APROKSIMACIJŲ APSKAIČIAVIMAS NAUDOJANT DIFERENCIALĄ - MATEMATIKA - 2024

Matematikos apytikslė reikšmė yra skaičius, kuris nėra tiksli kažkieno vertė, tačiau yra taip arti jo, kad laikomas naudingu kaip ta tiksli vertė.

Kai matematika yra apytiksliai, taip yra todėl, kad rankiniu būdu sunku (o kartais ir neįmanoma) žinoti tikslią jūsų norimą vertę.

Pagrindinis įrankis dirbant su aproksimacijomis yra funkcijos diferencialas.

Funkcijos f, žymimos Δf (x), diferencialas yra ne kas kita, kaip funkcijos f išvestinė, padauginta iš nepriklausomo kintamojo pokyčio, tai yra, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Kartais vietoj Δf ir Δx naudojami df ir dx.

Aproksimacijos naudojant diferencialą

Formulė, taikoma aproksimacijai per diferencialą, kyla būtent iš funkcijos išvestinės kaip ribos apibrėžimo.

Šią formulę pateikė:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Čia suprantama, kad Δx = x-x0, todėl x = x0 + Δx. Naudojant šią formulę galima perrašyti kaip

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Reikėtų pažymėti, kad „x0“ nėra savavališka reikšmė, bet tokia reikšmė, kad f (x0) būtų lengvai žinoma; be to, „f (x)“ yra tik ta vertė, kurią norime apytiksliai nustatyti.

Ar yra geresnių suderinimų?

Atsakymas yra taip. Aukščiau pateiktas yra paprasčiausias iš aproksimacijų, vadinamas „tiesiniu aproksimacija“.

Norint geriau suderinti kokybę (padaryta mažiau klaidų), naudojami polinomai su daugiau darinių, vadinamų „Taylor polinomais“, taip pat naudojami kiti skaitiniai metodai, tokie kaip Niutono-Raphsono metodas.

Strategija

Reikėtų laikytis šios strategijos:

- Pasirinkite apytiksliai funkciją f, kad atliktumėte apytikslę vertę ir „x“, kad f (x) yra apytikslė reikšmė.

- Pasirinkite reikšmę „x0“, artimą „x“, kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti.

- Apskaičiuokite Δx = x-x0.

- Apskaičiuokite funkcijos y f '(x0) išvestinę.

- Pakeiskite duomenis formulėje.

Išspręsti derinimo pratimai

Toliau yra keletas pratimų, kuriuose apytiksliai derinami naudojant diferencialą.

Pirmas pratimas

Maždaug √3.

Sprendimas

Laikantis strategijos, reikia pasirinkti tinkamą funkciją. Tokiu atveju galima pastebėti, kad pasirenkama funkcija turi būti f (x) = √x, o apytikslė reikšmė yra f (3) = √3.

Dabar turime pasirinkti reikšmę „x0“, artimą „3“, kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti. Jei pasirinktas „x0 = 2“, tada „x0“ yra artimas „3“, bet f (x0) = f (2) = √2 apskaičiuoti nėra lengva.

Tinkama „x0“ reikšmė yra „4“, nes „4“ yra artima „3“ ir taip pat f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jei "x = 3" ir "x0 = 4", tada Δx = 3-4 = -1. Dabar skaičiuojame f išvestinę. Tai yra, f '(x) = 1/2 * √x, taigi f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Pakeisdami visas gautas formules reikšmes:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jei naudojate skaičiuoklę, gausite √3≈1.73205… Tai rodo, kad ankstesnis rezultatas yra geras tikrovės vertės apytikslis.

Antras pratimas

Maždaug √10.

Sprendimas

Kaip ir anksčiau, kaip funkcija pasirinkta f (x) = √xy, šiuo atveju x = 10.

X0 vertė pasirinkti šį laiką yra „x0 = 9“. Tada mes turime Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ir f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Vertinant formulėje gaunama, kad

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Naudojant skaičiuoklę gaunama, kad √10 ≈ 3,1622776 … Čia taip pat galima pastebėti, kad prieš tai buvo gautas geras apytikslis vertinimas.

Trečias pratimas

Apytikslis √√10, kur ³√ žymi kubo šaknį.

Sprendimas

Akivaizdu, kad atliekant šį pratimą reikia naudoti funkciją f (x) = ³√x, o „x“ reikšmė turi būti „10“.

Reikšmė, artima „10“, kad jos kubo šaknis yra žinoma, yra „x0 = 8“. Tada turime Δx = 10-8 = 2 ir f (x0) = f (8) = 2. Mes taip pat turime f '(x) = 1/3 * ³√x², taigi f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Pakeitus duomenis formulėje, gaunama, kad:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Skaičiuoklė sako, kad ³√10 ≈ 2,15443469 … Todėl rastas apytikslis rezultatas yra geras.

Ketvirtasis pratimas

Apytikslis ln (1.3), kur „ln“ žymi natūraliąją logaritmo funkciją.

Sprendimas

Pirmiausia pasirenkame funkciją f (x) = ln (x), o „x“ reikšmė yra 1,3. Dabar, šiek tiek žinodami apie logaritmo funkciją, galime žinoti, kad ln (1) = 0, be to, „1“ yra artimas „1,3“. Todėl pasirinktas „x0 = 1“ ir tokiu būdu Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Kita vertus, f '(x) = 1 / x, taigi f' (1) = 1. Vertindami pateiktoje formulėje turime:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Naudodamiesi skaičiuokle turime ln (1.3) ≈ 0,262364… Taigi, suderinimas yra geras.

Nuorodos

1. Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika. „Prentice Hall“ PTR.
2. Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika: problemų sprendimo metodas (2, iliustruotas leidimas). Mičiganas: „Prentice Hall“.
3. Flemingas, W., ir Varbergas, D. (1991). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
4. Larsonas, R. (2010). Prekalkulis (8 leidimas). „Cengage“ mokymasis.
5. Leal, JM ir „Viloria“, NG (2005). Plokštumos analitinė geometrija. Mérida - Venesuela: Venesuelos CA redakcija
6. Pérez, CD (2006). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Kalkulis (devintasis leidimas). Prentice salė.
8. Saenz, J. (2005). Diferencinis skaičiavimas su ankstyvomis transcendentinėmis funkcijomis mokslui ir inžinerijai (Antrasis leidimas, red.). Hipotenuzė.
9. Scott, CA (2009). Dekarto plokštumos geometrija, dalis: Analitiniai kūgiai (1907) (atspausdinta red.). Žaibo šaltinis.
10. Sullivan, M. (1997). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.