NERACIONALŪS SKAIČIAI: ISTORIJA, SAVYBĖS, KLASIFIKACIJA, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Į iracionalių numeriai yra tie, kurių raiška yra begalinis dešimtainių skaičių be pasikartojančio modelio, todėl negali būti gautas iš tarp bet kurių dviejų sveikųjų skaičių santykis.

Tarp žinomiausių neracionalių skaičių yra:

1 paveikslas. Iš viršaus į apačią šie neracionalūs skaičiai: pi, Eulerio skaičius, aukso santykis ir dvi kvadratinės šaknys. Šaltinis: „Pixabay“.

Tarp jų, be jokios abejonės, labiausiai žinomas π (pi), tačiau yra ir daugiau. Visi jie priklauso realiųjų skaičių aibei, tai yra skaitinei aibei, jungiančiai racionaliuosius ir neracionaliuosius skaičius.

1 paveiksle pateiktos elipsės rodo, kad dešimtainiai skaičiai po kablelio eina neribotą laiką, o įprastų skaičiuotuvų plotas leidžia rodyti tik keletą.

Jei atidžiai žiūrime, kai tik sudarome dviejų sveikų skaičių koeficientą, gauname dešimtainę skaičių su ribotais skaičiais arba, jei ne, su begaliniais skaičiais, kuriuose vienas ar keli kartojami. Na, tai nevyksta su neracionaliais skaičiais.

Neracionalių skaičių istorija

Puikus senovės matematikas Pitagoras, gimęs 582 m. Pr. Kr. Samose, Graikijoje, įkūrė Pitagoro minties mokyklą ir atrado garsiąją teoremą, kuri yra jo vardo ženkle. Turime ją čia, kairėje (babiloniečiai galėjo tai žinoti jau seniai).

2 pav. Pitagoro teorema, taikoma trikampiui, kurio kraštinės lygios 1. Šaltinis: „Pixabay“ / „Wikimedia Commons“.

Na, kai Pitagoras (arba tikriausiai jo mokinys) pritaikė teoremą dešiniajam trikampiui, kurio kraštinės lygios 1, jis rado iracionalųjį skaičių √2.

Jis tai padarė taip:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Ir iškart suprato, kad šis naujas skaičius neatsirado iš dviejų kitų natūraliųjų skaičių, kurie tuo metu buvo žinomi, koeficiento.

Todėl jis tai pavadino neracionaliu, o atradimas sukėlė didžiulį pitagoriečių nerimą ir apmaudą.

Iracionaliųjų skaičių savybės

-The visų iracionalių skaičių rinkinys yra žymimas raide I ir kartais Q * arba Q ^{, C} . Iracionaliųjų skaičių I arba Q * ir racionaliųjų skaičių Q sąryšis sukuria realiųjų skaičių aibę R.

-Neracionaliais skaičiais galima atlikti žinomas aritmetines operacijas: sudėti, atimti, dauginti, dalinti, įgalinti ir dar daugiau.

-Paskirstymas iš 0 taip pat nėra apibrėžtas tarp neracionalių skaičių.

-Suma ir sandauga tarp neracionalių skaičių nebūtinai yra dar vienas neracionalus skaičius. Pavyzdžiui:

√2 x √8 = √16 = 4

Ir 4 nėra iracionalus skaičius.

-Tačiau racionalaus skaičiaus ir neracionalaus skaičiaus suma duoda neracionalų rezultatą. Šiuo būdu:

1 + √2 = 2.41421356237…

- Racionalaus skaičiaus sandauga, skiriasi nuo 0 neracionalaus skaičiaus, taip pat yra neracionali. Pažvelkime į šį pavyzdį:

2 x √2 = 2,828427125…

-Neracionalus atvirkštinis rezultatas yra kitas iracionalus skaičius. Pabandykime keletą:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Šie skaičiai yra įdomūs, nes jie taip pat yra tam tikrų žinomų kampų trigonometrinių koeficientų vertės. Daugelis trigonometrinių koeficientų yra neracionalūs skaičiai, tačiau yra ir išimčių, tokių kaip sin 30º = 0,5 = ½, o tai yra racionalu.

-Jeigiama, kad komutacinės ir asociatyvinės savybės yra įvykdytos. Jei a ir b yra du neracionalūs skaičiai, tai reiškia, kad:

a + b = b + a.

Ir jei c yra kitas neracionalus skaičius, tada:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Platinamoji daugybos savybė, atsižvelgiant į sudėjimą, yra dar viena gerai žinoma savybė, kuri tinka ir neracionaliems skaičiams. Tokiu atveju:

a. (b + c) = ab + ac

-Neracionalus a turi priešingą variantą: -a. Sudėjus juos, rezultatas yra 0:

a + (- a) = 0

Tarp dviejų skirtingų racionalumų yra bent vienas iracionalus skaičius.

Iracionalaus skaičiaus vieta tikroje linijoje

Tikroji linija yra horizontali linija, kurioje yra tikrieji skaičiai, kurių neracionalūs skaičiai yra svarbi dalis.

Norėdami rasti neracionalų skaičių realiojoje linijoje, geometrine forma, mes galime naudoti Pitagoro teoremą, liniuotę ir kompasą.

Kaip pavyzdį ketiname nustatyti realią tiesę √5, kuriai nubrėžti dešinįjį trikampį, kurio kraštinės x = 2 ir y = 1, kaip parodyta paveikslėlyje:

3 paveikslas. Iracionalaus skaičiaus nustatymo tikroje linijoje metodas. Šaltinis: F. Zapata.

Pagal Pitagoro teoremą tokio trikampio hipotenuzė yra:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Dabar kompasas dedamas su tašku 0, kur yra ir viena iš dešiniojo trikampio viršūnių. Kompaso pieštuko taškas turėtų būti A viršūnėje.

Nubrėžtas apskritimo lankas, kuris nugrimzta į tikrąją liniją. Kadangi atstumas tarp apskritimo centro ir bet kurio jo taško yra spindulys, lygus √5, susikirtimo taškas taip pat yra toli √5 nuo centro.

Iš grafiko matyti, kad √5 yra tarp 2 ir 2,5. Skaičiuoklė pateikia apytikslę reikšmę:

√5 = 2.236068

Taigi statant trikampį su atitinkamomis pusėmis, galima rasti kitus neracionalius, pavyzdžiui, √7 ir kitus.

Neracionalių skaičių klasifikacija

Neracionalūs skaičiai skirstomi į dvi grupes:

-Algebrinis

-Transcendentalinis ar transcendentinis

Algebriniai skaičiai

Algebriniai skaičiai, kurie gali būti ir neracionalūs, yra polinominių lygčių sprendimai, kurių bendra forma yra:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Polinomos lygties pavyzdys yra tokia kvadratinė lygtis:

x ³ - 2x = 0

Nesunku parodyti, kad neracionalus skaičius √2 yra vienas iš šios lygties sprendimų.

Transcendentiniai skaičiai

Kita vertus, transcendentiniai skaičiai, nors ir neracionalūs, niekada neatsiranda kaip polinominės lygties sprendimas.

Transcendentiniai skaičiai, kurie dažniausiai aptinkami taikomojoje matematikoje, yra π dėl jo santykio su apskritimu ir skaičiumi e arba Eulerio skaičiumi, kuris yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Pratimas

Pilkas kvadratas dedamas ant juodo kvadrato paveikslėlyje nurodytoje vietoje. Yra žinoma, kad juodo kvadrato plotas yra 64 cm ² . Kiek yra abiejų kvadratų ilgių?

4 pav. Du kvadratai, iš kurių norime sužinoti kraštinių ilgį. Šaltinis: F. Zapata.

Atsakyk

Kvadrato, kurio kraštinė L, plotas yra:

A = L ²

Kadangi juodo kvadrato plotas yra 64 cm ² , jo kraštinė turi būti 8 cm.

Šis matavimas yra toks pat kaip pilkos spalvos kvadrato įstrižainė. Taikydami Pitagoro teoremą šiai įstrižainei ir prisimindami, kad kvadrato kraštinės yra vienodos, turėsime:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Kur L _g yra pilkojo kvadrato kraštinė.

Todėl: 2L _g ² = 8 ²

Taikant kvadratinę šaknį abiem lygybės pusėms:

L _g = (8 / √2) cm

Nuorodos

1. Carena, M. 2019. Ikimokyklinio universiteto matematikos žinynas. Litoral nacionalinis universitetas.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9-asis. Laipsnis. CO-BO leidimai.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
4. Švietimo portalas. Neracionalūs skaičiai ir jų savybės. Atkurta iš: portaleducativo.net.
5. Vikipedija. Neracionalūs skaičiai. Atkurta iš: es.wikipedia.org.