagal bendrą faktorių

Taikant šį metodą nustatomi bendri veiksniai; tai yra tie, kurie pakartojami išraiškos terminais. Tada taikoma paskirstomoji savybė, imamas didžiausias bendrasis daliklis ir faktoringas baigtas.

Kitaip tariant, nustatomas bendras išraiškos veiksnys ir kiekvienas terminas yra padalijamas iš jo; Gauti terminai bus padauginti iš didžiausio bendro daliklio, kad išreikštų faktorizaciją.

1 pavyzdys

Faktorius (b ² x) + (b ² y).

Sprendimas

Pirmiausia sužinokite bendrą kiekvieno termino koeficientą, kuris šiuo atveju yra b ² , ir tada padalinkite terminus iš bendro faktoriaus taip:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorizacija išreiškiama, dauginant bendrą koeficientą iš gautų terminų:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

2 pavyzdys

Faktorius (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Sprendimas

Šiuo atveju turime du veiksnius, kurie pasikartoja kiekvienoje sąvokoje, kurie yra „a“ ir „b“ ir kurie yra pakeliami į galią. Norėdami juos įvertinti, pirmiausia suskaidomi du terminai:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Galima pastebėti, kad faktorius „a“ pakartojamas tik kartą per antrą terminą, o faktorius „b“ pakartojamas du kartus; taigi per pirmąją kadenciją išlieka tik 2, „a“ ir „b“; tuo tarpu antroje kadencijoje liko tik 3.

Todėl kartojimai „a“ ir „b“ yra užrašomi ir padauginami iš faktorių, likusių nuo kiekvieno termino, kaip parodyta paveikslėlyje:

Grupinis faktoringas

Kadangi ne visais atvejais didžiausias bendras polinomo daliklis yra aiškiai išreikštas, būtina atlikti kitus veiksmus, kad būtų galima perrašyti polinomą ir tokiu būdu sudaryti koeficientą.

Vienas iš šių etapų yra polinomo terminų grupavimas į keletą grupių, o tada naudojamas bendrojo faktoriaus metodas.

1 pavyzdys

Koeficientas ac + bc + ad + bd.

Sprendimas

Yra 4 veiksniai, kai du yra bendri: pirmuoju terminu jis yra „c“, o antruoju - „d“. Tokiu būdu du terminai yra sugrupuojami ir atskirti:

(ac + bc) + (ad + bd).

Dabar galima taikyti bendrojo koeficiento metodą, padalijant kiekvieną terminą iš jo bendrojo koeficiento ir padauginus tą bendrą koeficientą iš gautų terminų, kaip šis:

(ac + bc) / c = a + b

(skelbimas + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Dabar mes gauname abipusį terminą, kuris yra įprastas abiem sąvokoms. Norėdami tai faktorizuoti, jis padauginamas iš likusių faktorių; tokiu būdu jūs turite:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Tikrinimo faktoringas

Šis metodas naudojamas norint įvertinti kvadratinius polinomus, dar vadinamus trinominiais; y., tie, kurie susisteminti kaip ax ² ± bx + c, kur „a“ reikšmė skiriasi nuo 1. Šis metodas taip pat naudojamas, kai trinominė forma yra x ² ± bx + c ir „a“ reikšmė = 1.

1 pavyzdys

Faktorius x ² + 5x + 6.

Sprendimas

Turime kvadratinę trinomąją formą x ² ± bx + c. Norėdami tai faktoriuoti, pirmiausia turite rasti du skaičius, kurie, padauginus iš jų, gauna c reikšmę (tai yra 6) ir kad jų suma yra lygi koeficientui «b», kuris yra 5. Tie skaičiai yra 2 ir 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tokiu būdu posakis supaprastinamas taip:

(x ² + 2x) + (3 x + 6)

Kiekvienas terminas yra atsižvelgiama į:

- Dėl (x ² + 2x) vartojamas bendras terminas: x (x + 2)

- Skirta (3x + 6) = 3 (x + 2)

Taigi išraiška yra tokia:

x (x +2) + 3 (x +2).

Kadangi turime bendrą binomį, norėdami sumažinti išraišką, dauginame tai iš likusių terminų ir turime:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2 pavyzdys

4a faktorius ² + 12a + 9 = 0.

Sprendimas

Turime kvadrato formos trinominę formos ašį ² ± bx + cy, kad ją koeficientuotume, visą išraišką padauginkite iš koeficiento x ² ; šiuo atveju 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Dabar mes turime rasti du skaičius, kurie, padauginus vienas iš kito, gauna "c" reikšmę (kuri yra 36) ir kurie, sudėjus kartu, suteikia termino "a" koeficientą, kuris yra 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tokiu būdu išraiška perrašoma atsižvelgiant į tai, kad 4 ² a ² = 4a _* 4a. Todėl paskirstomasis turtas galioja kiekvienai kadencijai:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Galiausiai išraiška dalijama iš koeficiento ² ; tai yra 4:

(4 + 6) _* (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) _* ((4 + 6) / 2).

Išraiška yra tokia:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoringas žymiais produktais

Yra atvejų, kai norint dauginti polinomus aukščiau aprašytais metodais, tai tampa labai ilgu procesu.

Štai kodėl išraišką galima sukurti naudojant puikių gaminių formules ir tokiu būdu procesas tampa paprastesnis. Tarp plačiausiai naudojamų žymių gaminių yra:

- Dviejų kvadratų skirtumas: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Puikus sumos kvadratas: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- tobulas skirtumo kvadratas: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Dviejų kubelių skirtumas: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Dviejų kubelių suma: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

1 pavyzdys

Koeficientas (5 ² - x ² )

Sprendimas

Tokiu atveju skiriasi du kvadratai; todėl taikoma nuostabi produkto formulė:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

2 pavyzdys

Faktorius 16x ² + 40x + 25 ²

Sprendimas

Tokiu atveju turite tobulą sumos kvadratą, nes galite identifikuoti du terminus kvadratu, o likęs terminas yra rezultatas, padauginus juos iš pirmosios kadencijos kvadratinės šaknies, iš antrosios kadencijos kvadratinės šaknies.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Apskaičiuojamos tik pirmosios ir trečiosios sąvokos kvadratinės šaknys:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Tada du gauti terminai išreiškiami atskyrus operacijos ženklą, o visas polinomas yra kvadratas:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

3 pavyzdys

27a faktorius ³ - b ³

Sprendimas

Išraiška žymi atimtį, kai du faktoriai yra dalijami į dalis. Norint juos įskaityti, taikoma žymių kubelių skirtumo produkto formulė, kuri yra:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Taigi, norint paimti koeficientą, paimamos kiekvienos binomio dalies kubo šaknys ir padauginamos iš pirmojo dėmens kvadrato, pridedant pirmojo sandauga iš antrosios dėžės, pridėjus antrosios dėžės kvadratą.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Faktoringas su Ruffini taisykle

Šis metodas naudojamas, kai jūsų polinomas yra didesnis nei du, siekiant supaprastinti išraišką į kelis mažesnio laipsnio polinomus.

1 pavyzdys

Koeficientas Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Sprendimas

Pirmiausia ieškome skaičių, kurie dalijasi iš 12, tai yra savarankiškas terminas; Tai yra ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ir ± 12.

Tada x pakeičiamas šiomis reikšmėmis, nuo žemiausios iki didžiausios, ir tokiu būdu nustatoma, su kuria iš verčių padalijimas bus tikslus; tai yra, likusi dalis turi būti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Ir taip toliau kiekvienam dalikliui. Šiuo atveju rasti koeficientai yra x = -1 ir x = 2.

Dabar taikomas Ruffini metodas, pagal kurį išraiškos koeficientai bus padalyti iš rastų faktorių, kad padalijimas būtų tikslus. Polinomo terminai yra išdėstomi nuo aukščiausio iki žemiausio eksponento; tuo atveju, kai sekos nėra kito laipsnio terminui, jo vietoje yra 0.

Koeficientai išdėstyti schemoje, kaip parodyta šiame paveikslėlyje.

Pirmasis koeficientas sumažinamas ir padauginamas iš daliklio. Tokiu atveju pirmasis daliklis yra -1, o rezultatas dedamas į kitą stulpelį. Tada koeficiento vertė su gautu rezultatu pridedama vertikaliai ir rezultatas pateikiamas žemiau. Tokiu būdu procesas kartojamas iki paskutinio stulpelio.

Tada ta pati procedūra pakartojama dar kartą, tačiau naudojant antrąjį daliklį (kuris yra 2), nes išraiška vis tiek gali būti supaprastinta.

Taigi, už kiekvieną gautą šaknį polinomas turės terminą (x - a), kur „a“ yra šaknies reikšmė:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Kita vertus, šiuos terminus reikia padauginti iš likusių Ruffini taisyklių 1: 1 ir -6, kurie yra laipsnį atspindintys veiksniai. Tokiu būdu susidaro išraiška: (x ² + x - 6).

Polinomo faktorizacijos Ruffini metodu rezultatas gaunamas taip:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Galiausiai ankstesnio posakio 2 laipsnio polinomas gali būti perrašytas kaip (x + 3) (x-2). Todėl galutinis faktorizavimas yra toks:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Nuorodos

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
2. J, V. (2014). Kaip išmokyti vaikus apie daugianario faktoriavimą.
3. Manuelis Morillo, AS (sf). Pagrindinė matematika su programomis.
4. Roelse, PL (1997). Linijiniai polinominės faktorizacijos per baigtinius laukus metodai: teorija ir įgyvendinimai. Eseno universitetas.
5. Sharpe, D. (1987). Žiedai ir faktorizavimas.