PAGRINDINIAI SKAIČIAI: CHARAKTERISTIKOS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Pirmieji skaičiai , dar vadinami pirminiais absoliučiaisiais, yra natūralieji skaičiai, kurie dalijami tik patys iš vieno ir 1. Šios kategorijos skaičiai, tokie kaip 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ir daugybė. plius.

Vietoj to, sudėtinis skaičius dalijamas iš savęs, iš 1 ir bent dar vienas skaičius. Turime, pavyzdžiui, 12, kuris dalijamas iš 1, 2, 4, 6 ir 12. Pagal susitarimą 1 nėra įtrauktas nei pirminių skaičių, nei junginių sąraše.

1 pav. Kai kurie pirminiai skaičiai. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Žinios apie pirminius skaičius atsirado dar antikos laikais; senovės egiptiečiai jau juos naudojo ir jie tikrai buvo žinomi jau seniai.

Šie skaičiai yra labai svarbūs, nes bet kokį natūralųjį skaičių gali pavaizduoti pirminių skaičių sandauga, šis vaizdas yra unikalus, išskyrus veiksnių eiliškumą.

Šis faktas yra visiškai patvirtintas teoremoje, vadinamoje pagrindine aritmetikos teorema, kurioje teigiama, kad ne pirmieji skaičiai būtinai sudaryti iš skaičių, kurie yra, sandaugos.

Pirminių skaičių charakteristikos

Čia pateikiamos pagrindinės pirminių skaičių savybės:

-Jie yra begaliniai, nes nesvarbu, koks yra pirminis skaičius, visada galite rasti didesnį.

-Jei pradinis skaičius p tiksliai nedalija kito skaičiaus a, tada sakoma, kad p ir a yra vienas kito atžvilgiu. Kai tai atsitiks, vienintelis bendras daliklis, kurį abu turi, yra 1.

Nebūtina, kad a būtų absoliutus pirmininkas. Pavyzdžiui, 5 yra svarbiausias, ir nors 12 nėra, abu skaičiai yra svarbūs vienas kitam, nes abu turi 1 kaip bendrą daliklį.

Kai pirminis skaičius p dalijasi iš skaičiaus n galios, jis taip pat dalijasi su n. Apsvarstykime 100, tai yra 10 galia, konkrečiai 10 ² . Taip atsitinka, kad 2 dalijasi tiek 100, tiek 10.

- Visi pirminiai skaičiai yra nelyginiai, išskyrus 2, todėl paskutinis jo skaitmuo yra 1, 3, 7 arba 9. 5 neįtrauktas, nes, nors ir yra nelyginis ir svarbiausias, jis niekada nėra galutinis kito pirminio skaičiaus numeris. Iš tikrųjų visi skaičiai, kurie baigiasi 5, yra šio skaičiaus kartotiniai, todėl jie nėra svarbiausi.

-Jei p yra dviejų skaičių ab reikšmės pirminis ir daliklis, tada p dalija vieną iš jų. Pavyzdžiui, pirminis skaičius 3 dalijasi sandaugai 9 x 11 = 99, nes 3 yra daliklis iš 9.

Kaip žinoti, ar skaičius yra pagrindinis

Primalumas - tai vardas, suteikiamas prigimties kokybei. Na, prancūzų matematikas Pierre'as de Fermat'as (1601–1665) rado būdą patikrinti skaičiaus pirmumą vadinamoje mažojoje Fermat teoremoje, kuri skamba taip:

"Atsižvelgiant į pirminį natūralųjį skaičių p ir bet kurį natūralųjį skaičių didesnį nei 0, tiesa, kad ^p - a yra p kartotinis, jei p yra pirminis."

Tai galime patvirtinti naudodami mažus skaičius, pavyzdžiui, tarkime, kad p = 4, kuris, kaip mes jau žinome, nėra pagrindinis ir jau = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Skaičius 1290 nėra tiksliai dalijamas iš 4, todėl 4 nėra pirminis skaičius.

Atlikime testą dabar, kai p = 5, kuris yra svarbiausias ir ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 dalijamas iš 5, nes bet kuris skaičius, kuris baigiasi 0 arba 5, yra. Tiesą sakant, 7760/5 = 1554. Kadangi maža Fermato teorema galioja, galime užtikrinti, kad 5 yra pirminis skaičius.

Įrodymai pagal teoremą yra veiksmingi ir tiesioginiai, naudojant mažus skaičius, kuriuose operaciją lengva atlikti, tačiau ką daryti, jei mūsų paprašoma išsiaiškinti didelio skaičiaus pirmumą?

Tokiu atveju skaičius paeiliui padalijamas iš visų mažesnių pirminių skaičių, kol randamas tikslus padalijimas arba koeficientas yra mažesnis už daliklį.

Jei koks nors padalijimas yra tikslus, tai reiškia, kad skaičius yra sudėtinis, o jei koeficientas yra mažesnis už daliklį, tai reiškia, kad skaičius yra pagrindinis. Mes tai pritaikysime įgyvendindami 2 pratimą.

Būdai surasti pirminį skaičių

Yra be galo daug pradinių skaičių ir nėra vienos formulės jiems nustatyti. Tačiau pažvelgus į tokius pirminius skaičius, kaip šie:

3, 7, 31, 127 …

Pastebėta, kad jie yra 2 ⁿ - 1 formos, kai n = 2, 3, 5, 7, 9 … Mes tuo įsitikiname:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Bet mes negalime užtikrinti, kad apskritai 2 ⁿ - 1 yra svarbiausias, nes yra kai kurios n reikšmės, kurioms ji neveikia, pavyzdžiui, 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Ir skaičius 15 nėra svarbiausias, nes baigiasi 5-ta. Tačiau vienas didžiausių žinomų pradmenų, aptiktas kompiuteriniais skaičiavimais, yra 2 ⁿ - 1 formos su:

n = 57,885,161

Mersenne'o formulė mums patikina, kad 2 ^p - 1 visada yra svarbiausias, jei p yra taip pat pagrindinis. Pvz., 31 yra svarbiausias, taigi tikrai yra taip, kad 2 ³¹ - 1 taip pat yra svarbiausias :

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Tačiau formulė leidžia nustatyti tik kai kuriuos pirminius skaičius, o ne visus.

Eulerio formulė

Šis daugianaris leidžia rasti pradinius skaičius su sąlyga, kad n yra nuo 0 iki 39:

P (n) = n ² + n + 41

Vėliau išspręstų pratimų skyriuje pateiktas jo panaudojimo pavyzdys.

Eratosthenes sietas

Eratosthenesas buvo fizikas ir matematikas iš Senovės Graikijos, gyvenęs III amžiuje prieš Kristų. Jis sugalvojo grafinį metodą, kaip surasti pirminius skaičius, kuriuos galime pritaikyti praktikoje su mažais skaičiais, jis vadinamas Eratosthenes sietu (sietas yra kaip sietas).

- Skaičiai dedami į lentelę, kaip parodyta animacijoje.

- Tada lyginiai skaičiai perbraukiami, išskyrus 2, kurie, kaip žinome, yra svarbiausi. Visos kitos yra daugybė to, todėl nėra svarbiausios.

- Taip pat pažymėti 3, 5, 7 ir 11 kartotiniai, išskyrus visus, nes mes žinome, kad jie yra svarbiausi.

- 4, 6, 8, 9 ir 10 kartotiniai jau yra pažymėti, nes jie yra sudėtiniai ir todėl yra kai kurių nurodytų pradmenų kartotiniai.

- Galiausiai, nepažymėti numeriai yra svarbiausi.

2 pav. „Eratosthenes“ sieto animacija. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Pratimai

- 1 pratimas

Naudodami „Euler“ daugianarę pirminiams skaičiams, raskite 3 skaičius, didesnius kaip 100.

Sprendimas

Tai yra daugianaris, kurį Euleris pasiūlė surasti pirminiais skaičiais, kuris veikia, kai n vertės yra nuo 0 iki 39.

P (n) = n ² + n + 41

Bandymais ir klaidomis pasirenkame n vertę, pavyzdžiui, n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Kadangi n = 8 sukuria pradinį skaičių didesnį nei 100, tada įvertiname n = 9 ir n = 10 polinomą:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- 2 pratimas

Sužinokite, ar šie skaičiai yra svarbiausi:

a) 13

b) 191

Sprendimas

13 yra pakankamai mažas, kad būtų galima naudoti mažąją Fermato teoremą ir skaičiuoklės pagalbą.

Mes naudojame a = 2, kad skaičiai nebūtų per dideli, nors a = 3, 4 arba 5 taip pat gali būti naudojami:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 dalijamas iš 2, nes yra lygus, todėl 13 yra pagrindinis. Skaitytojas gali tai patvirtinti atlikdamas tą patį testą su a = 3.

B sprendimas

191 yra per didelis, kad būtų galima įrodyti naudojant teoremą ir bendrą skaičiuoklę, tačiau galime rasti padalijimą tarp kiekvieno pirminio skaičiaus. Mes pradalijame iš 2, nes 191 nėra lygus ir padalijimas nebus tikslus arba koeficientas mažesnis nei 2.

Mes stengiamės padalyti iš 3:

191/3 = 63 666 …

Ir jis nenurodo tikslaus, taip pat nėra koeficientas, mažesnis už daliklį (63,666 … yra didesnis nei 3)

Mes ir toliau bandome padalinti 191 tarp 5, 7, 11, 13 pradmenų. Nei tikslus padalijimas nėra pasiektas, nei koeficientas mažesnis nei daliklis. Kol jis nebus padalintas iš 17:

191/17 = 11, 2352 …

Kadangi jis nėra tikslus ir 11.2352… yra mažesnis nei 17, skaičius 191 yra svarbiausias.

Nuorodos

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Leidimų ir platinimų kodeksas.
2. Prieto, C. Pirmieji skaičiai. Atkurta iš: paginas.matem.unam.mx.
3. Pradinių skaičių savybės. Atgauta iš: mae.ufl.edu.
4. „Smartick“. Pagrindiniai skaičiai: kaip juos rasti naudojant „Eratosthenes“ sietą. Atkurta iš: smartick.es.
5. Vikipedija. Pirminis skaičius. Atkurta iš: es.wikipedia.org.