EUKLIDO GEOMETRIJA: ISTORIJA, PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Į Euklido geometrija atitinka geometrinio erdvių savybių kur Euklido aksiomos yra patenkinti studijų. Nors šis terminas kartais naudojamas apimti geometrijas, turinčias didesnius matmenis, turinčius panašias savybes, jis paprastai yra klasikinės arba plokštumos geometrijos sinonimas.

III a. C. Euclidesas ir jo mokiniai parašė „Elementus“ - darbą, apimantį to meto matematines žinias, turinčius loginę-dedukcinę struktūrą. Nuo to laiko geometrija tapo mokslu, iš pradžių sprendžiančiu klasikines problemas, ir išsivystė į formuojamąjį mokslą, padedantį samprotauti.

Istorija

Norint pakalbėti apie Euklido geometrijos istoriją, būtina pradėti nuo Aleksandrijos ir Elementų Euklido.

Kai Egiptas buvo paliktas Ptolemėjaus I rankose, mirus Aleksandrui Didžiajam, jis pradėjo savo projektą Aleksandrijos mokykloje.

Tarp mokykloje mokančių išminčių buvo Euklidas. Spėjama, kad jis gimė maždaug 325 m. Pr. Kr. C. ir jo mirties 265 a. C. Mes galime užtikrintai žinoti, kad jis lankė Platono mokyklą.

Daugiau nei trisdešimt metų Euklidas mokė Aleksandrijoje, kurdamas garsiuosius jos elementus: jis pradėjo rašyti išsamų savo laiko matematikos aprašą. Euklido mokymai užaugino puikius mokinius, tokius kaip Archimedas ir Pergos Apolonijus.

Euklidas buvo atsakingas už skirtingų senovės graikų atradimų struktūrizavimą Elementuose, tačiau skirtingai nei jo pirmtakai, jis neapsiriboja tvirtindamas, kad teorema yra tiesa; Euklidas siūlo demonstraciją.

„Elementai“ yra trylikos knygų rinkinys. Po Biblijos ji yra labiausiai išleista knyga, turinti daugiau nei tūkstantį leidimų.

Euklido elementai

Elementai yra Euklido šedevras geometrijos srityje ir siūlo aiškų dviejų matmenų (plokštumos) ir trijų matmenų (erdvės) geometrijos apdorojimą. Tai yra kilmė to, ką mes dabar žinome kaip Euklido geometrija. .

Pagrindinės sąvokos

Elementus sudaro apibrėžimai, bendros sąvokos ir postulatai (arba aksiomos), po kurių pateikiamos teoremos, konstrukcijos ir įrodymai.

- Esmė ta, kuri neturi dalių.

- Linija yra ilgis, kuris neturi pločio.

- Tiesi linija yra lygi ties taškų, kurie yra joje, atžvilgiu.

- Jei dvi linijos supjaustomos taip, kad gretimi kampai būtų lygūs, kampai vadinami tiesiomis linijomis, o tiesės vadinamos statmenomis.

- Lygiagrečios linijos yra tos, kurios, būdamos toje pačioje plokštumoje, niekada nesikerta.

Po šių ir kitų apibrėžimų Euklidas pateikia mums penkių postulatų ir penkių sąvokų sąrašą.

Bendrosios sąvokos

- Du dalykai, kurie yra lygūs trečdaliui, yra lygūs vienas kitam.

- Jei prie tų pačių dalykų pridedami tie patys dalykai, rezultatai yra tie patys.

- Jei iš vienodų dalykų atimami vienodi dalykai, rezultatai yra lygūs.

- Dalykai, kurie sutampa, yra lygūs.

- Iš viso yra daugiau nei dalis.

Postulatai ar aksiomos

- Viena ir tik viena linija eina per du skirtingus taškus.

- Tiesias linijas galima pratęsti neribotą laiką.

- Galite piešti apskritimą su bet kokiu centru ir bet kokiu spinduliu.

- Visi stačiakampiai yra lygūs.

- Jei tiesi linija kerta dvi tiesias linijas, kad vidiniai tos pačios pusės kampai sudarytų mažiau nei du stačiakampius, tada dvi linijos kirs toje pusėje.

Šis paskutinis postulatas yra žinomas kaip lygiagretus postulatas ir buvo suformuluotas taip: "Taškui už linijos galima brėžti vieną lygiagrečią nurodytai linijai".

Pavyzdžiai

Toliau kai kurios elementų teoremos parodys geometrinių erdvių, kuriose įvykdyti penki Euklido postulatai, savybes; Be to, jie paaiškins šio matematiko naudojamus loginius-dedukcinius samprotavimus.

Pirmas pavyzdys

1.4 pasiūlymas. (LAL)

Jei du trikampiai turi dvi puses, o kampas tarp jų yra lygus, tada kitos pusės ir kiti kampai yra lygūs.

Demonstracija

Tegul ABC ir A'B'C 'yra du trikampiai, kurių AB = A'B', AC = A'C ', o kampai BAC ir B'A'C' yra lygūs. Perkelkime trikampį A'B'C 'taip, kad A'B' sutampa su AB, o kampas B'A'C 'sutampa su kampu BAC.

Taigi linija A'C 'sutampa su linija AC, taigi C' sutampa su C. Tada, tariant 1 postulatu, linija BC turi sutapti su linija B 'C'. Todėl du trikampiai sutampa ir todėl jų kampai ir kraštai yra vienodi.

Antras pavyzdys

1.5 pasiūlymas. (

Tarkime, kad trikampis ABC turi lygias puses AB ir AC.

Taigi, trikampiai ABD ir ACD turi dvi lygias puses, o kampai tarp jų yra lygūs. Taigi pagal 1.4 teiginį kampai ABD ir ACD yra lygūs.

Trečias pavyzdys

1.31 pasiūlymas

Galite nubrėžti liniją, lygiagrečią tam tikro taško suteiktai linijai.

Pastatas

Atsižvelgiant į liniją L ir tašką P, linija M brėžiama per P ir kerta L. Tada linija N brėžiama per P, kertančią L. Dabar linija N brėžiama per P, kertančią M, sudarydami kampą, lygų tam, kurį L sudaro su M.

Patvirtinimas

N yra lygiagreti L.

Demonstracija

Tarkime, kad L ir N nėra lygiagretės ir kerta tašką A. Leiskite B būti taške L, esančiame už A ribos. Panagrinėkime tiesę O, einančią per B ir P. Tada O kerta M taškais, kurie sudaro mažesnį nei du tiesiai.

Tada 1,5 tiesės O turi kirsti liniją L kitoje M pusėje, taigi L ir O susikerta dviejuose taškuose, o tai prieštarauja 1 postulatui. Todėl L ir N turi būti lygiagrečios.

Nuorodos

1. Geometrijos elementai. Nacionalinis Meksikos autonominis universitetas
2. Euklidas. Pirmosios šešios knygos ir vienuoliktoji ir dvyliktoji Euklido elementai
3. „Eugenio Filloy Yague“. Euklido geometrijos didaktika ir istorija, „Grupo“ redakcija „Iberoamericano“
4. K. Ribnikovas. Matematikos istorija. „Mir“ redakcija
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redakcija Venesolana CA