VEKTORINĖ ALGEBRA: PAGRINDAI, DYDŽIAI, VEKTORIAI - MATEMATIKA

Vektorius algebra yra matematika filialas, studijos Tiesinių lygčių sistemos, vektoriai, matricos, vektorines erdves ir tiesinių transformacijų. Tai yra susijusi su tokiomis sritimis kaip inžinerija, diferencialinių lygčių sprendimas, funkcinė analizė, operacijų tyrimai, kompiuterinė grafika.

Kita sritis, kurią priėmė linijinė algebra, yra fizika, nes per ją buvo įmanoma išplėsti fizikinių reiškinių tyrimą, apibūdinant juos naudojant vektorius. Tai leido geriau suprasti visatą.

Pagrindai

Vektorių algebra atsirado iš ketvertų (realiųjų skaičių pratęsimo) 1, i, j ir k tyrimo, taip pat iš Dekarto geometrijos, kurią propagavo Gibbsas ir Heaviside'as, kurios suprato, kad vektoriai bus priemonė vaizduoja įvairius fizinius reiškinius.

Vektorinė algebra tiriama remiantis trimis pagrindais:

Geometriškai

Vektoriai vaizduojami linijomis, kurios turi orientaciją, o tokios operacijos kaip sudėjimas, atimtis ir daugyba iš realiųjų skaičių yra apibrėžtos geometriniais metodais.

Analitiškai

Vektorių ir jų operacijų aprašymas atliekamas su skaičiais, vadinamais komponentais. Šis aprašymo tipas yra geometrinio vaizdavimo rezultatas, nes naudojama koordinačių sistema.

Aksiomatiškai

Aprašomi vektoriai, neatsižvelgiant į koordinačių sistemą ar bet kokį geometrinio vaizdavimo tipą.

Figūros erdvėje tiriamos per jų atvaizdavimą atskaitos sistemoje, kuri gali būti viena ar daugiau matmenų. Tarp pagrindinių sistemų yra:

- Vienmatė sistema, kuri yra tiesė, kai vienas taškas (O) žymi kilmę, o kitas taškas (P) nustato skalę (ilgį) ir jos kryptį:

- Stačiakampė koordinačių sistema (dvimatė), kurią sudaro dvi statmenos linijos, vadinamos x ašimi ir y ašimi, einančios per taško (O) ištaką; tokiu būdu plokštuma yra padalinta į keturis regionus, vadinamus kvadrantais. Šiuo atveju taškas (P) plokštumoje nurodomas tarp ašių ir P esančių atstumų.

- Polinių koordinačių sistema (dvimatė). Šiuo atveju sistemą sudaro taškas O (kilmė), kuris vadinamas poliu, ir spindulys, kurio kilmė O, vadinama poline ašimi. Šiuo atveju plokštumos taškas P, atsižvelgiant į polių ir polinę ašį, nurodomas kampu (Ɵ), kurį sudaro atstumas tarp pradžios ir taško P.

- Stačiakampė trimatė sistema, sudaryta iš trijų statmenų linijų (x, y, z), kurių ištakos yra taškas O erdvėje. Sudaromos trys koordinatės plokštumos: xy, xz ir yz; erdvė bus padalinta į aštuonis regionus, vadinamus oktantais. Taško P atskaitos tašką erdvėje nurodo atstumai, esantys tarp plokštumų ir P.

Didybės

Didumas yra fizinis dydis, kurį galima suskaičiuoti arba išmatuoti naudojant skaitinę vertę, kaip kai kurių fizinių reiškinių atveju; tačiau ne kartą reikia sugebėti apibūdinti šiuos reiškinius ne skaitiniais, o kitais veiksniais. Štai kodėl dydžiai skirstomi į du tipus:

Skaliarinis dydis

Tai yra tie kiekiai, kurie yra apibrėžti ir pavaizduoti skaičiais; y., moduliu kartu su matavimo vienetu. Pavyzdžiui:

a) Laikas: 5 sekundės.

b) Masė: 10 kg.

c) tūris: 40 ml.

d) Temperatūra: 40 ºC.

Vektoriaus dydis

Tai yra tie dydžiai, kuriuos apibrėžia ir parodo modulis kartu su vienetu, taip pat prasmė ir kryptis. Pavyzdžiui:

a) greitis: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) pagreitis: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Jėga: 280 N, 120º.

d) Svoris: -40 ĵ kg-f.

Vektorių dydžiai grafiškai pavaizduoti vektoriais.

Kas yra vektoriai?

Vektoriai yra vektoriaus dydžio grafinis vaizdas; tai yra, jie yra linijos segmentai, kurių galutinis galas yra strėlės galas.

Juos lemia jo modulis arba segmento ilgis, jo kryptis, nurodoma rodyklės galu, ir kryptis pagal liniją, kuriai ji priklauso. Vektoriaus kilmė taip pat žinoma kaip taikymo vieta.

Vektoriaus elementai yra šie:

Modulis

Tai yra atstumas nuo vektoriaus pradžios iki pabaigos, žymimas tikruoju skaičiumi kartu su vienetu. Pavyzdžiui:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresas

Tai yra kampo, esančio tarp x ašies (iš teigiamos) ir vektoriaus, matas, taip pat naudojami kardinalūs taškai (šiaurė, pietai, rytai ir vakarai).

Jausmas

Jį nurodo rodyklės galvutė, esanti vektoriaus gale, nurodanti, kur ji eina.

Vektorių klasifikacija

Paprastai vektoriai yra klasifikuojami kaip:

Fiksuotas vektorius

Tai yra tas, kurio taikymo taškas (kilmė) yra fiksuotas; tai yra, jis lieka susietas su erdvės tašku, todėl negali jame judėti.

Laisvas vektorius

Jis gali laisvai judėti erdvėje, nes jo kilmė juda į bet kurį tašką, nekeisdama jo modulio, krypties ar krypties.

Stumdomas vektorius

Tai yra tas, kuris gali perduoti savo kilmę išilgai savo veikimo linijos, nekeisdamas savo modulio, krypties ar krypties.

Vektorių savybės

Tarp pagrindinių vektorių savybių yra šios:

Vektorių komandos

Tai yra laisvieji vektoriai, turintys tą patį modulį, kryptį (arba jie yra lygiagrečiai) ir prasmę kaip slenkantis vektorius arba fiksuotas vektorius.

Lygiaverčiai vektoriai

Tai įvyksta, kai du vektoriai turi tą pačią kryptį (arba yra lygiagrečiai), tą patį pojūtį ir, nepaisant skirtingų modulių ir taikymo taškų, jie sukelia tuos pačius efektus.

Vektorių lygybė

Jie turi tą patį modulį, kryptį ir prasmę, net kai jų pradiniai taškai yra skirtingi, o tai leidžia lygiagrečiam vektoriui išversti jį nepaveikiant.

Priešingi vektoriai

Jie turi tuos pačius modulius ir kryptis, tačiau jų prasmė priešinga.

Vieneto vektorius

Tai yra modulis, lygus vienetui (1). Tai gaunama padalijus vektorių iš jo modulio ir naudojamas vektoriaus krypčiai ir pojūčiui nustatyti plokštumoje arba erdvėje, naudojant bazinius arba normalizuotus vienetinius vektorius, kurie yra:

Nulis vektorius

Tai yra tas, kurio modulis lygus 0; tai yra, jo pradžios ir pabaigos taškas sutampa tame pačiame taške.

Vektoriaus komponentai

Vektoriaus komponentai yra tos vektoriaus projekcijų vertės, esančios atskaitos sistemos ašyse; Atsižvelgiant į vektoriaus skilimą, kuris gali būti ant dviejų ar trijų matmenų ašių, atitinkamai bus gaunami du arba trys komponentai.

Vektoriaus komponentai yra realieji skaičiai, kurie gali būti teigiami, neigiami ar net nulis (0).

Taigi, jei mes turime vektorių Ā, kurio pradžia yra stačiakampėje koordinačių sistemoje xy plokštumoje (dvimatė), projekcija x ašyje yra Āx, o projekcija y ašyje yra Āy. Taigi vektorius bus išreikštas jo komponentų vektorių suma.

Pavyzdžiai

Pirmas pavyzdys

Mes turime vektorių Ā, kuris prasideda nuo pradžios, ir nurodomos jo galų koordinatės. Taigi, vektorius Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Jei vektorius Ā veikia trijų matmenų trikampių koordinačių sistemos (erdvėje) ištakose (kitoje vietoje) iki kito taško (P), jo ašių projekcijos bus Āx, Āy ir Āz; taigi vektorius bus išreikštas jo trijų komponentų vektorių suma.

Antras pavyzdys

Mes turime vektorių Ā, kuris prasideda nuo pradžios, ir nurodomos jo galų koordinatės. Taigi vektorius Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektoriai, kurių koordinatės yra stačiakampės, gali būti išreikšti kaip baziniai vektoriai. Tam kiekviena koordinatė turi būti padauginta tik iš atitinkamo vieneto vektoriaus taip, kad plokštumai ir erdvei jos būtų šios:

Plokštumai: Ā = A _x i + A _y j.

Tarpui: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektorinės operacijos

Yra daugybė modulių, turinčių pojūtį ir kryptį, pvz., Pagreitis, greitis, poslinkis, jėga.

Jie yra taikomi įvairiose mokslo srityse, ir tam tikrais atvejais būtina atlikti tokias operacijas, kaip vektorių ir skaliarų sudėjimas, atimtis, daugyba ir padalijimas.

vektorių sudėjimas ir atimtis

Vektorių sudėjimas ir atimtis laikomi viena algebrine operacija, nes atimtį galima užrašyti kaip sumą; pavyzdžiui, vektorių Ā ir Ē atimtį galima išreikšti taip:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Yra skirtingi vektorių sudėjimo ir atimties metodai: jie gali būti grafiniai arba analitiniai.

Grafiniai metodai

Naudojamas, kai vektorius turi modulį, kryptį ir kryptį. Tam brėžiamos linijos, kurios sudaro figūrą, kuri vėliau padeda nustatyti rezultatą. Tarp žinomiausių yra šie:

Paralelogramo metodas

Norėdami sudėti ar atimti du vektorius, koordinačių ašyje pasirenkamas bendras taškas, kuris atstovaus vektorių pradinį tašką, išlaikant jo modulį, kryptį ir kryptį.

Tada linijos nubrėžtos lygiagrečiai vektoriams, sudarant paralelę. Gautas vektorius yra įstrižainė, einanti nuo abiejų vektorių pradžios taško iki lygiagretės diagramos viršūnės:

Trikampio metodas

Šiuo metodu vektoriai dedami vienas po kito, išlaikant jų modulius, kryptis ir kryptis. Gautas vektorius sudarys pirmojo vektoriaus kilmės sąjungą su antrojo vektoriaus pabaiga:

Analizės metodai

Geometriniu arba vektoriniu metodu galima sudėti arba atimti du ar daugiau vektorių:

Geometrinis metodas

Kai du vektoriai sudaro trikampį ar paralelę, m) .push ({});

- Skaliarinė paskirstomoji savybė: jei vektorius padauginamas iš dviejų skaliarų sumos, jis yra lygus vektoriaus padauginimui kiekvienoje skalėje.

Vektorių dauginimas

Daugyba arba vektorių sandauga gali būti padaryta kaip sudėjimas ar atimtis, tačiau tai padarius prarandama fizinė prasmė ir beveik niekada nerandama programose. Dėl šios priežasties dažniausiai naudojamos produktų rūšys yra skaliarinis ir vektorinis produktas.

Skaliarinis produktas

Jis taip pat žinomas kaip dviejų vektorių taškinis produktas. Kai dviejų vektorių moduliai padauginami iš mažiausio tarp jų suformuoto kampo kosinuso, gaunamas skalaras. Norėdami išreikšti skaliarinį sandaugą tarp dviejų vektorių, tarp jų dedamas taškas, kurį galima apibrėžti taip:

Kampo, esančio tarp dviejų vektorių, vertė priklausys nuo to, ar jie yra lygiagrečiai, ar statmenai; taigi, jūs turite:

- Jei vektoriai yra lygiagrečiai ir turi tą patį pojūtį, kosinusas 0º = 1.

- Jei vektoriai yra lygiagrečiai ir turi priešingas puses, kosinusas 180º = -1.

- Jei vektoriai yra statmeni, kosinusas 90º = 0.

Šį kampą taip pat galima apskaičiuoti žinant, kad:

Taškinis produktas turi šias savybes:

- Komutacinė savybė: vektorių tvarka nekeičia skaliarų.

-Paskirstomoji savybė: jei skaliarą padauginkite iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus kiekvieno vektoriaus skaliarui.

Vektorinis produktas

Vektorių dauginimas arba dviejų vektorių A ir B kryžminis sandauga duos naują vektorių C ir yra išreiškiamas naudojant vektorių kryžmą:

Naujasis vektorius turės savo ypatybes. Tokiu būdu:

- Kryptis: šis naujas vektorius bus statmenas plokštumai, kurią nustato pradiniai vektoriai.

- Kryptis: tai nustatoma pagal dešinės rankos taisyklę, kai vektorius A pasukamas link B, pirštais nurodant sukimosi kryptį, o nykščiu pažymima vektoriaus kryptis.

- Modulis: jį lemia vektorių AxB modulių padauginimas iš mažiausio kampo, kuris yra tarp šių vektorių, sinuso. Jis išreiškiamas:

Kampo, esančio tarp dviejų vektorių, vertė priklausys nuo to, ar jie yra lygiagrečiai, ar statmenai. Taigi, galima teigti:

- Jei vektoriai yra lygiagrečiai ir turi tą patį pojūtį, sinusas 0º = 0.

- Jei vektoriai yra lygiagrečiai ir nukreipti priešingai, sinusas 180º = 0.

- Jei vektoriai yra statmeni, sinusas 90º = 1.

Kai vektorinis produktas yra išreiškiamas jo baziniais vektoriais, turime: