HOMOTECIJA: SAVYBĖS, TIPAI IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Išsiplėtimas yra geometrinis pokytis plokštumoje, kuri, iš fiksuoto taško vadinamas centro (O), atstumai yra, padaugintas iš bendro daliklio. Tokiu būdu kiekvienas taškas P atitinka kitą taško P 'virsmo sandaugą, ir jie yra suderinti su tašku O.

Taigi, homotezė yra dviejų geometrinių figūrų atitikimas, kai transformuoti taškai yra vadinami homotiškais, o šie yra sulyginti su fiksuotu tašku ir segmentais, lygiagrečiais vienas kitam.

Homofitija

Homoteksija yra transformacija, neturinti suderinto atvaizdo, nes iš figūros bus gauta viena ar kelios figūros, didesnės ar mažesnės nei originali figūra; tai yra, kad homotecija paverčia daugiakampį kitu panašiu.

Norint įvykdyti homoteksiją, taškas-taškas ir linija-linija turi atitikti, kad homologinių taškų poros būtų sulygiuotos su trečiuoju fiksuotu tašku, kuris yra homotelės centras.

Lygiai taip pat ir prie jų prisijungiančios linijų poros turi būti lygiagrečios. Santykis tarp tokių segmentų yra konstanta, vadinama homogeniškumo santykiu (k); tokiu būdu homoteksiją galima apibrėžti kaip:

Norėdami atlikti tokio tipo transformaciją, mes pirmiausia pasirenkame pasirinktą tašką, kuris bus homotezės centras.

Nuo šio taško kiekviena figūros, kurią reikia transformuoti, viršūnė nubrėžta linijomis. Skalė, kuria atkuriama nauja figūra, yra išreikšta homosekcijos santykiu (k).

Savybės

Viena iš pagrindinių homoseksualumo savybių yra ta, kad dėl homotinės priežasties (k) visos homotezės figūros yra panašios. Tarp kitų išskirtinių savybių yra šios:

- Homotelijos centras (O) yra vienintelis dvigubas taškas, kuris virsta savimi; tai yra, jis nesiskiria.

- Linijos, einančios per centrą, virsta pačios (jos yra dvigubos), bet taškai, kurie ją sudaro, nėra dvigubi.

- Linijos, kurios nepraeina per centrą, virsta lygiagrečiomis linijomis; tokiu būdu homoseksualumo kampai išlieka tie patys.

- Segmento vaizdas pagal centro O homografiją ir santykį k. Yra segmentas, lygiagretus šiam ir kurio ilgis k kartų didesnis. Pavyzdžiui, kaip matyti toliau pateiktame paveikslėlyje, segmentas AB pagal homotelę sudarys kitą segmentą A'B ', tokį, kad AB būtų lygiagreti A'B', o k būtų:

- homotetiniai kampai yra suderinti; tai yra, jie ta pati priemonė. Todėl kampo vaizdas yra kampas, kurio amplitudė yra tokia pati.

Kita vertus, mes turime tai, kad homoseksualumas skiriasi priklausomai nuo jo santykio (k) vertės, ir gali nutikti šie atvejai:

- Jei konstanta k = 1, visi taškai yra fiksuoti, nes jie patys transformuojasi. Taigi, homotiška figūra sutampa su originalia, o transformacija bus vadinama tapatybės funkcija.

- Jei k ≠ 1, vienintelis fiksuotas taškas bus homotezės centras (O).

- Jei k = -1, homotezė tampa centrine simetrija (C); ty įvyks sukimasis apie C, 180 ^arba 40 ° kampu .

- Jei k> 1, transformuotos figūros dydis bus didesnis nei originalo.

- Jei 0 <k <1, transformuotos figūros dydis bus mažesnis už originalą.

- Jei -1 <k <0, transformuotos figūros dydis bus mažesnis ir ji bus pasukta originalo atžvilgiu.

- Jei k <-1, transformuotos figūros dydis bus didesnis ir ji bus pasukta originalo atžvilgiu.

Tipai

Aptarimą taip pat galima suskirstyti į dvi rūšis, atsižvelgiant į jo santykio (k) vertę:

Tiesioginė homosekscija

Tai įvyksta, jei konstanta k> 0; tai yra, homotiški taškai yra tos pačios pusės centro atžvilgiu:

Proporcingumo koeficientas arba panašumo santykis tarp tiesioginių homotetinių figūrų visada bus teigiamas.

Atvirkštinė homoseksija

Tai įvyksta, jei konstanta k <0; tai yra, pradiniai taškai ir jų homotetika yra priešinguose galuose homotetikos centro atžvilgiu, bet išlyginti į jį. Centras bus tarp dviejų figūrų:

Proporcingumo koeficientas arba panašumo santykis tarp atvirkštinių homotetinių figūrų visada bus neigiamas.

Sudėtis

Kai keli judesiai paeiliui atliekami tol, kol gaunama figūra, lygi originalui, susidaro judesių kompozicija. Kelių judesių kompozicija taip pat yra judesys.

Dviejų homoseksualų kompozicija sukuria naują homoseksualumą; y., yra homotezių produktas, kurio centras bus suderintas su dviejų originalių virsmų centru, o santykis (k) yra dviejų santykių sandauga.

Taigi, dviejų homotezių H ₁ (O ₁ , k ₁ ) ir H ₂ (O ₂ , k ₂ ) sudėtyje, padauginus jų santykį: k ₁ xk ₂ = 1, bus gauta homoseksija santykiu k ₃ = k ₁ xk ₂ . Šios naujos homotelės (O ₃ ) centras bus ties linija O ₁ O ₂ .

Homotecija atitinka plokščią ir negrįžtamą pokytį; Jei bus pritaikytos dvi homotezės, kurių centras ir santykis yra vienodi, bet su skirtingais ženklais, bus gautas originalus paveikslas.

Pavyzdžiai

Pirmas pavyzdys

Taikykite nurodyto centro (O) daugiakampio, esančio 5 cm atstumu nuo taško A ir kurio santykis yra k = 0,7, homogeniškumą.

Sprendimas

Bet kuris taškas yra pasirinktas kaip homotelės centras ir nuo šio taško spinduliai brėžiami per figūros viršūnes:

Atstumas nuo centro (O) iki taško A yra OA = 5; Pagal tai galima nustatyti atstumą tarp vieno iš homotiškų taškų (OA '), taip pat žinant, kad k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Procesas gali būti atliekamas su kiekviena viršūne, taip pat gali būti nupieštas homotinis daugiakampis, atsimenant, kad abu daugiakampiai turi lygiagrečias puses:

Galiausiai pertvarka atrodo taip:

Antras pavyzdys

Taikykite nurodytą daugiakampį su centru (O), esančiu 8,5 cm atstumu nuo taško C ir kurio y santykis k = -2.

Sprendimas

Atstumas nuo centro (O) iki taško C yra OC = 8,5; Remiantis šiais duomenimis, galima nustatyti atstumą tarp vieno iš homotiškų taškų (OC '), taip pat žinant, kad k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nubrėžę transformuoto daugiakampio viršūnių segmentus, mes turime, kad pradiniai taškai ir jų homotetika yra priešinguose galuose centro atžvilgiu:

Nuorodos

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Techninis brėžinys: veiklos užrašų knygelė.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Bendradarbiavimas, homologija ir homoseksualumas.
3. Baeris, R. (2012). Linijinė algebra ir projektinė geometrija. Kurjerių korporacija.
4. Hebert, Y. (1980). Bendroji matematika, tikimybės ir statistika.
5. Meserve, BE (2014). Pagrindinės geometrijos sąvokos. Kurjerių korporacija.
6. Nachbinas, L. (1980). Įvadas į algebrą. Grąžinti.