SVEIKAS SKAIČIUS: SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Į sveikieji skaičiai yra naudingų numerių rinkinys skaičiuoti objektui užbaigti privilegijuotųjų ir ne. Taip pat suskaičiuoti tuos, kurie yra vienoje ir kitoje pusėje tam tikroje atskaitos vietoje.

Taip pat su sveikaisiais skaičiais galite atimti skaičių arba skirtumą tarp kito ir didesnio nei jis, pvz., Rezultatas bus padengtas kaip skola. Skirtumas tarp uždarbio ir skolos yra atitinkamai padarytas + ir - ženklais.

1 paveikslas. Skaičių eilutė sveikų skaičių atžvilgiu. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. „Leomg“ / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Todėl sveikų skaičių rinkinį sudaro:

- Teigiami sveikieji skaičiai, rašomi prieš + ženklą arba paprasčiausiai be ženklo, nes taip pat suprantama, kad jie yra teigiami. Pvz .: +1, +2, + 3 … ir pan.

-0 taškas, kuriame žymuo neturi reikšmės, nes nesvarbu jo pridėti, norint jį atimti iš tam tikro kiekio. Bet 0 yra labai svarbus, nes tai yra nuoroda į sveikus skaičius: vienoje pusėje yra teigiami, o kitoje - neigiami, kaip matome 1 paveiksle.

-Negatyvūs sveikieji skaičiai, kurie visada turi būti rašomi prieš ženklą, - nes su jais išskiriamos tokios sumos kaip skolos ir visos tos, kurios yra kitoje nuorodos pusėje. Neigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai yra: -1, -2, -3… ir vėliau.

Kaip pateikiami sveikieji skaičiai?

Iš pradžių pavaizduoti sveikieji skaičiai su nustatytomis žymomis: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, tai yra, sąrašai ir organizuotas. Tačiau labai naudinga figūra, kurią naudoja skaičių eilutė. Tam reikia nubrėžti liniją, kuri paprastai yra horizontali, ant kurios pažymėta 0 ir padalyta į identiškas dalis:

2 paveikslas. Sveikų skaičių pavaizdavimas skaičių eilutėje. Iš 0 į dešinę yra teigiami sveikieji skaičiai, o nuo 0 į kairę - neigiami. Šaltinis: F. Zapata.

Neigiami eina į kairę nuo 0, o neigiami - į dešinę. Rodyklės skaičių eilutėje simbolizuoja, kad skaičiai eina į begalybę. Atsižvelgiant į bet kurį skaičių, visada galima rasti didesnį ar kitą mažesnį.

Absoliuti sveikojo skaičiaus reikšmė

Absoliuti sveikojo skaičiaus reikšmė yra atstumas tarp skaičiaus ir 0. O atstumai visada yra teigiami. Taigi neigiamas sveikasis skaičius yra absoliutus skaičius be jo minuso ženklo.

Pvz., Absoliuti -5 vertė yra 5. Absoliuti reikšmė yra žymima juostomis taip:

--5- = 5

Norėdami jį vizualizuoti, tiesiog suskaičiuokite tarpus skaičių eilutėje nuo -5 iki 0. Nors teigiamas sveikasis skaičius yra absoliučioji reikšmė yra tas pats skaičius, pavyzdžiui - + 3- = 3, nes jo atstumas nuo 0 yra su 3 tarpais:

3 pav. Absoliučioji sveikojo skaičiaus vertė visada yra teigiama. Šaltinis: F. Zapata.

Savybės

-Sveikųjų skaičių aibė žymima kaip Z ir apima natūraliųjų skaičių aibę N, jų elementai yra begaliniai.

- Visas skaičius ir tas, kuris eina po jo (arba tas, kuris eina prieš jį), visada yra diferencijuoti vienybėje. Pavyzdžiui, po 5 ateina 6, o skirtumas yra 1.

- Kiekvienas sveikasis skaičius turi pirmtaką ir įpėdinį.

- Bet kuris teigiamas sveikasis skaičius yra didesnis nei 0.

-Neigiamas sveikasis skaičius visada yra mažesnis nei 0 ir bet kuris teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, paimkite skaičių -100, tai yra mažiau nei 2, 10 ir 50. Tačiau jis taip pat yra mažesnis nei -10, -20 ir -99 ir didesnis nei -200.

-0 nėra reikšmingų svarstymų, nes jis nėra nei neigiamas, nei teigiamas.

- Su sveikaisiais skaičiais galite atlikti tas pačias operacijas, kurios atliekamos su natūraliaisiais skaičiais, būtent: sudėti, atimti, dauginti, įgalinti ir dar daugiau.

-Sveikas skaičius priešais tam tikrą skaičių x, yra –x, o sveikojo skaičiaus ir jo priešingos dalies suma yra 0:

x + (-x) = 0.

Operacijos su sveikaisiais skaičiais

- Suma

-Jei pridedami skaičiai turi tą patį ženklą, pridedamos absoliučios jų vertės ir rezultatas dedamas kartu su ženklu, kurį turi priedai. Štai keletas pavyzdžių:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Jei skaičiai yra kitokio ženklo, absoliučios vertės atimamos (didžiausia iš mažiausio) ir rezultatas sudedamas su skaičiaus ženklu, turinčiu aukščiausią absoliučią vertę, taip:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Sveikųjų skaičių sumos savybės

-Suma yra komutacinė, todėl priedų tvarka sumos nekeičia. Tegu a ir b yra du sveikieji skaičiai, tiesa, kad a + b = b + a

0 yra neutralus sveikųjų skaičių sumos elementas: a + 0 = a

-Jiekvienas sveikas skaičius, pridėtas prie jo priešingos pusės, yra 0. + a priešingybė yra –a, ir atvirkščiai, –a priešingybė yra + a. Todėl: (+ a) + (-a) = 0.

2 paveikslas. Sveiko skaičiaus sudėjimo ženklų taisyklė. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

- Atėmimas

Norint atimti sveikus skaičius, reikia vadovautis šia taisykle: atimimas yra lygus skaičiaus pridėjimui priešingai. Tegul a ir b yra du skaičiai, tada:

a - b = a + (-b)

Pavyzdžiui, tarkime, kad jums reikia atlikti šią operaciją: (-3) - (+7), tada:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Daugyba

Daugyba sveikų skaičių vykdoma laikantis tam tikrų ženklų taisyklių:

-Dviejų skaičių su tuo pačiu ženklu sandauga visada yra teigiama.

-Kai padauginti du skaičiai su skirtingais ženklais, rezultatas visada neigiamas.

Produkto vertė lygi padauginti atitinkamas absoliutines vertes.

Iš karto keletas pavyzdžių, paaiškinančių aukščiau pateiktą:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Sveikųjų skaičių daugybos savybės

- Dauginimasis yra komutacinis. Tegul a ir b yra du sveikieji skaičiai, tiesa, kad: ab = ba, kuris taip pat gali būti išreikštas taip:

-Neutralus daugybos elementas yra 1. Tegul a yra sveikas skaičius, taigi a.1 = 1

-Jiekvienas sveikasis skaičius, padaugintas iš 0, lygus 0: a.0 = 0

Paskirstomasis turtas

Daugyba atitinka paskirstymo savybę sudėjimo atžvilgiu. Jei a, b ir c yra sveikieji skaičiai, tada:

a. (b + c) = ab + ac

Čia pateiktas šios nuosavybės taikymo pavyzdys:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Įgalinimas

-Jei bazė yra teigiama, operacijos rezultatas visada teigiamas.

-Kai bazė yra neigiama, jei eksponentas yra lygus, rezultatas yra teigiamas. o jei eksponentas yra nelyginis, rezultatas yra neigiamas.

- Skyrius

Padalijimui galioja tos pačios ženklų taisyklės kaip ir dauginant:

Padalijus du sveikus to paties ženklo skaičius, rezultatas visada teigiamas.

- Kai padalijami du sveikieji skaičiai su skirtingais ženklais, koeficientas yra neigiamas.

Pavyzdžiui:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Svarbu : padalijimas nėra komutacinis, kitaip tariant, a ÷ b ≠ b ÷ a ir, kaip visada, nedalijamas iš 0.

- Įgalinimas

Tegul yra sveikas skaičius ir mes norime jį padidinti iki kintamojo n, tada mes turime padauginti a iš savęs n kartų, kaip parodyta žemiau:

a ⁿ = aaaa… ..a

Taip pat atsižvelkite į tai, atsižvelgiant į tai, kad n yra natūralusis skaičius:

-Jei a yra neigiama, o n yra lygi, rezultatas yra teigiamas.

-Kai a yra neigiamas ir n yra nelyginis, gaunamas neigiamas skaičius.

-Jei a yra teigiamas, o n yra lyginis arba nelyginis, teigiamas sveikasis skaičius visada gaunamas.

-Jiekvienas sveikas skaičius, padidintas iki 0, lygus 1: a ⁰ = 1

-Jiekvienas skaičius, padidintas iki 1, lygus skaičiui: a ¹ = a

Tarkime, pavyzdžiui, kad norime rasti (–3) ⁴ , tai padauginame (–3) keturis kartus iš eilės, taip: (–3). (–3). (–3). (–3) = 81.

Kitas pavyzdys, taip pat turintis neigiamą sveikąjį skaičių:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Lygios bazės galių sandauga

Tarkime, kad dvi vienodos bazės galios, jas padauginus, gauname kitą galią su ta pačia baze, kurios eksponentas yra nurodytų eksponentų suma:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Vienodas bazinių galių koeficientas

Dalijant lygios bazės galias, gaunama galia su ta pačia baze, kurios eksponentas yra nurodytų eksponentų atimtis:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Štai du pavyzdžiai, paaiškinantys šiuos dalykus:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Pavyzdžiai

Pažiūrėkime paprastus šių taisyklių taikymo pavyzdžius, prisiminkime, kad esant teigiamiems sveikiems skaičiams, ženklo galima atsisakyti:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Skruzdėlė juda išilgai skaitinės linijos 1 paveiksle. Pradėjusi nuo taško x = +3, ji atlieka šiuos judesius:

-Pakelia 7 vienetus į dešinę

-Dabar grąžinsite 5 vienetus į kairę

-Pasukite dar 3 vienetus į kairę.

-Jis grįžta atgal ir perkelia 4 vienetus į dešinę.

Kurioje vietoje skruzdėlynas baigiasi ekskursijoje?

Sprendimas

Pavadinkime poslinkiais D. Kai jie yra dešinėje, jiems suteikiamas teigiamas ženklas, o kai jie yra kairėje - neigiamas ženklas. Tokiu būdu ir pradedant nuo x = +3, mes turime:

-Pirmasis D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Sekundas D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Trečiasis D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Dauguma: x ₄ = +2 + 4 = +6

Kai skruzdėlytė baigia vaikščioti, ji yra padėtyje x = +6. Tai yra, tai yra 6 vienetai dešinėje nuo 0 skaitmens eilutėje.

- 2 pratimas

Išspręskite šią operaciją:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Sprendimas

Šioje operacijoje yra grupavimo ženklai, kurie yra skliausteliuose, skliausteliuose ir skliausteliuose. Spręsdami pirmiausia turite pasirūpinti skliaustais, tada skliausteliais ir galiausiai petnešomis. Kitaip tariant, jūs turite dirbti iš vidaus.

Atliekant šį pratimą, taškas reiškia daugybę, tačiau jei taško tarp skaičiaus ir skliaustelių ar kito simbolio nėra, jis taip pat suprantamas kaip produktas.

Žemiau skyros, skyros skyriuje, spalvos yra orientyras, leidžiantis sekti skliausteliuose, kurie yra vidiniai grupavimo simboliai, mažinimo rezultatą:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

- 3 pratimas

Išspręskite pirmojo laipsnio lygtį:

12 + x = 30 + 3x

Sprendimas

Sąvokos yra sugrupuotos taip, kad nežinomos būtų lygybės kairėje, o skaitinės - dešinėje:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Nuorodos

1. Carena, M. 2019. Ikimokyklinio universiteto matematikos žinynas. Litoral nacionalinis universitetas.
2. Figuera, J. 2000. 7 klasės matematika. CO-BO leidimai.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikos temų pasirinkimas. „Monfort“ leidiniai.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
5. Sveiki skaičiai. Atkurta iš: Cimanet.uoc.edu.