- Istorija
- Analitinės geometrijos pagrindas
- XVI amžius
- Analitinės geometrijos pagrindas
- Įtaka
- Trijų ir daugiau matmenų analizinė geometrija
- Nuorodos
Į istorinius pirmtakus analizės geometrijos grįžti į XVII amžiaus, kai Pjeras de Ferma René Descartes'as apibrėžė savo pagrindinę idėją. Jo išradimas buvo modernizuotas François Viète's algebra ir algebrinė notacija.
Šis laukas turi savo pagrindus Senovės Graikijoje, ypač Apollonijaus ir Euklido, kurie turėjo didelę įtaką šioje matematikos srityje, darbuose.
Esminė analizinės geometrijos idėja yra ta, kad dviejų kintamųjų santykis, toks, kad vienas yra kito funkcija, nusako kreivę.
Šią idėją pirmiausia sukūrė Pierre de Fermat. Dėl šios pagrindinės struktūros Isaacas Newtonas ir Gottfriedas Leibnizas sugebėjo sukurti skaičiavimą.
Prancūzų filosofas Descartesas taip pat atrado algebrinį požiūrį į geometriją, matyt, savo jėgomis. Descartes'o geometrijos darbas pasirodo jo garsiojoje knygoje „Diskursas apie metodą“.
Šioje knygoje pabrėžiama, kad kompasas ir tiesios briaunų geometrinės konstrukcijos apima sudėjimą, atėmimą, daugybą ir kvadratines šaknis.
Analitinė geometrija atspindi dviejų svarbių matematikos tradicijų sąjungą: geometrija kaip formos tyrimas ir aritmetika bei algebra, susijusios su kiekiu ar skaičiais. Todėl analitinė geometrija yra geometrijos lauko tyrimas naudojant koordinačių sistemas.
Istorija
Analitinės geometrijos pagrindas
Geometrijos ir algebros santykis susiformavo per visą matematikos istoriją, nors geometrija pasiekė ankstesnį brandos etapą.
Pavyzdžiui, graikų matematikas Euklidas sugebėjo suorganizuoti daugybę rezultatų savo klasikinėje knygoje „Elementai“.
Bet būtent senovės graikų Pergos Apollonijus prognozavo analitinės geometrijos raidą savo knygoje „Kūgiai“. Kūgį jis apibrėžė kaip kūgio ir plokštumos susikirtimą.
Naudodamas Euklido rezultatus panašiuose trikampiuose ir apskritimų sekcijose, jis nustatė santykį, kurį atspindi atstumai nuo bet kurio kūgio taško „P“ iki dviejų statmenų linijų, pagrindinė kūgio ašis ir liestinė ašies galo taške. Apollonijus šį ryšį panaudojo pagrindinėms kūgių savybėms išskaičiuoti.
Vėlesnis koordinačių sistemų vystymas matematikoje atsirado tik po to, kai algebra subrendo islamo ir indų matematikų dėka.
Iki Renesanso geometrija buvo naudojama pateisinti algebrinių problemų sprendimus, tačiau nebuvo tiek daug, kad algebra galėtų prisidėti prie geometrijos.
Ši padėtis pasikeistų priėmus patogų algebros ryšių žymėjimą ir išplėtus matematinės funkcijos koncepciją, kuri dabar buvo įmanoma.
XVI amžius
XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas François Viète pristatė pirmąjį sisteminį algebrinį žymėjimą, naudodamas raides skaičių žinomiems ir nežinomiems dydžiams žymėti.
Jis taip pat sukūrė galingus bendruosius algebrinių išraiškų darbo ir algebrinių lygčių sprendimo metodus.
Dėl šios priežasties matematikai nebuvo visiškai priklausomi nuo geometrinių figūrų ir geometrinės intuicijos, kad galėtų išspręsti problemas.
Net kai kurie matematikai pradėjo atsisakyti įprasto geometrinio mąstymo būdo, pagal kurį ilgio ir kvadrato ilgio kintamieji atitinka sritis, o kubiniai kintamieji atitinka tūrį.
Pirmieji žengė šį žingsnį filosofas ir matematikas René Descartesas bei teisininkas ir matematikas Pierre'as de Fermatas.
Analitinės geometrijos pagrindas
Dekartas ir Fermatas 1630-aisiais savarankiškai įkūrė analitinę geometriją, priimdamas Viète'o algebrą lokusui tirti.
Šie matematikai suprato, kad algebra yra galingas geometrijos įrankis, ir sugalvojo tai, kas šiandien žinoma kaip analitinė geometrija.
Vienas iš jų padarytų proveržių buvo pranokti Viète naudojant raides, nurodančias atstumus, kurie yra kintami, o ne fiksuoti.
Dekartas naudojo lygtis tyrinėdamas geometriškai apibrėžtas kreives ir pabrėžė poreikį atsižvelgti į polinominių lygčių bendrąsias algebrines-grafines kreives „x“ ir „y“ laipsniais.
Savo ruožtu Fermat pabrėžė, kad bet koks ryšys tarp koordinačių „x“ ir „y“ lemia kreivę.
Pasinaudodamas šiomis idėjomis, jis restruktūrizavo Apollonijaus teiginius algebriniais terminais ir atkūrė kai kuriuos savo prarastus darbus.
Fermatas nurodė, kad bet kurią kvadratinę lygtį „x“ ir „y“ galima įterpti į standartinę vienos iš kūginių pjūvių formą. Nepaisant to, Fermat niekada nepaskelbė savo darbo šia tema.
Dėl savo pažangos, ką Archimedas galėjo išspręsti tik su dideliais sunkumais, ir pavieniais atvejais Fermat ir Descartes galėjo greitai ir daug kreivių (dabar žinomų kaip algebrinės kreivės) išspręsti.
Tačiau jo idėjos sulaukė bendro kitų matematikų pastangų tik antroje XVII amžiaus pusėje.
Matematikai Fransas van Schootenas, Florimondas de Beaune ir Johanas de Wittas padėjo išplėsti Decartes'o kūrybą ir pridėjo svarbios papildomos medžiagos.
Įtaka
Anglijoje Johnas Wallisas išpopuliarino analitinę geometriją. Jis panaudojo lygtis, kad apibrėžtų kūgius ir išvestų jų savybes. Nors jis laisvai naudojo neigiamas koordinates, būtent Izaokas Niutonas panaudojo dvi įstrižas ašis padalinti plokštumą į keturis kvadrantus.
Niutonas ir vokietis Gottfriedas Leibnizas sukėlė matematikos revoliuciją XVII amžiaus pabaigoje, savarankiškai demonstruodami skaičiavimo galią.
Niutonas pademonstravo analizinių metodų svarbą geometrijoje ir jų vaidmenį skaičiuojant, kai jis tvirtino, kad bet kuris kubas (arba bet kuri trečiojo laipsnio algebrinė kreivė) turi tris ar keturias standartines lygtis tinkamoms koordinatinėms ašims. Padedamas paties Newtono, škotų matematikas Johnas Stirlingas tai įrodė 1717 m.
Trijų ir daugiau matmenų analizinė geometrija
Nors tiek Descartesas, tiek Fermatas pasiūlė naudoti tris koordinates kosmoso kreivėms ir paviršiams tirti, trimatė analitinė geometrija lėtai vystėsi iki 1730 m.
Matematikai Euleris, Hermannas ir Clairautas sukūrė bendras cilindrų, kūgių ir paviršių revoliucijos lygtis.
Pavyzdžiui, Euleris naudojo lygtis vertimams erdvėje, kad transformuotų bendrą kvadratinį paviršių taip, kad jo pagrindinės ašys sutampa su jo koordinatinėmis ašimis.
Euleris, Joseph-Louis Lagrange ir Gaspard Monge padarė analitinę geometriją nepriklausomą nuo sintetinės (neanalitinės) geometrijos.
Nuorodos
- Analitinės geometrijos plėtra (2001). Atkurta iš enciklopedijos.com
- Analitinės geometrijos istorija (2015). Atkurta iš maa.org
- Analizė (matematika). Atgauta iš britannica.com
- Analitinė geometrija. Atgauta iš britannica.com
- Dekartas ir analitinės geometrijos atsiradimas. Atgauta iš „sciencedirect.com“