STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS: PAVYZDŽIAI IR IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA

Kad stačiakampiai koordinatės arba Dekarto yra tie, kurie yra gauti dėl ortogonalnie išsikišančių trijų ašių STAČIAKAMPES X, Y, Z taškas yra iš trijų - trimatėje erdvėje.

Dekarto ašys yra viena į kitą nukreiptos statmenos viena kitai linijos. Dekarto koordinačių sistemoje kiekvienam erdvės taškui priskiriami trys tikrieji skaičiai, kurie yra jo stačiakampės koordinatės.

1 pav. Taško P stačiakampės koordinatės (sava detalizacija)

Plokštuma yra trimatės erdvės potekstė. Atsižvelgiant į plokštumos taškus, pakaktų pasirinkti statmenų ašių X, Y porą kaip Dekarto sistema. Tada kiekvienam plokštumos taškui priskiriami du tikrieji skaičiai, kurie yra jo stačiakampės koordinatės.

Stačiakampių koordinačių kilmė

Stačiakampės koordinates iš pradžių pasiūlė prancūzų matematikas René Descartes (1596 ir 1650), todėl jos vadinamos Dekarto.

Remiantis šia Dekarto idėja, plokštumos ir tarpo taškai yra priskiriami skaičiais, kad geometrinės figūros susietų algebrinę lygtį ir klasikines geometrines teoremas būtų galima įrodyti algebriniu būdu. Dekarto koordinatėmis gimsta analitinė geometrija.

Dekarto plokštuma

Jei plokštumoje pasirenkamos dvi statmenos linijos, kertančios tašką O; ir jei be kiekvienos linijos yra paskirta kryptis ir skaitmeninė skalė tarp vienas po kito einančių lygiaverčių taškų, tada yra Dekarto sistema arba plokštuma, kurioje kiekvienas plokštumos taškas yra susietas su užsakyta dviejų realiųjų skaičių pora, kuri yra atitinkamai jų projekcija X ir Y ašys.

Taškai A = (3, 2); B = (- 2,3); C = (- 2, -3) ir D = (3, -3) pateiktos Dekarto plokštumoje, kaip parodyta žemiau:

2 pav. Taškai Dekarto plokštumoje. (Savo parengimas)

Atkreipkite dėmesį, kad dvi ašys X ir Y padalija plokštumą į keturis sektorius, vadinamus kvadrantais. Taškas A yra pirmame kvadrante, taškas B yra antrame kvadrante, taškas C yra trečiame kvadrante, o taškas D yra ketvirtame kvadrante.

Atstumas tarp dviejų taškų

Atstumas tarp dviejų taškų A ir B Dekarto plokštumoje yra juos jungiančio segmento ilgis. Šį atstumą galima analiziškai apskaičiuoti taip:

d (A, B) = √ (Bx - kirvis) ^ 2 + (pagal - Ay) ^ 2)

Aukščiau pateikta formulė gaunama taikant Pitagoro teoremą.

Taikydami šią formulę 2 paveikslo taškams A, B, turime:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Tai yra, d (A, B) = 5,10 vienetų. Atminkite, kad atstumas buvo gautas nereikia matuoti liniuote, buvo atlikta visiškai algebrinė procedūra.

Analitinė tiesės išraiška

Stačiakampės koordinatės leidžia analizuoti pagrindinius geometrinius objektus, tokius kaip taškas ir linija. Du taškai A ir B nusako vieną liniją. Linijos nuolydis apibrėžiamas kaip taško B Y koordinačių skirtumo, atėmus A, dalijamasis iš taško B atėmus X koordinačių skirtumą, atėmus A:

nuolydis = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Bet kuris koordinačių taškas P (x, y), priklausantis linijai (AB), turi būti vienodas:

nuolydis = (y - Ay) / (x - Ax)

Lygtis, gaunama per nuolydžių lygybę, yra analitinis arba algebrinis linijos, einančios per taškus A ir B, vaizdas:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Jei paimsime A ir B brėžinius stačiakampės 2 paveikslo koordinatės, mes turime:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Šiuo konkrečiu atveju mes turime liniją su neigiamu nuolydžiu -⅕, tai reiškia, kad, atsidūrus ties linijos tašku ir padidinus x koordinatę vienu vienetu, y koordinatė sumažėja 0,2 vieneto.

Dažniausias būdas užrašyti tiesės lygtį plokštumoje yra tada, kai y koordinatė išvalyta kaip kintamojo x funkcija:

y = - (1/5) x + 13/5

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Analitiniais metodais apskaičiuokite atstumą tarp taškų C ir A, būdami stačiakampėmis C = (-2, -3) ir A = (3,2) koordinatėmis.

Euklidinio atstumo tarp šių dviejų taškų formulė parašyta taip:

d (A, C) = √ ((Cx - Ašis) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Pakeisdami jų atitinkamas stačiakampes koordinates, mes turime:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

2 pavyzdys

Gaukite tiesės, einančios per koordinatės C tašką (-2, -3), ir taško P koordinačių (2, 0), lygtį.

Pirmiausia gaunamas tiesės CP nuolydis:

nuolydis = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Bet kuris bendrųjų stačiakampių koordinačių (x, y) taškas Q, priklausantis linijai CP, turi būti vienodas:

nuolydis = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Kitaip tariant, tiesės CP lygtis yra tokia:

(y +3) / (x +2) = ¾

Alternatyvus būdas užrašyti tiesės CP lygtį yra y:

y = ¾ x - 3/2

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Gaukite linijų y = - (1/5) x + 13/5 ir tiesės y = ¾ x - 3/2 susikirtimo taško stačiakampės koordinates.

Sprendimas: Pagal apibrėžimą dviejų linijų susikirtimo taškas turi tas pačias stačiakampės koordinates. Todėl y koordinatės sankirtos taške yra identiškos abiem linijoms:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

kuris veda prie šios išraiškos:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

išspręsdami gaunamų trupmenų sumą:

19/20 x = 41/10

Sprendimas dėl x:

x = 82/19 = 4,32

Norint gauti sankryžos y vertę, gauta x reikšmė pakeičiama bet kurioje eilutėje:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Tai reiškia, kad nurodytos linijos susikerta taškų I taške I = (4.32, 1.74).

2 pratimas

Gaukite apskritimo, einančio per stačiakampių koordinačių tašką R (3, 4), lygtį, kurio centras yra koordinačių ištakose.

Sprendimas: Spindulys R yra atstumas nuo taško R iki koordinačių pradžios O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Tai yra, tai 5 spindulio apskritimas, kurio centras yra (0,0).

Bet kuris apskritimo taškas P (x, y) turi būti vienodas 5 atstumu nuo centro (0, 0), kad būtų galima parašyti:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Tai yra:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Norėdami pašalinti kvadratinę šaknį, abu lygybės nariai yra padalijami į kvadratą, gaunant:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Kokia yra apskritimo lygtis.

Šis pavyzdys iliustruoja stačiakampės koordinačių sistemos galią, leidžiančią nustatyti geometrinius objektus, tokius kaip perimetras, nereikia naudoti popieriaus, pieštuko ir kompaso. Prašomas apskritimas buvo nustatytas tik algebriniais metodais.

Nuorodos

Arfkenas G ir Weberis H. (2012). Matematiniai metodai fizikams. Išsamus vadovas. 7-asis leidimas. Akademinė spauda. ISBN 978-0-12-384654-9
Skaičiavimas cc. Išspręstos stačiakampių koordinačių problemos. Atkurta iš: calculo.cc
Weisstein, Eric W. „Dekarto koordinatės“. Iš „MathWorld-A Wolfram Web“. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com
Vikipedija. Dekarto koordinačių sistema. Atkurta iš: en.wikipedia.com

STAČIAKAMPĖS KOORDINATĖS: PAVYZDŽIAI IR IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2024