ANTIDERIVATYVAS: FORMULĖS IR LYGTYS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024

Pirmykštė F (x) funkciniu f (x) yra taip pat vadinamas primityvus arba tiesiog neribotam sudėtinė minėtos funkcijos, jei tam tikroje intervalo I, yra įvykdyta, kad -I (x) = f (x)

Pavyzdžiui, paimkime šią funkciją:

f (x) = 4x ³

Šios funkcijos darinys yra F (x) = x ⁴ , nes diferencijuojant F (x), naudojant galių išvedimo taisyklę:

Gauname tiksliai f (x) = 4x ³ .

Tačiau tai tik vienas iš daugelio f (x) darinių, nes ši kita funkcija: G (x) = x ⁴ + 2 taip pat yra, nes diferencijuojant G (x) x atžvilgiu, gaunamas tas pats. atgal f (x).

Pažiūrėkime:

Atminkite, kad konstantos išvestinė lygi 0. Todėl prie termino x ⁴ galime pridėti bet kokią konstantą , o jos išvestinė liks 4x ³ .

Daroma išvada, kad bet kuri bendrosios formos funkcija F (x) = x ⁴ + C, kur C yra tikroji konstanta, tarnauja kaip f (x) darinys.

Aukščiau pateiktas pavyzdinis pavyzdys gali būti išreikštas taip:

dF (x) = 4x ³ dx

Antiderivatas arba neapibrėžtasis integralas išreiškiamas simboliu ∫, todėl:

F (x) = ∫ 4x ³ dx = x ⁴ + C

Kai funkcija f (x) = 4x ³ vadinama integrandu, o C - integracijos konstanta.

Antiderivacijų pavyzdžiai

1 pav. Antiderivatas yra ne kas kita, kaip neribotas integralas. Šaltinis: „Pixabay“.

Kai kuriais atvejais, kai dariniai yra gerai žinomi, nesunku rasti funkcijos antiderivatyvą. Pavyzdžiui, tegul funkcija f (x) = sin x, jos antiderivatas yra dar viena funkcija F (x), kad ją diferencijuodami gauname f (x).

Ši funkcija gali būti:

F (x) = - cos x

Patikrinkime, ar tai tiesa:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Todėl galime rašyti:

∫sen x dx = -cos x + C

Be darinių žinojimo, yra keletas pagrindinių ir paprastų integravimo taisyklių, leidžiančių surasti darinį ar neterminuotą integralą.

Tegul k yra tikroji konstanta, tada:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Jei funkcija h (x) gali būti išreikšta kaip dviejų funkcijų sudėjimas arba atimtis, tada jos neribotas integralas yra:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Tai yra tiesiškumo savybė.

Integralams galios taisyklę galima nustatyti tokiu būdu:

Jei n = -1, taikoma ši taisyklė:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Nesunku parodyti, kad ln x darinys yra tiksliai x ^-1 .

Diferencialinės lygtys

Diferencialinė lygtis yra ta, kurioje nežinomasis randamas kaip darinys.

Dabar, remiantis ankstesne analize, nesunku suvokti, kad atvirkštinė operacija dariniui yra antiderivatyvas arba neapibrėžtasis integralas.

Tegul f (x) = y´ (x), tai yra tam tikros funkcijos darinys. Šiam dariniui nurodyti galime naudoti šią žymėjimą:

Iš karto išplaukia, kad:

Diferencialinės lygties nežinomoji yra funkcija y (x), kurios išvestinė yra f (x). Norėdami tai išspręsti, ankstesnė išraiška yra integruota iš abiejų pusių, o tai prilygsta antiderivato taikymui:

Kairysis integralas yra išspręstas taikant 1 integravimo taisyklę, kai k = 1, taip išsprendžiant norimą nežinomą:

O kadangi C yra tikra konstanta, norint žinoti, kuri iš jų tinka kiekvienu atveju, teiginyje turi būti pakankamai papildomos informacijos, kad būtų galima apskaičiuoti C vertę. Tai vadinama pradine sąlyga.

Kitame skyriuje pamatysime viso to taikymo pavyzdžius.

Antiderivatiniai pratimai

- 1 pratimas

Taikykite integravimo taisykles, kad gautumėte šiuos duotųjų funkcijų darinius ar neapibrėžtus integralus, kiek įmanoma supaprastindami rezultatus. Patogu rezultatą patikrinti išvedant.

2 paveikslas. Dariniai su antiderivatais ar apibrėžtaisiais integralais. Šaltinis: „Pixabay“.

Sprendimas

Pirmiausia taikome 3 taisyklę, nes integrand yra dviejų terminų suma:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pirmajam integralui taikoma galios taisyklė:

∫ DX = (x ² /2) + C ₁

Antroje vientisoje taisyklėje taikoma 1, kur k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Dabar pridedami rezultatai. Dvi konstantos yra sugrupuotos į vieną, paprastai vadinamą C:

∫ (x + 7) DX = (x ² /2) + 7x + C

B sprendimas

Linijiškai šis integralas yra suskaidomas į tris paprastesnius vientisus elementus, kuriems bus taikoma galios taisyklė:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Atminkite, kad kiekvieno integralo integracija yra pastovi, tačiau jie susitinka vienu skambučiu C.

C sprendimas

Tokiu atveju patogu pritaikyti paskirstymo savybę daugintis, norint sukurti integrandą. Tada galios taisyklė naudojama kiekvienam integralui surasti atskirai, kaip ir ankstesniame pratime.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Atidus skaitytojas atkreips dėmesį į tai, kad du pagrindiniai terminai yra panašūs, todėl prieš integruojant jie yra sumažinami:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Sprendimas e

Vienas iš būdų išspręsti integralą būtų plėtoti galią, kaip buvo padaryta d pavyzdyje. Kadangi eksponentas yra didesnis, patartina pakeisti kintamąjį, kad nereikėtų daryti tokio ilgo tobulinimo.

Kintamasis keičiamas taip:

u = x + 7

Pateikti šią išraišką abiem pusėms:

du = dx

Su naujuoju kintamuoju integralas paverčiamas paprastesniu, kuris išsprendžiamas naudojant galios taisyklę:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Galiausiai pakeitimas grąžinamas į pradinį kintamąjį:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- 2 pratimas

Dalelė iš pradžių yra ramybėje ir juda išilgai x ašies. Jo pagreitį, kai t> 0, lemia funkcija a (t) = cos t. Yra žinoma, kad esant t = 0, padėtis yra x = 3, visi tarptautinės sistemos vienetais. Prašoma surasti dalelės greitį v (t) ir padėtį x (t).

Sprendimas

Kadangi pagreitis yra pirmasis greičio darinys laiko atžvilgiu, turime šią diferencialinę lygtį:

a (t) = v´ (t) = cos t

Tai seka:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Kita vertus, mes žinome, kad greitis savo ruožtu yra pozicijos darinys, todėl mes vėl integruojamės:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Integracijos konstantos nustatomos remiantis teiginyje pateikta informacija. Pirmiausia sakoma, kad dalelė iš pradžių buvo ramybėje, todėl v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Tada mes turime x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Greičio ir padėties funkcijos tikrai yra šios:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Nuorodos

1. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoral nacionalinis universitetas.
2. Larson, R. 2010. Kintamojo apskaičiavimas. 9-asis. Leidimas. McGraw Hill.
3. Matematikos laisvieji tekstai. Antiderivantai. Atkurta iš: math.liibretexts.org.
4. Vikipedija. Antideridantas. Atkurta iš: en.wikipedia.org.
5. Vikipedija. Neterminuota integracija. Atkurta iš: es.wikipedia.org.