- Pagrindų savybės
- Bazių pavyzdžiai
- Kanoninis pagrindas ℜ
- Kanoninis pagrindas ℜ
- Kitos ortonorminės bazės ℜ
- Išspręsta mankšta
- - 1 pratimas
- Sprendimas
- - 2 pratimas
- Sprendimas
- Nuorodos
Ortonormuotos pagrindas yra suformuotas su vektorių statmenos viena kitai ir kurio modulis yra taip pat 1 (vienetinis vektorius). Prisiminkime, kad bazė B vektorinėje erdvėje V yra apibrėžta kaip linijiškai nepriklausomų vektorių, galinčių generuoti minėtą erdvę, aibė.
Savo ruožtu vektorinė erdvė yra abstraktus matematinis darinys, kurio elementai yra vektoriai, paprastai siejami su fiziniais dydžiais, tokiais kaip greitis, jėga ir poslinkis, taip pat su matricomis, polinomais ir funkcijomis.
1 pav. Ortonorminė bazė plokštumoje. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Ketvertas.
Vektoriai turi tris skiriamuosius elementus: dydį arba modulį, kryptį ir prasmę. Ortonorminis pagrindas yra ypač naudingas norint juos atvaizduoti ir su jais operuoti, nes bet kurį vektorių, priklausantį tam tikrai vektorių erdvei V, galima užrašyti kaip linijinį vektorių, kurie sudaro ortonorminį pagrindą, derinį.
Tokiu būdu operacijos tarp vektorių, tokios kaip sudėjimas, atėmimas ir skirtingų rūšių produktai, apibrėžti minėtoje erdvėje, yra analiziškai vykdomos.
Tarp fizikoje plačiausiai naudojamų pagrindų yra bazė, kurią sudaro vienetiniai vektoriai i , j ir k , vaizduojantys tris skiriamąsias erdvinės erdvės kryptis: aukštį, plotį ir gylį. Šie vektoriai taip pat žinomi kaip vienetiniai kanoniniai vektoriai.
Jei vietoj to vektoriai būtų dirbami plokštumoje, pakaktų dviejų iš šių trijų komponentų, o vienmatiams vektoriams reikia tik vieno.
Pagrindų savybės
1- Bazė B yra mažiausias įmanomas vektorių rinkinys, sukuriantis vektorių erdvę V.
2- B elementai yra tiesiškai nepriklausomi.
3 - Bet kuri vektoriaus erdvės V bazė B leidžia išreikšti visus V vektorius kaip linijinį jo derinį ir ši forma yra unikali kiekvienam vektoriui. Dėl šios priežasties B taip pat žinomas kaip generuojanti sistema.
4- Ta pati vektorinė erdvė V gali turėti skirtingas bazes.
Bazių pavyzdžiai
Čia pateikiami keli ortonorminių ir apskritai bazių pavyzdžiai:
Kanoninis pagrindas ℜ
Dar vadinama natūralia arba standartine ℜ n baze , kur ℜ n yra n-matmenų erdvė, pavyzdžiui, trimatė erdvė yra ℜ 3 . N reikšmė vadinama vektorinės erdvės matmeniu ir žymima kaip dim (V).
Visi vektoriai, priklausantys ℜ n, yra pavaizduoti n- tais skelbimais. Erdvės ℜ n kanoninis pagrindas yra:
e 1 = <1,0,. . . , 0>; e 2 = <0,1,. . . , 0>; …… .. e n = <0,0,. . . , 1>
Šiame pavyzdyje mes panaudojome žymėjimą skliausteliuose arba „skliausteliuose“ ir paryškintus vienetų vektoriams e 1 , e 2 , e 3 …
Kanoninis pagrindas ℜ
Žinomi vektoriai i , j ir k pripažįsta tą patį vaizdavimą ir visų trijų jų pakanka vektoriams pavaizduoti ℜ 3 :
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
Tai reiškia, kad bazę galima išreikšti taip:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Norint patikrinti, ar jie yra linijiškai nepriklausomi, su jais sudarytas determinantas yra ne nulis ir lygus 1:
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
Todėl i , j ir k sudaro ℜ 3 generatoriaus sistemą .
Kitos ortonorminės bazės ℜ
Ankstesniame skyriuje aprašyta standartinė bazė nėra vienintelė ortonorminė bazė, esanti ℜ 3 . Pavyzdžiui, mes turime pagrindus:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>}
Galima parodyti, kad šios bazės yra ortonorminės, tam mes prisimename sąlygas, kurių turi būti laikomasi:
-Vektoriai, kurie sudaro pagrindą, turi būti stačiakampiai vienas kito atžvilgiu.
-Kiekvienas iš jų turi būti vieningas.
Tai galime patikrinti žinodami, kad jų suformuotas determinantas turi būti ne nulis ir lygus 1.
Bazė B 1 yra būtent cilindrinių koordinačių ρ, φ ir z ta, kita vektorių išreiškimo erdvėje būdas.
2 pav. Cilindrinės koordinatės. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Matematikos mėgėjas.
Išspręsta mankšta
- 1 pratimas
Parodykite, kad pagrindas B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>} yra ortonormalus.
Sprendimas
Norėdami parodyti, kad vektoriai yra statmeni vienas kitam, naudosime skaliarinį sandaugą, dar vadinamą dviejų vektorių vidiniu arba taškiniu sandauga.
Tegul yra bet kurie du vektoriai u ir v , jų taškinį koeficientą apibūdina:
u • v = uv cosθ
Norėdami atskirti jų modulių vektorius, pirmąją raidę naudosime paryškintai, o antrąją - įprastomis raidėmis. θ yra kampas tarp u ir v, todėl, jei jie yra statmeni, tai reiškia, kad θ = 90º, o skaliarinis sandauga lygi nuliui.
Arba, jei vektoriai yra nurodyti pagal jų komponentus: u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
Tokiu būdu skaliarinės sandaugos tarp kiekvienos vektorių poros yra atitinkamai:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
Antrosios sąlygos atveju apskaičiuojamas kiekvieno vektoriaus modulis, kuris gaunamas:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
Taigi kiekvieno vektoriaus moduliai yra šie:
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0,1> │ = √ = 1
Todėl visi trys yra vienetiniai vektoriai. Galiausiai jų suformuotas veiksnys nėra lygus nuliui ir lygus 1:
- 2 pratimas
Parašykite vektoriaus w = <2, 3,1> koordinates aukščiau pateiktoje bazėje.
Sprendimas
Tam naudojama ši teorema:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +… < w • v n > v n
Tai reiškia, kad vektorių galime užrašyti bazėje B, naudodami koeficientus < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n >, kuriems turime apskaičiuoti nurodytus skaliarinius koeficientus:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12) / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
Su gautais skaliariniais produktais sudaroma matrica, vadinama w koordinačių matrica.
Todėl vektoriaus w koordinates bazėje B išreiškia:
B =
Koordinačių matrica nėra vektorius, nes vektorius nėra tas pats kaip jo koordinatės. Tai tik skaičių rinkinys, naudojamas išreikšti vektorių tam tikroje bazėje, o ne kaip vektorių. Jie taip pat priklauso nuo pasirinktos bazės.
Galiausiai pagal teoremą vektorius w bus išreikštas taip :
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
Su: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; prieš 2 = <- 4/5, 3 / 5,0>; v 3 = <0,0,1>}, tai yra bazės B vektoriai.
Nuorodos
- Larson, R. Linijinės algebros pagrindai. 6-asis. Leidimas. „Cengage“ mokymasis.
- Larson, R. 2006. Kalkulis. 7-asis. Leidimas. 2 tomas. „McGraw Hill“.
- Salas, J. Linijinė algebra. 10. skyrius. Ortonorminės bazės. Atkurta iš: ocw.uc3m.es.
- Sevilijos universitetas. Cilindrinės koordinatės. Vektorinė bazė. Atkurta iš: laplace.us.es.
- Vikipedija. Ortonorminė bazė. Atkurta iš: es.wikipedia.org.