AKSIOMATINIS METODAS: CHARAKTERISTIKOS, ŽINGSNIAI, PAVYZDŽIAI - KULTŪROS ŽODYNAS - 2025

Aksioma metodas arba vadinamas aksiomatiką yra oficiali procedūra, kurią naudoja mokslų, kuriais yra suformuluotas ataskaitas arba teiginiai vadinami aksiomomis, sujungti vienas su kitu pagal atskaityti atžvilgiu ir kad yra iš hipotezių ar sąlygų tam tikros sistemos pagrindas.

Šis bendras apibrėžimas turi būti apibrėžtas atsižvelgiant į evoliuciją, kurią ši metodika turėjo per visą istoriją. Visų pirma, yra senovės arba turinio metodas, gimęs Senovės Graikijoje iš Euklido ir vėliau išplėtotas Aristotelio.

Antra, jau XIX amžiuje atsirado geometrija, kurios aksiomos skiriasi nuo Euklido. Galiausiai - formalus arba modernus aksiomatinis metodas, kurio didžiausias eksponatas buvo Davidas Hilbertas.

Laikui bėgant, ši procedūra buvo dedukcinio metodo pagrindas, naudojamas geometrijoje ir logikoje, kur ji atsirado. Jis taip pat buvo naudojamas fizikoje, chemijoje ir biologijoje.

Jis netgi buvo pritaikytas teisės moksle, sociologijoje ir politinėje ekonomikoje. Tačiau šiuo metu svarbiausia jos taikymo sritis yra matematika ir simbolinė logika bei kai kurios fizikos šakos, tokios kaip termodinamika, mechanika, be kitų disciplinų.

charakteristikos

Nors pagrindinė šio metodo savybė yra aksiomų formulavimas, jos ne visada buvo vertinamos vienodai.

Yra keletas, kuriuos galima apibrėžti ir sukonstruoti savavališkai. Ir kiti, pagal modelį, kuriame intuityviai vertinama jos garantuojama tiesa.

Norint konkrečiai suprasti, ką sudaro šis skirtumas ir jo pasekmės, būtina pereiti šio metodo evoliuciją.

Senovinis arba turinio aksiomatinis metodas

Tai yra senovės Graikijoje įsteigta 5 a. Pr. Kr. Jos taikymo sritis yra geometrija. Pagrindinis šio etapo darbas yra Euklido elementai, nors manoma, kad prieš jį Pitagoras jau buvo pagimdęs aksiomatinį metodą.

Taigi graikai tam tikrus faktus vertina kaip aksiomas, nereikia jokių loginių įrodymų, tai yra, nereikia įrodymų, nes jiems jie yra savaime suprantama tiesa.

Savo ruožtu Euklidas pateikia penkias geometrijos aksiomas:

1 - Atsižvelgiant į du taškus, yra linija, kurioje yra arba jungia juos.

2 - Bet kurį segmentą galima nuolat pratęsti neribotoje linijoje iš abiejų pusių.

3 - Galite nupiešti apskritimą, kurio centras būtų bet kuriame taške ir bet kokiu spinduliu.

4-Stačiakampiai visi vienodi.

5-Paėmus bet kurią tiesę ir bet kurį tašką, kurio nėra joje, lygiagreti tiesė yra tiesė, kurioje yra tas taškas. Ši aksioma vėliau bus žinoma kaip paralelių aksioma ir ji taip pat apibūdinta taip: vieną tašką galima nubrėžti iš taško, esančio už linijos.

Tačiau tiek Euklidas, tiek vėlesni matematikai sutaria, kad penktoji aksioma nėra tokia intuityviai aiški kaip kitos 4. Net Renesanso metu bandoma išvesti penktąją iš kitų 4, tačiau tai neįmanoma.

Dėl to jau XIX amžiuje tie, kurie išlaikė penketuką, palaikė Euklido geometriją, o tie, kurie paneigė penktą, sukūrė ne Euklido geometrijas.

Neeuklidinis aksiomatinis metodas

Būtent Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis, Jánosas Bolyai ir Johanas Karlas Friedrichas Gaussas mato galimybę be prieštaravimų sukurti geometriją, gaunamą iš kitų, ne Euklido, aksiomų sistemų. Tai griauna tikėjimą absoliučia tiesa ar a priori aksiomomis ir iš jų kylančiomis teorijomis.

Todėl aksiomos pradedamos suvokti kaip tam tikros teorijos išeities taškus. Tiek jo pasirinkimas, tiek jo pagrįstumo problema vienokia ar kitokia prasme pradeda būti susiję su faktais, nepriklausančiais aksiomatinei teorijai.

Tokiu būdu atsiranda geometrinės, algebrinės ir aritmetinės teorijos, sukurtos aksiomatiniu metodu.

Šis etapas kulminacija yra aksiomatinių aritmetikos sistemų, tokių kaip Giuseppe Peano 1891 m., Sukūrimas; Davido Huberto geometrija 1899 m .; Alfredo North Whiteheado ir Bertrando Russellio Anglijoje 1910 m. pareiškimai ir predikatiniai skaičiavimai; Ernsto Friedricho Ferdinando Zermelo aksiomatinė aibių teorija 1908 m.

Modernus arba formalus aksiomatinis metodas

Būtent Davidas Hubertas inicijuoja formalaus aksiomatinio metodo koncepciją, ir tai lemia jo kulminaciją, Davidas Hilbertas.

Būtent Hilbertas formalizuoja mokslinę kalbą, laikydamas jos teiginius formulėmis ar ženklų sekomis, kurios savaime neturi prasmės. Jie įgyja prasmę tik tam tikru aiškinimu.

„Geometrijos pagrindai“ jis paaiškina pirmąjį šios metodikos pavyzdį. Nuo šiol geometrija tampa grynų loginių pasekmių mokslu, kuris yra išgaunamas iš hipotezių ar aksiomų sistemos, geriau artikuliuotos nei Euklido sistema.

Taip yra todėl, kad senovės sistemoje aksiomatinė teorija pagrįsta aksiomų įrodymais. Nors formalios teorijos pagrindas yra jos aksiomų neprieštaringumo įrodymas.

Žingsniai

Taikant aksiomatinę struktūrizaciją pagal mokslo teorijas, pripažįstama:

a - tam tikro skaičiaus aksiomų pasirinkimas, tai yra keletas tam tikros teorijos teiginių, kurie priimami nereikia įrodinėti.

b - pateiktoje teorijoje nėra apibrėžtos sąvokos, kurios yra šių teiginių dalis.

c - yra nustatytos pateiktos teorijos apibrėžimo ir išskaičiavimo taisyklės, leidžiančios teorijoje įvesti naujas sąvokas ir logiškai išvesti kai kuriuos teiginius iš kitų.

d-kiti teorijos teiginiai, tai yra, teorema, yra išvedami iš a remiantis c.

Pavyzdžiai

Šis metodas gali būti patikrintas įrodžius dvi žinomiausias Euklido teoremas: kojų teoremą ir aukščio teoremą.

Abu šie atvejai atsiranda stebint šį Graikijos geometrą, kai, pavaizduotas stačiakampyje trikampio atžvilgiu, atsiranda dar du originalo trikampiai. Šie trikampiai yra panašūs vienas į kitą ir tuo pačiu metu panašūs į kilmės trikampį. Tai reiškia, kad jų homologinės pusės yra proporcingos.

Galima pastebėti, kad sugretinti kampai trikampiuose tokiu būdu patikrina panašumą, kuris egzistuoja tarp trijų susijusių trikampių pagal AAA panašumo kriterijų. Šis kriterijus teigia, kad kai du trikampiai turi visus vienodus kampus, jie yra panašūs.

Parodžius, kad trikampiai yra panašūs, galima nustatyti pirmoje teoremoje nurodytas proporcijas. Tas pats teiginys, kad stačiakampyje trikampyje kiekvienos kojos matmuo yra geometrinis proporcingas vidurkis tarp hipotenuzės ir kojos projekcijos ant jos.

Antroji teorema yra aukščio. Jame nurodoma, kad bet koks stačiakampio trikampio aukštis, nubrėžtas pagal hipotenuzę, yra geometrinis proporcingas vidurkis tarp segmentų, kuriuos nustato minėtas geometrinis vidurkis ant hipotenuzės.

Žinoma, abi teoremos visame pasaulyje yra pritaikomos ne tik mokymo, bet ir inžinerijos, fizikos, chemijos ir astronomijos srityse.

Nuorodos

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrija, formalizmas ir intuicija: Davidas Hilbertas ir formalusis aksiomatinis metodas (1895–1905). „Revista de Filosofía“, 39 tomas, Nr. 2, p. 121–146. Paimta iš žurnalų.ucm.es.
2. Hilbertas, Deividas. (1918 m.) Aksiomatinė mintis. W. Ewald, redaktorius, nuo Kanto iki Hilbert: šaltinio knyga, pagrįsta matematika. II tomas, 1105–1114 psl. „Oxford University Press“. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Koks yra aksiomatinis metodas? Sintezė, 2011 m. Lapkričio mėn., 189 tomas, p. 69–85. Paimta iš link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Įvadas į šiuolaikinę teisės filosofiją. (p. 48–49). Paimta iš knygų.google.com.ar.
5. Nirenbergas, Ricardo. (1996) Aksiomatinis metodas, Ricardo Nirenberg skaitymas, 1996 m. Ruduo, Albanio universitetas, projektas „Renesansas“. Paimta iš Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbertas tarp formaliosios ir neoficialiosios matematikos pusės. Rankraščio tomas 38 Nr. 2, Campinas liepa / rugpjūtis 2015. Paimta iš scielo.br.