DALINĖS TRUPMENOS: ATVEJAI IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Kad daliniai frakcijos yra frakcijos, kurias sudaro Polinomas, į kurios vardiklyje gali būti linijinė arba kvadratinė daugianario ir, be to, jis gali būti pakeltas tam tikru galios. Kartais, kai turime racionalias funkcijas, labai naudinga šią funkciją perrašyti kaip dalinių trupmenų arba paprastų trupmenų sumą.

Taip yra todėl, kad tokiu būdu galime geriau manipuliuoti šiomis funkcijomis, ypač tais atvejais, kai būtina integruoti minėtą programą. Racionalioji funkcija yra tiesiog dviejų polinomų santykis, ir jie gali būti tinkami arba netinkami.

Jei skaitiklio polinomo laipsnis yra mažesnis už vardiklį, jis vadinamas racionaliąja tinkama funkcija; kitaip jis žinomas kaip netinkama racionali funkcija.

Apibrėžimas

Kai turime netinkamą racionalią funkciją, skaitiklio daugianarį galime padalyti iš vardiklio daugianario ir taip perrašyti trupmeną p (x) / q (x), atlikdami padalijimo algoritmą kaip t (x) + s (x) / q (x), kur t (x) yra polinomas, o s (x) / q (x) yra tinkama racionalioji funkcija.

Dalinė trupmena yra bet kuri tinkama daugianario funkcija, kurios vardiklis yra formos (ax + b) ⁿ arba (ax ² + bx + c) ^{n formos} , jei daugianario ašis ² + bx + c neturi tikrųjų šaknų, o n yra skaičius natūralus.

Norint perrašyti racionaliąją funkciją dalimis, pirmiausia reikia padalyti vardiklį q (x) kaip tiesinių ir (arba) kvadratinių koeficientų sandaugą. Tai padarius, nustatomos dalinės frakcijos, kurios priklauso nuo šių veiksnių pobūdžio.

Atvejai

Keletą atvejų nagrinėjame atskirai.

1 atvejis

Visi q (x) koeficientai yra tiesiniai ir nė vieno pakartojami. Tai yra:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Nėra jokio tiesinio faktoriaus, tapataus kitam. Kai įvyks šis atvejis, parašysime:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Kur A ₁ , A ₂ ,…, A _s yra rastos konstantos.

Pavyzdys

Mes norime racionaliąją funkciją suskaidyti į paprastas dalis:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Mes pereiname prie vardiklio, tai yra:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Tada:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Taikant mažiausiai paplitusį kartotinį, galima gauti:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Norime gauti konstantų A, B ir C reikšmes, kurias galima rasti pakeičiant šaknis, panaikinančias kiekvieną iš terminų. Pakaitą 0 už x turime:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Pakaitą - 1 x turime:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Pakaitą - 2 x turime:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Tokiu būdu gaunamos reikšmės A = –1/2, B = 2 ir C = –3/2.

Yra dar vienas būdas gauti A, B ir C reikšmes. Jei dešinėje lygties pusėje x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x mes deriname terminus, turime:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Kadangi tai yra polinomų lygybė, mes manome, kad kairėje pusėje esantys koeficientai turi būti lygūs dešinėje. Tai lemia tokią lygčių sistemą:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Išspręsdami šią lygčių sistemą, gauname rezultatus A = –1/2, B = 2 ir C = –3 / 2.

Galiausiai, pakeisdami gautas vertes, turime:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2 atvejis

Visi q (x) faktoriai yra tiesiniai ir kai kurie kartojasi. Tarkime, kad (ax + b) yra faktorius, kuris kartoja „s“ kartus; tada šis koeficientas atitinka „s“ dalinių trupmenų sumą.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Kur A _s , A _s-1 ,…, A ₁ yra konstantos, kurias reikia nustatyti. Šiame pavyzdyje parodysime, kaip nustatyti šias konstantas.

Pavyzdys

Skaidomas į dalis iš frakcijų:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Racionaliąją funkciją kaip dalinių trupmenų sumą surašome taip:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

Tada:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Pakaitomis 2 pažymėdami x, mes turime tai:

7 = 4C, tai yra, C = 7/4.

Pakaitą 0 už x turime:

- 1 = –8A arba A = 1/8.

Pakeisdami šias reikšmes ankstesnėje lygtyje ir plėtodami, mes turime tai:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Lyginant koeficientus, gauname tokią lygčių sistemą:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Spręsdami sistemą, turime:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Tam mes turime:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

3 atvejis

Q (x) koeficientai yra tiesiniai kvadratiniai, be pakartotinių kvadratinių faktorių. Tokiu atveju kvadratinis koeficientas (ax ² + bx + c) atitiks dalinę trupmeną (Ax + B) / (ax ² + bx + c), kur turi būti nustatytos konstantos A ir B.

Šis pavyzdys parodo, kaip elgtis tokiu atveju

Pavyzdys

Skilkite į paprastas trupmenas a (x + 1) / (x ³ - 1).

Pirmiausia pereiname prie vardiklio faktoriaus, kuris mums suteikia:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Galime pastebėti, kad (x ² + x + 1) yra nedalomas kvadratinis polinomas; tai yra, jis neturi tikrųjų šaknų. Jo skaidymas į dalis bus toks:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Iš to gaunama tokia lygtis:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Naudodamiesi polinomų lygybe, gauname tokią sistemą:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Iš šios sistemos mes turime, kad A = 2/3, B = - 2/3 ir C = 1/3. Pakaitiniai, mes turime tai:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

4 atvejis

Galiausiai 4 atvejis yra tas, kuriame q (x) koeficientai yra tiesiniai ir kvadratiniai, kai pasikartoja kai kurie tiesiniai kvadratiniai faktoriai.

Tokiu atveju, jei (ax ² + bx + c) yra kvadratinis faktorius, kuris kartojasi "s" kartus, tada koeficientą atitinkanti dalinė trupmena (ax ² + bx + c) bus:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (kirvis ² + bx + c) ^s

Kur A _s , A _s-1 ,…, A ir B _s , B _{s – 1} ,…, B yra nustatomos konstantos.

Pavyzdys

Norime išskaidyti šią racionaliąją funkciją į dalis:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Kadangi x ² - 4x + 5 yra nesumažinamas kvadratinis koeficientas, manome, kad jo skaidymą į dalines dalis sudaro:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Paprastindami ir plėtodami, mes turime:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, turime šią lygčių sistemą:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Sprendžiant sistemą, mums liko:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ir E = - 3/5.

Pakeisdami gautas vertes, mes turime:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Programos

Integruotasis skaičiavimas

Dalinės frakcijos visų pirma naudojamos tiriant vientisus skaičiavimus. Čia yra keletas pavyzdžių, kaip atlikti integrales, naudojant dalines trupmenas.

1 pavyzdys

Mes norime apskaičiuoti:

Matome, kad vardiklį q (x) = (t + 2) ² (t + 1) sudaro tiesiniai koeficientai, kur vienas iš jų kartojamas; Štai kodėl mes esame 2 atveju.

Mes privalome:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Mes perrašome lygtį ir turime:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Jei t = - 1, turime:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jei t = - 2, tai suteikia mums:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Tada, jei t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Pakeitus A ir C reikšmes:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iš to, kas pasakyta, turime B = - 1.

Integralas perrašomas taip:

Mes tai išspręsime pakeitimo metodu:

Tai yra rezultatas:

2 pavyzdys

Išspręskite šį integralą:

Tokiu atveju aq (x) = x ² - 4 koeficientą galime apskaičiuoti kaip q (x) = (x - 2) (x + 2). Aišku, esame 1 atveju. Todėl:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Tai taip pat galima išreikšti:

5x – 2 = A (x + 2) + B (x – 2)

Jei x = - 2, turime:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ir jei x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Taigi mums liko spręsti nurodytas integralas yra lygiavertis sprendimui:

Dėl to gauname:

3 pavyzdys

Išspręskite integralą:

Turime q (x) = 9x ⁴ + x ² , kuriuos galime įskaičiuoti į q (x) = x ² (9x ² + 1).

Šį kartą turime pakartotinį tiesinį koeficientą ir kvadratinį koeficientą; tai yra, mes esame 3 atveju.

Mes privalome:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Grupuodami ir naudodami vienodus polinomus, turime:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iš šios lygčių sistemos turime:

D = - 9 ir C = 0

Tokiu būdu mes turime:

Išspręsdami tai, kas išdėstyta aukščiau, turime:

Masinio veiksmo dėsnis

Įdomus dalinių trupmenų, taikomų vientisiesiems skaičiavimams, taikymas yra chemijoje, tiksliau - masinio veikimo dėsnyje.

Tarkime, kad mes turime dvi medžiagas A ir B, kurios sujungtos ir sudaro medžiagą C, kad C kiekio darinys laiko atžvilgiu būtų proporcingas A ir B kiekių sandaugai bet kuriuo momentu.

Masinių veiksmų dėsnį galime išreikšti taip:

Šioje išraiškoje α yra pradinis gramų skaičius, atitinkantis A, ir β pradinis gramų skaičius, atitinkantis B.

Be to, r ir s žymi atitinkamai A ir B gramų skaičių, kurie sujungiami ir sudaro R + s gramus C. Savo ruožtu x žymi medžiagos C gramų skaičių t metu, o K yra proporcingumo konstanta. Aukščiau pateiktą lygtį galima perrašyti taip:

Atliekami šie pakeitimai:

Mes turime tokią lygtį:

Iš šios išraiškos galime gauti:

Jei, jei ≠b, integracijai gali būti naudojamos dalinės trupmenos.

Pavyzdys

Paimkime, pavyzdžiui, medžiagą C, susidarančią sujungus medžiagą A su B taip, kad būtų laikomasi masės dėsnio, kai a ir b vertės yra atitinkamai 8 ir 6. Pateikite lygtį, kuri mums suteikia C gramų kaip laiko funkcijos vertę.

Pakeisdami duoto masės įstatymo vertybes, mes turime:

Atskirdami kintamuosius turime:

Čia 1 / (8 - x) (6 - x) gali būti užrašyti kaip dalinių trupmenų suma:

Taigi 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jei mes x pakeičiame 6, turime B = 1/2; ir pakeisdami x x, mes turime A = - 1/2.

Integruojame dalimis, kurias turime:

Dėl to gauname:

Diferencialinės lygtys: logistinė lygtis

Kitas taikymas, kurį galima duoti dalinėms dalims, yra logistinėje diferencialinėje lygtyje. Paprastuose modeliuose populiacijos augimo tempas yra proporcingas jos dydžiui; tai yra:

Šis atvejis yra idealus ir laikomas realiu, kol neatsitiks taip, kad sistemoje turimų išteklių nepakanka gyventojams palaikyti.

Šiose situacijose protingiausias dalykas yra galvoti, kad yra maksimalus pajėgumas, kurį mes vadinsime L, kad sistema gali palaikyti ir kad augimo greitis yra proporcingas gyventojų skaičiui, padaugintam iš turimo dydžio. Šis argumentas lemia šią diferencialinę lygtį:

Ši išraiška vadinama logistine diferencialine lygtimi. Tai yra atskiriama diferencialinė lygtis, kurią galima išspręsti dalinės frakcijos integracijos metodu.

Pavyzdys

Pavyzdys galėtų būti populiacija, auganti pagal šią logistinę diferencialinę lygtį y '= 0,0004y (1000 - y), kurios pradiniai duomenys yra 400. Mes norime žinoti populiacijos dydį t = 2, kur t matuojamas. metais.

Jei parašysime y 'su Leibnizo žymėjimu kaip funkcija, kuri priklauso nuo t, turime:

Kairėje esančią integraciją galima išspręsti naudojant dalinės frakcijos integravimo metodą:

Šią paskutinę lygybę galime perrašyti taip:

- Pakeitę y = 0, turime, kad A yra lygus 1/1000.

- Pakeitę y = 1000, turime B, kad jis lygus 1/1000.

Esant šioms vertėms, integralas yra toks:

Sprendimas yra:

Naudojant pradinius duomenis:

Kai išvalome ir mes turime:

Tada turime, kad t = 2:

Apibendrinant galima pasakyti, kad po 2 metų gyventojų skaičius yra maždaug 597,37.

Nuorodos

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Leidinių taryba.
2. Cortez, I., ir Sanchez, C. (nd). 801 Skyrieji integralai. Tachiros nacionalinis eksperimentinis universitetas.
3. Leithold, L. (1992). Skaičiavimas naudojant analitinę geometriją. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
5. Saenz, J. (nd). Integruotasis skaičiavimas. Hipotenuzė.