- Polinomo laipsnio pavyzdžiai
- 1 lentelė. Polinomų pavyzdžiai ir jų laipsniai
- Darbo su polinomais tvarka
- Užsakykite, sumažinkite ir užpildykite polinomą
- Polinomo laipsnio svarba sudėjus ir atimant
- Išspręsta mankšta
- - Pratimas išspręstas 1
- Sprendimas
- - Pratimas išspręstas 2
- Sprendimas
- Nuorodos
Iš daugianario laipsnis į kintamojo pateikiamas pagal terminą, kuris turi didžiausią atstovas, ir jei daugianario turi du ar daugiau kintamųjų, tada laipsnis yra nustatomas pagal kiekvienos kadencijos rodiklių suma, tuo didesnė suma yra laipsnis polinomo.
Pažiūrėkime, kaip praktiškai nustatyti polinomo laipsnį.
1 pav. Garsioji Einšteino energijos lygtis E yra kintamos masės absoliučiojo laipsnio 1 laipsnio monomija, žymima m, nes šviesos greitis c laikomas pastoviu. Šaltinis: Piqsels.
Tarkime, kad polinomas P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Šis daugianaris yra vienas kintamasis, šiuo atveju tai yra kintamasis x. Polinomą sudaro keli terminai, kurie yra šie:
O kas yra eksponentas? Atsakymas yra 3. Todėl P (x) yra 3 laipsnio polinomas.
Jei nagrinėjama polinoma turi daugiau nei vieną kintamąjį, laipsnis gali būti:
-Atsprendžiu
-Susiję su kintamuoju
Absoliutusis laipsnis randamas taip, kaip paaiškinta pradžioje: sudėjus kiekvieno termino eksponentus ir pasirenkant didžiausią.
Vietoj to, daugianario laipsnis vieno iš kintamųjų ar raidžių atžvilgiu yra didžiausia eksponento, kurį ta raidė turi, vertė. Esmė taps aiškesnė pateikiant pavyzdžius ir išspręstus pratimus kituose skyriuose.
Polinomo laipsnio pavyzdžiai
Polinomai gali būti klasifikuojami pagal laipsnį ir gali būti pirmojo, antrojo, trečiojo ir tt laipsnio. 1 paveiksle pateiktame pavyzdyje energija yra masės pirmo laipsnio monomija.
Taip pat svarbu atkreipti dėmesį, kad daugianario terminų skaičius yra lygus laipsniui plius 1. Taigi:
-Pirmojo laipsnio polinomai turi 2 terminus: a 1 x + a o
-Antrasis laipsnio polinomas turi 3 terminus: a 2 x 2 + a 1 x + a o
- Trečiojo laipsnio polinomas turi 4 terminus: 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a arba
Ir taip toliau. Atidus skaitytojas pastebės, kad ankstesniuose pavyzdžiuose polinomai parašyti mažėjančia forma, tai yra, pirmiausia pateikiant terminą su didžiausiu laipsniu.
Šioje lentelėje pateikiami įvairūs polinomai, tiek vienas, tiek keli kintamieji ir jų atitinkami absoliutūs laipsniai:
1 lentelė. Polinomų pavyzdžiai ir jų laipsniai
| Polinomas | Laipsnis |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | vienas |
| x 5 –bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 ir 5 + 5x 2 ir 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Pastarieji du polinomai turi daugiau nei vieną kintamąjį. Iš jų terminas su aukščiausiu absoliučiu laipsniu buvo paryškintas pusjuodžiu šriftu, kad skaitytojas galėtų greitai patikrinti laipsnį. Svarbu atsiminti, kad kai kintamasis neturi rašytinio eksponento, suprantama, kad tas eksponentas yra lygus 1.
Pavyzdžiui, paryškintame terminale ab 3 x 2 yra trys kintamieji, būtent: a, b ir x. Šiuo terminu a padidinamas iki 1, tai yra:
a = a 1
Todėl ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Kadangi eksponentas b yra 3, o x - 2, iš karto darytina išvada, kad šio termino laipsnis yra:
1 + 3 + 2 = 6
Y yra absoliutus polinomo laipsnis, nes joks kitas terminas neturi aukštesnio laipsnio.
Darbo su polinomais tvarka
Dirbant su polinomais, svarbu atkreipti dėmesį į jo laipsnį, nes pirmiausia ir prieš atliekant bet kurią operaciją patogu atlikti šiuos veiksmus, kuriuose laipsnis suteikia labai svarbią informaciją:
- Užsakykite pirmenybės polinomą mažėjančia kryptimi. Taigi terminas su aukščiausiu laipsniu yra kairėje, o terminas su žemiausiu laipsniu yra dešinėje.
- Sumažinkite panašius terminus. Tai procedūra, kurią sudaro algebrai pridedant visus to paties kintamojo ir laipsnio terminus, kurie randami išraiškai.
- Prireikus, polinomai užpildomi, įterpiant terminus, kurių koeficientas yra 0, tuo atveju, jei trūksta terminų su eksponentu.
Užsakykite, sumažinkite ir užpildykite polinomą
Atsižvelgiant į daugianarį P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, prašoma jį užsakyti mažėjančia tvarka, sumažinti panašius terminus, jei tokių yra, ir užpildyti trūkstamus terminus jei tikslus.
Pirmas dalykas, kurio reikia ieškoti, yra terminas, kurio didžiausias eksponentas yra polinomo laipsnis, kuris pasirodo:
x 7
Todėl P (x) yra 7 laipsnio. Tada užsakoma polinomas, pradedant nuo šio termino kairėje:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Dabar panašių terminų yra sumažinta, jie yra šie: - 2x ir 3x, viena vertus. Ir 7 ir -12 kita. Norint juos sumažinti, koeficientai pridedami algebrai ir kintamasis paliekamas nepakeistas (jei kintamasis neatsiranda šalia koeficiento, atsiminkite, kad x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Pakeiskite šiuos rezultatus į P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Galiausiai daugianaris yra ištirtas, norint nustatyti, ar trūksta kokio nors eksponento, ir iš tikrųjų trūksta termino, kurio eksponentas yra 6, todėl jis užbaigiamas nuliais:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Dabar pastebima, kad polinomas liko su 8 terminais, nes, kaip minėta anksčiau, dėmenų skaičius yra lygus laipsniui +1.
Polinomo laipsnio svarba sudėjus ir atimant
Su polinomais galite atlikti sudėjimo ir atimties operacijas, kuriose pridedami arba atimami tik panašūs terminai, kurie yra su tuo pačiu kintamuoju ir tuo pačiu laipsniu. Jei nėra panašių terminų, tiesiog nurodomas sudėjimas arba atimtis.
Sudėjus ar atėmus, kai pastaroji yra priešinga suma, gauto polinomo laipsnis visada yra lygus ar mažesnis už polinomo, pridedančio aukščiausią laipsnį, laipsnį.
Išspręsta mankšta
- Pratimas išspręstas 1
Raskite šią sumą ir nustatykite jos absoliutų laipsnį:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Sprendimas
Tai yra polinomas, turintis du kintamuosius, todėl patogu sumažinti panašius terminus:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Abu terminai yra 3 laipsnio kiekviename kintamajame. Taigi absoliutus polinomo laipsnis yra 3.
- Pratimas išspręstas 2
Toliau pateiktos plokštumos geometrinės figūros plotą išreikškite kaip daugianarę (2 paveikslas kairėje). Koks gaunamos polinomo laipsnis?
2 paveikslas. Kairėje išspausdinto 2 pratimo figūra ir dešinėje ta pati figūra suskaidyta į tris sritis, kurių išraiška yra žinoma. Šaltinis: F. Zapata.
Sprendimas
Kadangi tai yra plotas, gaunamas daugianario kintamojo x laipsnis turi būti 2 laipsnio. Norint nustatyti tinkamą srities išraišką, paveikslas suskaidomas į žinomas sritis:
Stačiakampio ir trikampio plotas yra atitinkamai: bazė x aukštis ir pagrindas x aukštis / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Pastaba : trikampio pagrindas yra 3x - x = 2x, o jo aukštis yra 5.
Dabar pridedamos trys gautos išraiškos, turinčios figūros plotą kaip x funkciją:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Nuorodos
- Baldor, A. 1974. Pradinė algebra. Venesolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
- Wikibooks. Polinomai. Išieškota iš: es. wikibooks.org.
- Vikipedija. Laipsnis (polinomas). Atkurta iš: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra ir trigonometrija. „Mac Graw Hill“.