INTEGRACIJOS KONSTANTA: REIKŠMĖ, SKAIČIAVIMAS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2024

Integracijos pastovus yra pridėtinės vertės prie Pirmykštė ar integralų skaičiavimas, ji tarnauja atstovauti sprendimus, kurie sudaro Pirmykštė funkcija. Tai išreiškia būdingą dviprasmybę, kai bet kuri funkcija turi begalinį skaičių primityvų.

Pvz., Jei imtume funkciją: f (x) = 2x + 1 ir gautume jos antiderivatą:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Kur C yra integracijos konstanta ir grafiškai žymi vertikalųjį vertimą tarp begalinių primityvo galimybių. Teisinga sakyti, kad (x ² + x) yra vienas iš f (x) primityvų.

Šaltinis: autorius

Panašiai galime apibrėžti (x ² + x + C ) kaip f (x) pradmenį.

Atbulinė nuosavybė

Galima pastebėti, kad gaunant išraišką (x ² + x), gaunama funkcija f (x) = 2x + 1. Tai lemia atvirkštinė savybė, egzistuojanti tarp funkcijų išvedimo ir integravimo. Ši savybė leidžia gauti integravimo formules, pradedant nuo diferenciacijos. Tai leidžia patikrinti integralius per tuos pačius darinius.

Šaltinis: autorius

Tačiau (x ² + x) nėra vienintelė funkcija, kurios išvestinė lygi (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Kur 1, 2, 3 ir 4 žymi tam tikrus f (x) = 2x + 1 primityvus, o 5 žymi f (x) = 2x + 1 neapibrėžtą ar primityvųjį integralą.

Šaltinis: autorius

Funkcijos primityvai pasiekiami išvedant antidegeneraciją arba integraliuoju procesu. Kur F bus f pradmuo, jei taip yra

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integracijos konstanta
• F '(x) = f (x)

Galima pastebėti, kad funkcija turi vieną darinį, skirtingai nuo jos begalinių primityvų, atsirandančių dėl integracijos.

Neapibrėžtasis integralas

∫ f (x) dx = F (x) + C

Tai atitinka kreivių, turinčių tą patį modelį, šeimą, kurioje kiekvieno taško vaizdų vertė nenuosekli (x, y). Kiekviena funkcija, įvykdanti šį modelį, bus atskira primityva, o visų funkcijų rinkinys yra žinomas kaip neapibrėžtasis integralas.

Integracijos konstantos vertė bus tokia, kuri praktikoje išskiria kiekvieną funkciją.

Integracijos pastovus rodo vertikalų poslinkį visų grafikų atstovaujančių funkcijos Pirmykštė. Kur stebimas jų paralelumas ir faktas, kad C yra poslinkio vertė.

Pagal įprastą praktiką integracijos konstanta žymima raide „C“ po papildymo, nors praktiškai nesvarbu, ar konstanta pridedama, ar atimama. Jo tikrąją vertę galima rasti įvairiais būdais, esant skirtingoms pradinėms sąlygoms .

Kitos integracijos konstantos reikšmės

Jau aptarta, kaip integracijos konstanta taikoma integralaus skaičiavimo šakoje ; Atstovauja kreivių, apibrėžiančių neapibrėžtąjį integralą, šeimą. Tačiau daugelis kitų mokslų ir šakų priskyrė labai įdomias ir praktines integracijos pastovumo vertybes , kurios palengvino kelių studijų plėtrą.

Be fizikos integracijos pastovus gali užtrukti kelias reikšmes priklausomai nuo duomenų pobūdžio. Labai dažnas pavyzdys yra funkcijos V (t), kuri žymi dalelės greitį per laiką t, žinojimas . Yra žinoma, kad apskaičiuojant V (t) primityvą, gaunama funkcija R (t), kuri žymi dalelės padėtį laiko atžvilgiu.

Integracijos konstantai atstovauti pradinę padėtį, tai yra, laiko momentu t = 0 reikšmę.

Tuo pačiu būdu, jei yra žinoma funkcija A (t), kuri žymi dalelės pagreitį laiko atžvilgiu. Primityvas A (t) duos funkciją V (t), kur integracijos konstanta bus pradinio greičio V ₀ reikšmė .

Be ekonomikos , gaunant integravimo primityvios kaštų funkcija. Integracijos konstantai atstovauti pastoviąsias sąnaudas. Ir tiek daug kitų programų, kurioms reikalingas diferencinis ir neatsiejamas skaičiavimas.

Kaip apskaičiuojama integracijos konstanta?

Norint apskaičiuoti integracijos konstantą, visada reikės žinoti pradines sąlygas . Kurie yra atsakingi už apibrėžimą, kuris iš galimų primityvų yra atitinkamas.

Daugeliu atvejų jis traktuojamas kaip nepriklausomas kintamasis laiko momentu (t), kai konstanta C užima reikšmes, apibrėžiančias pradines konkretaus atvejo sąlygas.

Jei imtume pradinį pavyzdį: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Tinkama pradinė sąlyga gali būti sąlyga, kad grafikas eina per tam tikrą koordinatę. Pavyzdžiui, mes žinome, kad primityvas (x ² + x + C) eina per tašką (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; tai yra bendras sprendimas

F (1) = 2

Šia lygybe mes pakeičiame bendrą sprendimą

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Iš kur lengvai seka, kad C = 0

Tokiu būdu atitinkamas primityvas šiuo atveju yra F (x) = x ² + x

Yra keletas skaitinių pratimų, veikiančių su integracijos konstantomis, tipų . Tiesą sakant, diferencinis ir integruotasis skaičiavimas nenustoja būti naudojamas dabartiniuose tyrimuose. Skirtingais akademiniais lygmenimis juos galima rasti; pradedant skaičiavimais, per fiziką, chemiją, biologiją, ekonomiką.

Tai taip pat vertinama tiriant diferencialines lygtis , kai integracijos konstanta gali turėti skirtingas vertes ir sprendimus, tai lemia daugybė išvestinių ir integracijų, kurios atliekamos šiuo klausimu.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

1. 30 metrų aukščio patranka iššauna sviedinį vertikaliai aukštyn. Pradinis sviedinio greitis yra žinomas kaip 25 m / s. Nuspręskite:

• Funkcija, apibrėžianti sviedinio padėtį laiko atžvilgiu.
• Skrydžio laikas arba momentas, kai dalelė atsitrenkia į žemę.

Yra žinoma, kad tiesiaeigiu judesiu tolygiai keičiantis, pagreitis yra pastovi vertė. Tai taikoma sviedinio paleidimui, kai pagreitis bus sunkio jėgos

g = - 10 m / s ²

Taip pat žinoma, kad pagreitis yra antrasis pozicijos darinys, nurodantis dvigubą integraciją pratybų skyriuje, taip gaunant dvi integracijos konstantas.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Pradinės pratimo sąlygos rodo, kad pradinis greitis yra V ₀ = 25 m / s. Tai greitis tuo momentu, kai t = 0. Tokiu būdu įsitikinama, kad:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ ir C ₁ = 25

Su apibrėžta greičio funkcija

V (t) = -10t + 25; Panašumas galima pastebėti su MRUV formulė (V _f = V ₀ + AXT)

Homologiniu būdu mes integruojame greičio funkciją, kad gautume išraišką, apibrėžiančią padėtį:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25) dt = -5 t ² + 25 t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (pozicija primityvus)

Pradinė padėtis R (0) = 30 m yra žinoma. Tada apskaičiuojamas ypatingas sviedinio primityvas.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Kur C ₂ = 30

2 pavyzdys

1. Raskite pradines sąlygas atitinkančią primityvą f (x):

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Turint informacijos apie antrąjį darinį f '' (x) = 4, prasideda antiderivacijos procesas

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Tada, žinodami sąlygą f '(2) = 2, einame:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 ir f '(x) = 4x - 8

Tuo pačiu būdu tęsiame antrąją integracijos konstantą

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Pradinė sąlyga f (0) = 7 yra žinoma ir mes tęsiame:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 ir f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Panašiai kaip ir ankstesnėje problemoje, mes apibrėžiame pirmuosius darinius ir pirminę funkciją iš pradinių sąlygų.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) DX = (x ³ /3) + C ₁

Su sąlyga f '(0) = 6 mes einame:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Kur C ₁ = 6 ir f '(x) = (x ³ /3) + 6

Tada antroji integracijos konstanta

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ DX = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Pradinė sąlyga f (0) = 3 yra žinoma ir mes tęsiame:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Kur C ₂ = 3

Taigi mes gauname primityvųjį

f (x) = (x ⁴ /12) + + 6x 3

3 pavyzdys

1. Apibrėžkite primityvias funkcijas, atsižvelgiant į darinius ir tašką grafike:

• dy / dx = 2x - 2, einanti per tašką (3, 2)

Svarbu atsiminti, kad dariniai nurodo linijos, liečiančios kreivę, nuolydį tam tikrame taške. Kai neteisinga manyti, kad darinio grafikas liečia nurodytą tašką, nes tai priklauso nuo primityviosios funkcijos grafiko.

Tokiu būdu diferencialinę lygtį išreiškiame taip:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Pradinės sąlygos taikymas:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Jis gaunamas: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, einantis per tašką (0, 2)

Diferencialinę lygtį išreiškiame taip:

Pradinės sąlygos taikymas:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Gauname: f (x) = x ³ - x + 2

Siūlomi pratimai

1 pratimas

1. Raskite pradines sąlygas atitinkančią primityvą f (x):

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

2 pratimas

1. Balionas, kylantis 16 pėdų / s greičiu, numeta smėlio maišą iš 64 pėdų aukščio virš žemės paviršiaus.

• Apibrėžkite skrydžio laiką
• Koks bus vektorius V _f, kai jis atsitrenks į žemę?

3 pratimas

1. Paveikslėlyje parodyta automobilio, judančio teigiama x ašies kryptimi, pagreičio ir laiko grafikas. Automobilis važiavo pastoviu 54 km / h greičiu, kai vairuotojas sustabdė stabdžius per 10 sekundžių. Nustatyti:

• Pradinis automobilio pagreitis
• Automobilio greitis t = 5s
• Automobilio poslinkis stabdant

Šaltinis: autorius

4 pratimas

1. Apibrėžkite primityvias funkcijas, atsižvelgiant į darinius ir tašką grafike:

• dy / dx = x, einantis per tašką (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, einanti per tašką (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, einantis per tašką (-2, 2)

Nuorodos

1. Integruotasis skaičiavimas. Neapibrėžti integravimo ir integravimo metodai. Wilsonas, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Kintamojo apskaičiavimas. Ankstyvasis transcendentalumas. Meksika: „Thomson Learning“.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integruotasis skaičiavimas. Meksika: „Pearson Education“.
4. Fizika I. Mc Graw kalva