Tiesinė interpoliacija yra metodas, kuris yra kilęs bendrą Newton interpoliacija ir derinimu, siekiant nustatyti, dėl nežinomos vertės, kuri yra tarp dviejų pateiktų skaičių; tai yra, randama tarpinė reikšmė. Jis taip pat taikomas apytikslėms funkcijoms, kai yra žinomos f (a) ir f (b) reikšmės ir norime žinoti f (x) tarpinę reikšmę .
Yra skirtingi interpoliacijos tipai, tokie kaip tiesinis, kvadratinis, kubinis ir aukštesni laipsniai, paprasčiausias yra tiesinis aproksimacija. Kaina, kurią reikia mokėti naudojant linijinę interpoliaciją, yra ta, kad rezultatas nebus toks tikslus kaip apytiksliai naudojant aukštesnių laipsnių funkcijas.
Apibrėžimas
Linijinė interpoliacija yra procesas, leidžiantis išskaičiuoti vertę tarp dviejų tiksliai apibrėžtų verčių, kurios gali būti lentelėje arba linijų diagramoje.
Pvz., Jei žinote, kad 3 litrai pieno kainuoja 4 USD, o 5 litrai - 7 USD, tačiau norite sužinoti, kokia yra 4 litrų pieno vertė, jūs interpoliuojate, norėdami nustatyti tą tarpinę vertę.
Metodas
Norint įvertinti tarpinę funkcijos vertę, funkcija f (x) apytiksliai apskaičiuojama tiesės r (x) dėka , o tai reiškia, kad funkcija kinta linijiškai su «x» sekcijai «x = a» ir «x = b “; tai yra, kai reikšmė „x“ yra pavaizduota intervale (x 0 , x 1 ) ir (y 0 , y 1 ), „y“ reikšmė nurodoma linija tarp taškų ir išreiškiama tokiu santykiu:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Kad interpoliacija būtų tiesinė, interpoliacijos polinomas turi būti vieno laipsnio (n = 1), kad jis atitiktų x 0 ir x 1 reikšmes .
Linijinė interpoliacija grindžiama trikampių panašumu tokiu būdu, kad, geometriškai išplaukiant iš ankstesnės išraiškos, galima gauti „y“ reikšmę, kuri žymi nežinomą „x“ reikšmę.
Tokiu būdu jūs turite:
a = tan Ɵ = (priešinga koja 1 ÷ gretima koja 1 ) = (priešinga koja 2 ÷ gretima koja 2 )
Išreikšta kitu būdu, tai yra:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Sprendžiant iš „ir“ išraiškų, mes turime:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Taigi gaunama bendroji tiesinės interpoliacijos lygtis:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Apskritai, tiesinis interpoliavimas suteikia mažą tikrosios funkcijos vertės paklaidą, nors paklaida yra minimali, palyginti su tuo, jei intuityviai pasirenkate skaičių, artimą tam, kurį norite rasti.
Ši klaida atsiranda bandant apytiksliai apibrėžti kreivės vertę tiesine linija; Tokiais atvejais intervalo dydis turi būti sumažintas, kad aproksimacija būtų tikslesnė.
Norint gauti geresnius aproksimacijos rezultatus, interpoliacijai patartina naudoti 2, 3 ar net aukštesnio laipsnio funkcijas. Šiais atvejais Taylor teorema yra labai naudinga priemonė.
Išspręsta mankšta
1 pratimas
Inkubacijoje esančių bakterijų skaičius tūrio vienete po x valandų pateiktas šioje lentelėje. Norite sužinoti, koks yra bakterijų tūris 3,5 valandos.
Sprendimas
Pamatinėje lentelėje nenustatyta vertė, nurodanti bakterijų kiekį 3,5 valandos, tačiau yra viršutinė ir apatinė vertės, atitinkamai atitinkančios 3 ir 4 valandas. Tokiu būdu:
x 0 = 3 ir 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 ir 1 = 135
Dabar, norint rasti interpoliuotą vertę, taikoma ši matematinė lygtis:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Tada pakeičiamos atitinkamos vertės:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Taigi gauta, kad 3,5 valandos metu bakterijų skaičius yra 113, o tai reiškia tarpinį lygį tarp bakterijų, esančių per 3 ir 4 valandas, tūrio.
2 pratimas
Luisas turi ledų fabriką, ir jis nori atlikti tyrimą, kad nustatytų pajamas, kurias turėjo rugpjūčio mėnesį, atsižvelgiant į padarytas išlaidas. Įmonės administratorius sudaro grafiką, kuriame išreiškiami šie santykiai, tačiau Luisas nori žinoti:
Kokios yra rugpjūčio pajamos, jei buvo patirtos 55 000 USD išlaidos?
Sprendimas
Pateikiama diagrama su pajamų ir išlaidų vertėmis. Luisas nori sužinoti, kokios yra rugpjūčio pajamos, jei gamykla turėtų 55 000 USD išlaidų. Ši vertė tiesiogiai neatsispindi diagramoje, tačiau reikšmės yra didesnės ir mažesnės.
Pirmiausia sudaroma lentelė, kur būtų galima lengvai susieti vertybes:
Taigi y reikšmei nustatyti naudojama interpoliacijos formulė
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Tada pakeičiamos atitinkamos vertės:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 USD.
Jei rugpjūtį buvo padaryta 55 000 USD išlaidų, pajamos buvo 68 936 USD.
Nuorodos
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
- Harpe, P. d. (2000). Geometrinių grupių teorijos temos. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linijinė interpoliacija “, Matematikos enciklopedija.
- , JM (1998). Skaitmeninių inžinerijos metodų elementai. UASLP.
- , E. (2002). Interpoliacijos chronologija: nuo senovės astronomijos iki šiuolaikinio signalo ir vaizdo apdorojimo. IEEE darbai.
- skaitinis, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.