PITAGORO TAPATYBĖS: DEMONSTRACIJA, PAVYZDYS, PRATYBOS - MATEMATIKA - 2025

Pitagoro tapatybės yra visos trigonometrinės lygtys, laikomos bet kuria kampo verte ir pagrįstos Pitagoro teorema. Garsiausias iš pitagoriečių tapatybių yra pagrindinis trigonometrinis tapatumas:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

1 pav. Pitagoro trigonometriniai tapatumai.

Kitas svarbumas ir aš naudoju pitagorišką tangento ir sekanto tapatumą:

Tan ² (α) + 1 = ² sek (α)

Ir Pitagoro trigonometrinis tapatumas, apimantis koagentą ir kozantą:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstracija

Trigonometrinis santykis sinusas ir kosinusas pavaizduoti apskritimo spinduliu 1 (1), vadinamu trigonometriniu apskritimu. Minėto apskritimo centras yra O koordinačių ištakose.

Kampai matuojami iš teigiamos X ašies ašies, pavyzdžiui, kampas α, pateiktas 2 paveiksle (žr. Žemiau). Prieš laikrodžio rodyklę, jei kampas yra teigiamas, ir pagal laikrodžio rodyklę, jei kampas yra neigiamas.

Nubrėžtas spindulys, kurio pradžia O ir kampas α, taško P taške, kuris užfiksuoja vieneto apskritimą. P taškas P statomas statmenai horizontaliai ašiai X, sukuriant tašką C. Panašiai P projektuojamas statmenai vertikaliai ašiai Y, suteikiant tašką. vieta į tašką S.

Mes turime dešinįjį trikampį OCP, esant C.

Sinusas ir kosinusas

Reikėtų atsiminti, kad trigonometrinis santykis sinusas dešiniajame trikampyje apibūdinamas taip:

Trikampio kampo sinusas yra santykis arba koeficientas tarp kojos, priešingos kampui, ir trikampio hipotenuzės.

Taikant 2 paveikslo trikampį OCP, jis atrodytų taip:

Sen (α) = CP / OP

bet CP = OS ir OP = 1, kad:

Sen (α) = OS

Tai reiškia, kad projekcijos OS Y ašyje vertė yra lygi rodomo kampo sinusui. Reikėtų pažymėti, kad didžiausia kampo (+1) sinuso vertė atsiranda, kai α = 90º, ir mažiausia (-1), kai α = -90º arba α = 270º.

2 pav. Trigonometrinis apskritimas, rodantis ryšį tarp Pitagoro teoremos ir pagrindinės trigonometrinės tapatybės. (Savo parengimas)

Panašiai kampo kosinusas yra santykis tarp kojos, esančios greta kampo, ir trikampio hipotenuzės.

Taikant 2 paveikslo trikampį OCP, jis atrodytų taip:

Kos (α) = OC / OP

bet OP = 1, taigi:

Kos (α) = OC

Tai reiškia, kad iškyšos OC X ašyje vertė yra lygi parodyto kampo sinusui. Reikėtų pažymėti, kad didžiausia kosinuso vertė (+1) atsiranda, kai α = 0º arba α = 360º, o mažiausia kosinuso vertė yra (-1), kai α = 180º.

Pagrindinė tapatybė

Dešiniajam trikampiui OCP, esančiam C, taikoma Pitagoro teorema, teigianti, kad kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui:

CP ² + OC ² = OP ²

Bet jau buvo pasakyta, kad CP = OS = Sen (α), kad OC = Cos (α) ir kad OP = 1, taigi ankstesnę išraišką galima perrašyti kaip kampo sinuso ir kosinuso funkciją:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Tangento ašis

Lygiai taip, kaip X ašis trigonometriniame apskritime yra kosinuso ašis, o Y ašis - sinuso ašis, tokiu pat būdu yra ir liestinė ašis (žr. 3 paveikslą), kuri yra tiksliai vieneto apskritimo liestinė ties tašku. B koordinačių (1, 0).

Jei norite sužinoti kampo liestinės vertę, kampas brėžiamas iš teigiamos X pusašio, kampo sankirta su liestinės ašimi nusako tašką Q, segmento ilgis OQ yra tangento liestinė. kampas.

Taip yra todėl, kad pagal apibrėžimą kampo α liestinė yra priešingos kojos QB tarp gretimos kojos OB. Tai yra, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

3 paveikslas. Trigonometrinis apskritimas, rodantis liestinės ašį ir Tangeno pitagorišką tapatumą. (Savo parengimas)

Pitagoro tangento tapatumas

Pitagoro tangento tapatumą galima įrodyti įvertinus dešinįjį trikampį OBQ ties B (3 paveikslas). Taikydami Pitagoro teoremą šiam trikampiui, turime BQ ² + OB ² = OQ ² . Bet jau buvo pasakyta, kad BQ = Tan (α), kad OB = 1 ir kad OQ = Sec (α), kad Pitagoro lygybę pakeisdami stačiu trikampiu OBQ, mes turime:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Pavyzdys

Patikrinkite, ar Pitagoro tapatybės įvykdytos dešiniajame kojų trikampyje AB = 4 ir BC = 3.

Sprendimas: Kojos yra žinomos, reikia nustatyti hipotenuzę, tai yra:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Kampas ∡BAC bus vadinamas α, ∡BAC = α. Dabar nustatomi trigonometriniai santykiai:

Sen α = BC / AC = 3/5

Kos α = AB / AC = 4/5

Taigi α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Jis prasideda pagrindine trigonometrine tapatybe:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Daroma išvada, kad ji įvykdyta.

- Kitas Pitagoro tapatumas yra tangentas:

Tan ² (α) + 1 = ² sek (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Ir daroma išvada, kad liestinės tapatumas yra patikrintas.

- Panašiu būdu kaip ir kultivatoriaus:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Daroma išvada, kad ji taip pat įvykdyta, su kuria buvo atlikta užduotis patikrinti pitagoriečių tapatybes duotame trikampyje.

Išspręsta mankšta

Įrodykite šias tapatybes, remdamiesi trigonometrinių ir Pitagoro tapatybių apibrėžimais.

1 pratimas

Įrodykite, kad Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Sprendimas: Dešinėje pusėje mes pastebime puikų binomialio padauginimo iš jo konjugato sandaugą, kuri, kaip žinome, yra kvadratų skirtumas:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Tada terminas su sine dešinėje pusėje pereina į kairę pusę su pakeistu ženklu:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Atkreipiant dėmesį į tai, kad buvo pasiektas pagrindinis trigonometrinis tapatumas, todėl daroma išvada, kad duota išraiška yra tapatybė, tai yra, ji tinka bet kuriai x reikšmei.

2 pratimas

Pradėdami nuo pagrindinio trigonometrinio tapatumo ir naudodamiesi trigonometrinių santykių apibrėžimais, parodykite, koks yra pitagoro tapatumas.

Sprendimas: Pagrindinė tapatybė yra:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Abu nariai padalijami iš Sen ² (x), o vardiklis pasiskirsto pirmame naryje:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Tai supaprastinta:

1 + (Kos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

„Cos“ (x) / Sen (x) = „Cotan“ (x) yra (ne Pitagoro) tapatumas, kurį patvirtina pats trigonometrinių santykių apibrėžimas. Tas pats atsitinka su šia tapatybe: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Pagaliau jūs turite:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Nuorodos

1. Baldor J. (1973). Plokštumos ir kosmoso geometrija su įžanga į trigonometriją. Centrinės Amerikos kultūros. AC
2. CEA (2003). Geometrijos elementai: su pratimais ir kompaso geometrija. Medellino universitetas.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matematikos pirmasis semestras Tacaná. IGER.
5. Jr geometrija. (2014). Daugiakampiai. „Lulu Press, Inc.“
6. Milleris, Heerenas ir Hornsbis. (2006). Matematika: pagrindimas ir taikymas (dešimtasis leidimas). „Pearson Education“.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakcijos programa.
8. Vikipedija. Trigonometrinės tapatybės ir formulės. Atkurta iš: es.wikipedia.com