CILINDRINĖS KOORDINATĖS: SISTEMA, KAITA IR PRATIMAI - MATEMATIKA

Kad cilindrinės koordinatės yra naudojami siekiant surasti taškų trimatėje erdvėje ir susideda iš radialinį koordinuoti ρ, φ azimutinis koordinuoti ir z koordinatė aukščio.

Erdvėje esantis taškas P yra statmenai išdėstytas XY plokštumoje, sukuriant tašką P 'toje plokštumoje. Atstumas nuo pradžios iki taško P 'nusako koordinatę ρ, o kampas, kurį X ašis sudaro su spinduliu OP', apibrėžia koordinatę φ. Galiausiai z koordinatė yra stačiakampio taško P projekcija Z ašyje. (žr. 1 paveikslą).

1 paveikslas. Cilindrinių koordinačių taškas P (ρ, φ, z). (Savo parengimas)

Radialinė koordinatė ρ visada yra teigiama, azimutinė koordinatė φ svyruoja nuo nulio radianų iki dviejų pi radianų, o z koordinatė gali įgyti bet kokią realią vertę:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Keisti koordinates

Iš cilindrinių koordinačių (ρ, φ, z) santykinai nesunku gauti taško P dekarto koordinates (x, y, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Taip pat galima gauti polines koordinates (ρ, φ, z), pradedant nuo taško P Dekarto koordinatių (x, y, z) žinios:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arktanas (y / x)

z = z

Vektorinė bazė cilindrinėse koordinatėse

Apibrėžta cilindrinių vienetų vektorių Uρ , Uφ , Uz bazė .

Vektorius Uρ yra liestinės linija φ = ctte ir z = ctte (nukreipta radialiai į išorę), vektorius Uφ yra liestinės linijos ρ = ctte ir z = ctte liestinė, ir pagaliau Uz turi tą pačią Z ašies kryptį.

2 pav. Cilindrinė koordinačių bazė. (Wikimedia Commons)

Cilindrinėje vieneto vietoje taško P padėties vektorius r užrašomas vektoriškai taip:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Kita vertus, begalinis mažiausias poslinkis d r nuo taško P išreiškiamas taip:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Panašiai yra begalinis mažiausias tūrio dV elementas cilindrinėse koordinatėse:

dV = ρ dρ dφ dz

Pavyzdžiai

Yra daugybė cilindrinių koordinačių naudojimo ir taikymo pavyzdžių. Pavyzdžiui, kartografijoje naudojama cilindrinė projekcija, pagrįsta tiksliai šiomis koordinatėmis. Yra daugiau pavyzdžių:

1 pavyzdys

Cilindrinės koordinatės yra pritaikomos technologijoje. Kaip pavyzdį turime CHS (cilindrų-galvų-sektorių) duomenų vietos nustatymo kietajame diske sistemą, kurią iš tikrųjų sudaro keli diskai:

- cilindras arba takelis atitinka koordinatę ρ.

- Sektorius atitinka disko, kuris sukasi dideliu kampu, padėtį φ.

- Galvutė atitinka skaitymo galvutės z padėtį atitinkamame diske.

Kiekvienas informacijos baitas turi tikslų adresą cilindrinėmis koordinatėmis (C, S, H).

2 pav. Informacijos vieta cilindrinėse koordinatėse standžiojo disko sistemoje. (Wikimedia Commons)

2 pavyzdys

Statybiniai kranai nustato krovinio vietą cilindrinėse koordinatėse. Horizontalią padėtį apibrėžia atstumas iki krano ašies ar strėlės ρ ir jo kampinė padėtis φ tam tikros atskaitos ašies atžvilgiu. Krovinio vertikalioji padėtis nustatoma pagal aukščio z koordinatę.

3 pav. Statybinio krano apkrovos vietą galima lengvai išreikšti cilindrinėmis koordinatėmis. („image pixabay“ - komentarai R. Pérez)

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Yra taškai P1 su cilindrinėmis koordinatėmis (3, 120º, -4) ir taškas P2 su cilindrinėmis koordinatėmis (2, 90º, 5). Raskite Euklido atstumą tarp šių dviejų taškų.

Sprendimas: Pirmiausia ieškome kiekvieno taško Dekarto koordinatės pagal aukščiau pateiktą formulę.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Euklido atstumas tarp P1 ir P2 yra:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

2 pratimas

Taškas P turi Dekarto koordinates (-3, 4, 2). Raskite atitinkamas cilindrines koordinates.

Sprendimas: Toliau ieškome cilindrinių koordinačių, naudodamiesi aukščiau pateiktais ryšiais:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arktanas (y / x) = arktanas (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Reikėtų prisiminti, kad arktangento funkcija yra daugiavertė su 180º periodiškumu. Taip pat kampas φ turi priklausyti antrajam kvadrantui, nes taško P x ir y koordinatės yra tame kvadrante. Dėl šios priežasties rezultatas 180o pridedamas φ.

3 pratimas

Išreikškite cilindrinėmis koordinatėmis ir Dekarto koordinatėmis cilindro, kurio spindulys 2 ir kurio ašis sutampa su Z ašimi, paviršiaus.

Sprendimas: Suprantama, kad cilindro z kryptis yra begalinė, taigi minėto paviršiaus lygtis cilindrinėmis koordinatėmis yra:

ρ = 2

Norint gauti cilindro formos Dekarto lygtį, imamas abiejų ankstesnės lygties narių kvadratas:

ρ ² = 4

Padauginame abu aukščiau nurodytos lygybės narius iš 1 ir taikome pamatinę trigonometrinę tapatybę (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Skliaustelis sukurtas norint gauti:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Mes atsimename, kad pirmosios skliaustuose (ρ sin (φ)) yra taško y koordinatė poliarinėse koordinatėse, o skliausteliuose (ρ cos (φ)) nurodoma x koordinatė, kad turėtume cilindro lygtį koordinatėse. Dekarto:

y ² + x ² = 2 ²

Aukščiau pateiktos lygties nereikėtų painioti su apskritimo XY plokštumoje matmeniu, nes tokiu atveju jis atrodytų taip: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

4 pratimas

Baliono, kurio spindulys R = 1 m, o aukščio H = 1m, masė pasiskirsto radialiai pagal šią lygtį D (ρ) = C (1 - ρ / R), kur C yra C = 1 kg / m ³ vertės konstanta. . Raskite bendrą baliono masę kilogramais.

Sprendimas: pirmas dalykas yra suvokti, kad funkcija D (ρ) parodo tūrio masės tankį ir kad masės tankis yra paskirstomas mažėjančio tankio cilindriniuose apvalkaluose nuo centro iki periferijos. Begalinis tūrio elementas pagal problemos simetriją yra:

dV = ρ dρ 2π H

Taigi cilindrinio apvalkalo masė bus be galo maža:

dM = D (ρ) dV

Todėl bendra baliono masė bus išreikšta tokiu apibrėžtu integralu:

M = ∫ _arba^R D (ρ) dV = ∫ _arba^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _arba^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Nurodyto integralo sprendimą nėra sunku gauti, jo rezultatas yra:

∫ _arba^R (1 - ρ / R), ρ dρ = (⅙) R ²

Įtraukus šį rezultatą į baliono masės išraišką, gauname:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Nuorodos

Arfkenas G ir Weberis H. (2012). Matematiniai metodai fizikams. Išsamus vadovas. 7-asis leidimas. Akademinė spauda. ISBN 978-0-12-384654-9
Skaičiavimas cc. Išspręstos cilindrinių ir rutulinių koordinačių problemos. Atkurta iš: calculo.cc
Weisstein, Eric W. „Cilindrinės koordinatės“. Iš „MathWorld“ - „Wolfram Web“. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com
Vikipedija. Cilindrinė koordinačių sistema. Atkurta iš: en.wikipedia.com
Vikipedija. Vektoriniai laukai cilindrinėmis ir sferinėmis koordinatėmis. Atkurta iš: en.wikipedia.com

CILINDRINĖS KOORDINATĖS: SISTEMA, KAITA IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024