BOOLEAN ALGEBRA: ISTORIJA, TEOREMOS IR POSTULATAI, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2024

Būlio algebra arba Būlio algebra yra Algebrinė notacija naudojami dvejetainiai kintamųjų gydymą. Ji apima bet kurio kintamojo, kuris turi tik 2 galimus rezultatus, vienas kitą papildančius ir vienas kitą paneigiančius, tyrimus. Pvz., Kintamieji, kurių vienintelė galimybė yra tikra ar klaidinga, teisinga ar neteisinga, įjungta arba išjungta, yra Boole algebros tyrimo pagrindas.

Boolean algebra yra skaitmeninės elektronikos pagrindas, todėl šiandien ji yra gana aktuali. Tai reglamentuoja loginių vartų koncepcija, kai ypač paveikiamos žinomos tradicinės algebros operacijos.

Šaltinis: pexels.com

Istorija

Būlio algebrą 1854 m. Įvedė anglų matematikas George'as Boole'as (1815 - 1864 m.), Kuris buvo to meto savamokslis mokslininkas. Jo susirūpinimas kilo dėl dabartinio Augusto De Morgano ir Williamo Hamiltono ginčo dėl parametrų, apibrėžiančių šią loginę sistemą.

George'as Boole'as teigė, kad skaitinių verčių 0 ir 1 apibrėžimas logikos srityje atitinka Nieko ir Visatos aiškinimus.

George'as Boole'as ketino per algebros savybes apibrėžti teiginio logikos išraiškas, reikalingas dvejetainio tipo kintamiesiems nagrinėti.

1854 m. Reikšmingiausi Boole algebros skyriai buvo paskelbti knygoje „Minties dėsnių, kuriais grindžiamos matematinės logikos ir tikimybės teorijos, tyrimas“.

Šis įdomus pavadinimas vėliau bus apibendrintas kaip „minties įstatymai“ („minties įstatymai“). Pavadinimas išgarsėjo dėl neatidėliotino to meto matematikos bendruomenės dėmesio.

1948 m. Claude'as Shannon'as pritaikė jį projektuojant bistabilias elektros perjungimo grandines. Tai buvo įvadas į Būlio algebros taikymą visoje elektroninėje-skaitmeninėje schemoje.

Struktūra

Šio tipo algebros elementariosios vertės yra 0 ir 1, kurios atitinkamai atitinka FALSE ir TRUE. Pagrindinės Būlio algebros operacijos yra 3:

- IR operacija arba jungimas. Atstovaujamas laikotarpis (.). Produkto sinonimas.

- ARBA operacija ar atjungimas. Pavaizduota kryžiumi (+). Sumos sinonimas.

- NE operacija ar neigimas. Atvaizduojamas priešdėliu NE (NE A). Jis taip pat žinomas kaip papildas.

Jei komplekte A 2 vidinės sudėties dėsniai yra apibrėžti kaip sandauga ir suma (. +), Sakoma, kad trigubas (A. +) yra Būlio algebra tada ir tik tada, kai tas trigubas atitinka gardelės sąlygą. paskirstymo.

Norint apibrėžti paskirstomąją gardelę, turi būti laikomasi paskirstymo sąlygų tarp nurodytų operacijų:

. yra paskirstomas sumos + a atžvilgiu. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ yra paskirstomos produkto atžvilgiu. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementai, sudarantys A rinkinį, turi būti dvejetainiai, taigi, jų visuma arba tuštumos vertės.

Programos

Pagrindinis jo taikymo scenarijus yra skaitmeninė atšaka, kur ji naudojama struktūrizuojant grandines, kurios sudaro susijusias logines operacijas. Grandinių paprastumo menas optimizuojant procesus yra teisingo Boole algebros taikymo ir praktikos rezultatas.

Nuo elektrinių skydų kūrimo iki duomenų perdavimo iki programavimo įvairiomis kalbomis, Būlio algebrą dažnai galime rasti visose skaitmeninėse programose.

Būklės kintamieji yra labai paplitę programavimo struktūroje. Priklausomai nuo naudojamos programavimo kalbos, kode bus naudojamos struktūrinės operacijos, kurios naudoja šiuos kintamuosius. Kiekvienos kalbos sąlygos ir argumentai leidžia Boole kintamiesiems apibrėžti procesus.

Postulatai

Yra teoremų, reglamentuojančių Boole algebros struktūrinius loginius dėsnius. Lygiai taip pat yra postulatai, žinantys galimus įvairių dvejetainių kintamųjų derinių rezultatus, atsižvelgiant į atliktą operaciją.

Suma (+)

OR operatorius, kurio loginis elementas yra sąjunga (U), dvejetainiams kintamiesiems yra apibrėžiamas taip:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produktas (.)

IR operatorius, kurio loginis elementas yra sankirta (∩), dvejetainiams kintamiesiems yra apibrėžiamas taip:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

vienas. 0 = 0

vienas. 1 = 1

Priešais (NE)

NOT operatorius, kurio loginis elementas yra papildymas (X) ', dvejetainiams kintamiesiems yra apibrėžiamas taip:

NE 0 = 1

NE 1 = 0

Daugelis postulatų skiriasi nuo savo įprastų algebrų atitikmenų. Taip yra dėl kintamųjų srities. Pvz., Pridėjus Visatos elementus į Boole algebrą (1 + 1), negalima duoti įprasto rezultato 2, nes jis nepriklauso dvejetainės aibės elementams.

Teoremos

Nulio ir vienybės taisyklė

Apibrėžiama bet kokia paprasta operacija, apimanti elementą su dvejetainiais kintamaisiais:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

vienas. A = A

Lygios galios arba idempotency

Operacijos tarp vienodų kintamųjų apibrėžiamos taip:

A + A = A

Į. A = A

Papildymas

Bet koks veiksmas tarp kintamojo ir jo komplemento yra apibrėžiamas kaip:

A + NE A = 1

Į. NE A = 0

Involiucija arba dvigubas neigimas

Bet koks dvigubas neigimas bus laikomas natūraliu kintamuoju.

NE (NE A) = A

Komutacinis

A + B = B + A; Sumos komutabilumas.

Į. B = B Į; Produkto komutabilumas.

Asociatyvus

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Sumos asociatyvumas.

Į. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produkto asociatyvumas.

Platinamasis

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Sumos pasiskirstymas produkto atžvilgiu.

Į. (B + C) = (A. B) + (A + C); Produkto paskirstymas sumos atžvilgiu.

Absorbcijos įstatymai

Tarp daugybės nuorodų yra daug absorbcijos įstatymų, vieni iš žinomiausių yra šie:

Į. (A + B) = A

Į. (NE A + B) = A. B

NE A (A + B) = NE A. B

(A + B). (A + NE B) = A

A + A. B = A

A + NE A. B = A + B

NE A + A. B = NE A + B

Į. B + A. NE B = A

Morgano teorema

Tai yra transformacijos dėsniai, tvarkantys kintamųjų poras, sąveikaujančias tarp apibrėžtų Boole algebros (+) operacijų.

NE (A. B) = NE A + NE B

NE (A + B) = NE A. NE B

A + B = NE (NE A + NE B)

Į. B = NE (NE A. NE B)

Dualumas

Visi postulatai ir teoremos turi dvilypumą. Tai reiškia, kad keičiantis kintamaisiais ir operacijomis patvirtinamas gautas teiginys. T. y., Kai keičiate 0 į 1 ir IR į ARBA arba atvirkščiai; sukuriama išraiška, kuri taip pat bus visiškai galiojanti.

Pavyzdžiui, jei imamas postulatas

vienas. 0 = 0

Ir dualumas yra taikomas

0 + 1 = 1

Gaunamas dar vienas visiškai teisingas postulatas.

Karnaugh žemėlapis

Karnaugh žemėlapis yra schema, naudojama Boole algebroje, siekiant supaprastinti logines funkcijas. Jį sudaro dvimatis išdėstymas, panašus į teiginio logikos tiesos lenteles. Duomenis iš tiesos lentelių galima tiesiogiai užfiksuoti Karnaugh žemėlapyje.

Karnaugh žemėlapis gali apimti iki 6 kintamųjų procesus. Funkcijoms, turinčioms didesnį kintamųjų skaičių, norint supaprastinti procesą, rekomenduojama naudoti programinę įrangą.

Maurice Karnaugh pasiūlytas 1953 m. Jis buvo nustatytas kaip fiksuotas įrankis Boole algebra srityje, nes jo įgyvendinimas sinchronizuoja žmogaus potencialą su poreikiu supaprastinti Boole išraiškas, tai yra pagrindinis skaitmeninių procesų sklandumo aspektas.

Pavyzdžiai

Boolean algebra naudojama siekiant sumažinti loginius vartus grandinėje, kur prioritetas yra suteikti grandinės sudėtingumui ar lygiui mažiausią įmanomą išraišką. Taip yra dėl skaičiavimo vėlavimo, kurį reikalauja visi vartai.

Toliau pateiktame pavyzdyje stebėsime loginės išraiškos supaprastinimą iki minimalios išraiškos, naudojant Boole algebros teoremas ir postulatus.

NE (AB + A + B). NE (A + NE B)

NE. NE (A + NE B); Faktoringas A su bendru koeficientu.

NE. NE (A + NE B); Pagal teoremą A + 1 = 1.

NE (A + B). NE (A + NE B); pagal A teoremą 1 = A

(NE A. NE B). ;

Pagal Morgano teoremą NE (A + B) = NE A. NE B

(NE A. NE B). (NE A. B); Pagal dvigubos neigimo teoremą NE (NE A) = A

NE A. NE B. NE A. B; Algebrinis grupavimas.

NE A. NE A. NE B. B; Produkto A komutabilumas B = B Į

NE A. NE B. B; Pagal A teoremą. A = A

NE A. 0; Pagal A teoremą. NE A = 0

0; Pagal A teoremą. 0 = 0

Į. B. C + NE A + A. NE B. C

Į. C. (B + NE B) + NE A; Faktoringas (A. C) su bendru koeficientu.

Į. C. (1) + NE A; Pagal teoremą A + NE A = 1

Į. C + NE A; Pagal nulinės teoremos ir vienybės taisyklę 1. A = A

NE A + C ; Pagal Morgano įstatymą + NE A. B = A + B

Šiam sprendimui reikia išplėsti Morgano įstatymą, kad būtų apibrėžta:

NE (NE A). C + NE A = NE A + C

Nes NE (NE A) = A pagal įsitraukimą.

Supaprastinkite logikos funkciją

NE A. NE B. NE C + NE A. NE B. C + NE A. NE C iki mažiausios išraiškos

NE A. NE B. (NE C + C) + NE A. NE C; Faktoringas (NE A. NE B) su bendru koeficientu

NE A. NE B. (1) + NE A. NE C; Pagal teoremą A + NE A = 1

(NE A. NE B) + (NE A. NE C); Pagal nulinės teoremos ir vienybės taisyklę 1. A = A

NE A (NE B + NE C); Faktoringas NE A su bendru koeficientu

NE A. NE (B. C); Pagal Morgano įstatymus NE (A. B) = NE A + NE B

NE pagal Morgano įstatymus NE (A. B) = NE A + NE B

Bet kuri iš 4 paryškintų parinkčių parodo galimą sprendimą sumažinti grandinės lygį

Paprasčiausia loginę funkciją supaprastinti

(A. NE B. C + A. NE B. B. D + NE A. NE B). C

(A. NE B. C + A. 0. D + NE A. NE B). C; Pagal A teoremą. NE A = 0

(A. NE B. C + 0 + NE A. NE B). C; Pagal A teoremą. 0 = 0

(A. NE B. C + NE A. NE B). C; Pagal teoremą A + 0 = A

Į. NE B. C. C + NE A. NE B. C; Pagal produkto paskirstymą sumos atžvilgiu

Į. NE B. C + NE A. NE B. C; Pagal A teoremą. A = A

NE B. C (A + NE A) ; Faktoringas (NE B. C) su bendru koeficientu

NE B. C (1); Pagal teoremą A + NE A = 1

NE B. C; Pagal nulinės teoremos ir vienybės taisyklę 1. A = A

Nuorodos

1. Boolean algebra ir jos taikymai J. Eldon Whitesitt. Kontinentinė leidybos įmonė, 1980 m.
2. Matematika ir inžinerija kompiuterių moksle. Christopheris J. Van Wykas. Kompiuterių ir technologijos institutas. Nacionalinis standartų biuras. Vašingtone, 20234 m
3. Kompiuterijos matematika. Erikas Lehmanas. „Google Inc.“,
   F Thomson Leighton Matematikos katedra ir Kompiuterių mokslo bei AI laboratorija, Masačūsetso technologijos institutas; „Akamai Technologies“.
4. Santraukos analizės elementai. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematikos katedra. Dublino universiteto koledžas, Beldfield, Dublind.
5. Įvadas į logiką ir dedukcinių mokslų metodiką. Alfredas Tarskis, Niujorko Oksfordas. Oksfordo universiteto spauda.