KONJUGUOTASIS BINOMAS: KAIP JĮ IŠSPRĘSTI, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024

Konjuguota dvinaris kitos dvinarę yra ta, kurioje jie yra tik diferencijuojami pagal operacijos ženklas. Dvinaris, kaip rodo jo pavadinimas, yra algebrinė struktūra, susidedanti iš dviejų terminų.

Kai kurie binominių pavyzdžių pavyzdžiai: (a + b), (3m - n) ir (5x - y). Jų atitinkamos konjuguotosios binomos yra: (a - b), (-3m - n) ir (5x + y). Kaip galima pastebėti iškart, skirtumas yra ženkle.

1 pav. Binomas ir jo konjuguotas binomas. Jie turi tas pačias sąvokas, tačiau skiriasi ženklu. Šaltinis: F. Zapata.

Dvinaris, padaugintas iš jo konjugato, suteikia puikų produktą, plačiai naudojamą algebra ir moksle. Padauginimo rezultatas yra pradinės dvinarės dalies kvadratų atimtis.

Pavyzdžiui, (x - y) yra dvinaris, o jo konjugatas yra (x + y). Taigi, dviejų binomialų sandauga yra dėmenų kvadratų skirtumas:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kaip jūs išspręsite konjuguotą binomialą?

Nurodyta konjuguotų binomijų taisyklė:

Kaip taikymo pavyzdį, mes pirmiausia parodysime ankstesnį rezultatą, kurį galima padaryti naudojant paskirstomąją produkto savybę, atsižvelgiant į algebrinę sumą.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Aukščiau pateiktas koeficientas buvo gautas atlikus šiuos veiksmus:

- Pirmasis pirmojo binomio terminas yra dauginamas iš antrojo termino pirmojo termino

- Tada pirmas iš pirmo, už antrą - antras

- Tada antrasis iš pirmojo iki pirmojo

- Pagaliau antroji iš pirmosios iki antrosios sekundės.

Dabar padarykime nedidelį pakeitimą naudodami komutacinę savybę: yx = xy. Tai atrodo taip:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Kadangi yra du vienodi terminai, tačiau priešingi ženklai (paryškinta spalva ir pabraukta), jie panaikinami ir supaprastinama:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Galiausiai pritaikoma, kad skaičiaus dauginimas pats savaime yra lygus jo padidinimui iki kvadrato, kad xx = x ² , taip pat yy = y ² .

Tokiu būdu parodoma, kas buvo nurodyta ankstesniame skyriuje, kad sumos ir jos skirtumo sandauga yra kvadratų skirtumas:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

2 pav. Suma, padauginta iš jos skirtumo, yra kvadratų skirtumas. Šaltinis: F. Zapata.

Pavyzdžiai

- Konjuguoti įvairių išraiškų binomai

1 pavyzdys

Raskite (y ² - 3y) konjugatą .

Atsakymas : (y ² + 3y)

2 pavyzdys

Gaukite (y ² - 3y) produktą ir jo konjugatą.

Atsakymas: (y ² - 3 metai) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

3 pavyzdys

Sukurkite produktą (1 + 2a). (2a -1).

Atsakymas: ankstesnė išraiška yra lygi (2a + 1). (2a -1), tai yra, ji atitinka dvinarės ir jos konjugato sandaugą.

Yra žinoma, kad binomio sandauga pagal jo konjuguotą binomialą yra lygi binomio terminų kvadratų skirtumui:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

4 pavyzdys

Parašykite sandaugą (x + y + z) (x - y - z) kaip kvadratų skirtumą.

Atsakymas: mes galime prilyginti aukščiau pateiktas trispalves konjuguotosios binominės formos forma, atsargiai naudodami skliaustus ir skliaustelius:

(x + y + z) (x - y - z) =

Tokiu būdu galima pritaikyti kvadratų skirtumą:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

5 pavyzdys

Rezultatas (m ² - m -1) (M ² + m -1) išreiškiamas kvadratų skirtumu.

Atsakymas : ankstesnė išraiška yra dviejų trinarių rezultatas. Pirmiausia jis turi būti perrašytas kaip dviejų konjuguotų žiūronų produktas:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Mes taikome tai, kad dvinario produkto konjugatas yra kvadratinis jo terminų skirtumas, kaip buvo paaiškinta:

. = (m ² -1) ² - m ²

Pratimai

Kaip visada, jūs pradedate nuo paprasčiausių pratimų, o tada padidinate sudėtingumo lygį.

- 1 pratimas

Parašykite (nuo 9 iki ² ) kaip produktą.

Sprendimas

Pirmiausia perrašome išraišką kaip kvadratų skirtumą, kad pritaikytume tai, kas buvo paaiškinta anksčiau. Taigi:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Kitas koeficientas, kuris yra lygus šio kvadratų skirtumo, kaip produkto, užrašymui, kaip reikalaujama teiginyje:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- 2 pratimas

16x ² - 9y ⁴ faktorius .

Sprendimas

Išraiškos faktorizavimas reiškia jos rašymą kaip produktą. Tokiu atveju būtina iš anksto perrašyti išraišką, norint gauti kvadratų skirtumą.

Tai padaryti nėra sunku, nes atidžiai žiūrint, visi veiksniai yra tobuli kvadratai. Pavyzdžiui, 16 yra 4 kvadratas, 9 yra 3 kvadratas, o ⁴ yra y ² kvadratas, o x ² yra x kvadratas:

16x ² - 9Y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² Y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Tada pritaikome tai, ką jau žinome anksčiau: kad kvadratų skirtumas yra konjuguotų binomialų rezultatas:

(4x) ² - (3 ir ² ) ² = (4x - 3 ir ² ). (4x + 3 ir ² )

- 3 pratimas

Parašykite (a - b) kaip binominių produktų sandauga

Sprendimas

Aukščiau pateiktas skirtumas turėtų būti parašytas kaip kvadratų skirtumai

(√a) ² - (√b) ²

Tada taikoma, kad kvadratų skirtumas yra konjuguotų binomialų rezultatas

(√a - √b) (√a + √b)

- 4 pratimas

Vienas iš konjuguotojo binomio naudojimo būdų yra racionalizuoti algebrines išraiškas. Ši procedūra susideda iš daliklio išraiškos vardiklio šaknų pašalinimo, kuris daugeliu atvejų palengvina operacijas. Norint racionalizuoti šią išraišką, prašoma naudoti konjuguotą binomą:

√ (2 x) /

Sprendimas

Pirmas dalykas yra nustatyti vardiklio konjuguotą binomialą:.

Pradinės išraiškos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš konjuguotosios binomijos:

√ (2-x) / {.}

Ankstesnės išraiškos vardiklyje skirtumo sandaugą mes atpažįstame iš sumos, kuri, kaip mes jau žinome, atitinka binominių kvadratų skirtumą:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Vardiklis supaprastinamas:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Dabar mes dirbame su skaitikliu, kuriam sumai pritaikysime produkto paskirstomąją savybę:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Ankstesnėje išraiškoje mes atpažįstame binomio sandaugą (2-x) pagal jo konjugatą, kuris yra pastebimas produktas, lygus kvadratų skirtumui. Tokiu būdu galutinai gaunama racionalizuota ir supaprastinta išraiška:

/ (1 - x)

- 5 pratimas

Naudodamiesi konjuguotojo binomio savybėmis, sukurkite šį produktą:

.

Sprendimas

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Dėmesingas skaitytojas pastebės bendrą veiksnį, paryškintą spalva.

Nuorodos

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redakcija „Cultural Venezolana SA“
2. González J. Konjuguoti dvinariai pratimai. Atkurta iš: academia.edu.
3. Matematikos mokytojas Aleksas. Puikūs produktai. Atgauta iš youtube.com.
4. „Math2me“. Konjuguoti binomai / pastebimi produktai. Atgauta iš youtube.com.
5. Konjuguoti dvinariai produktai. Atkurta iš: lms.colbachenlinea.mx.
6. Gyvybingi. Konjuguotos binomijos. Atkurta iš: youtube.com.